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期末复习 一年级 天马行空官方博客 期末复习 1 与函数y x 有相同图像的一个函数是 期末复习 2 设函数f x 的定义域是N 且f x y f x f y xy f 1 1 则f 25 A 326B 325C 324D 323 期末复习 3 下列函数中 在区间 0 1 上是增函数的是 期末复习 4 函数y x 2a x 在0 x 2时有最大值a2 则a的取值范围是 A a RB a 2C 0 a 2D a 0 5 讨论函数 x 1 1 的单调性 期末复习 期末复习 6 已知函数f x 的定义域为 3 2 且f 2 F x f x 试问当x 2时 F x 有无意义 若有意义 求出F 2 的值 若没有意义 请说明理由 期末复习 7 使函数具有反函数的一个条件是 只填上一个条件即可 不必考虑所有情形 8 函数的单调递减区间是 小结 考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域 在定义域范围内求函数的单调性 因此 对甲商品投资0 75万元 乙商品投资2 25万元时获利最大 解 an 1 an 2 n 2 an 2 an 3 n 3 a3 a2 2 a2 a1 1 以上各式相加得 an a1 1 2 n 1 1 Sn 2n2 3n 解 a1 s1 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 又n 1时 4n 5 1 a1 例5 已知数列 an 满足a1 1且an 1 2an 1 则an 解法一 数列 bn 是以了b1 2为首项 公比为2的等比数列bn 2 2n 1 2nan 2n 1 解法1 例1 在等差数列 an 中 a1 25 S9 S17问这个数列前多少项和最大 并求出这个最大值 高一数学单元测试 一 选择题 1 在各项均为正数的等比数列 an 中 若a5 a6 9 则log3a1 log3a2 log3a10等于 A 12 B 10 C 8 D 2 log35 2 等差数列 an 的各项都是小于零的数 且 则它的前10项和S10等于 A 9 B 11 C 13 D 15 3 在公比q 1的等比数列 an 中 若a1 a4 18 a2 a3 12 则这个数列的前8项之和S8等于 A 513 B 512 C 510 D 4 一数列前n项和Sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1则Sn的表达式为 A 2n 1 2n n 2 B 2n 1 n 2 C 2n n 2 D 2n 1 n 2 5 等比数列 an 中 a1 2 S3 26 那么分比q的值为 A 4 B 3 C 4或3 D 3或4 6 在数列 an 中 an 1 Can C为非零常数 且前n项和Sn 3n k则k等于 A 1 B 1 C 0 D 2 7 等差数列 an 中 若Sm Sn m n 则Sm n的值为 D 8 在等差数列 an 中 a100且a11 a10 Sn为前n项和 则下列结论正确的是 A S1 S2 S10都小于零 S11 S12 都大于零 B S1 S2 S5都小于零 S6 S7 都大于零 C S1 S2 S20都小于零 S21 S22 都大于零 D S1 S2 S19都小于零 S20 S21 都大于零 9 等差数列 an 是递减数列 且a2a3a4 48 a2 a3 a4 12 则数列 an 的通项公式是 A an 2n 2 B an 2n 4 C an 2n 12 D an 2n 10 10 在等差数列 an 中 a1 3a8 a15 120 则2a9 a10的值为 A 24 B 22 C 20 D 8 11 若数列 an 的前n项和公式为Sn log3 n 1 则a5等于 A log56 B log3 C log36 D log35 12 等比数列 an 公比为q 则 an 0 且q 1 是 对于任意自然数n 都有an 1 an 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非常必要条件 二 填空题 13 数列 an bn 均为等差数列 前n项和分别为Sn Tn 已知Sn Tn 5n 13 4n 5 则a10 b10 14 已知等比数列 an 的前n项的和为Sn k 3n b n N k b为常数 则k b 0 15 已知数列 an 的前n项和Sn满足关系式lg Sn 1 n n N 则数列 a 的通项公式是 16 已知函数 an 它的前n项和为Sn 则关于数列 an 有以下命题 其中m n p q N 1 若Sn是关于n的二次函数 则 an 是等差数列 2 an Sn Sn 1 n N 3 若 an 是等差数列 则 4 若 an 是等差数列 则 5 若 an 是等差数列且m n q p 则am an ap aq 三 解答题 17 等比数列 an 首项为a1 2002 公比为 q I 设f n 表示该数列的前n项的积 求f n 的表达式 II 当n取何值时 f n 有最大值 18 等差数列 an 中 已知a1 4 其前n项和为Sn 又知a1 a7 a10成等比数列 I 若Sn 11 求n的值 II 求Sn的最大值及取得最大值时的n的值 19 已知数列 an 是首项为a a 0 的等差数列 其前n项的和为Sn 数列 bn 的通项bn 其前n项的和为T I 用等差数列定义证明数列 bn 是等差数列 II 20 设等差数列 an 的前n项和为Sn 且S4 62 S6 75 I 求 an 的通项公式an及前n项和公式Sn II 求和 a1 a2 a3 a14 21 某集团投资办甲 乙两个企业 2000上甲企业获得利润80万元 乙企业获得利润180万元 以后每年企业的利润甲以上年利润的1 5倍速度递增 而乙企业是上年利润的 预期目标为两企业当年利润之和为400万元 从2000年起 I 哪一两企业获得之和最小 II 需经过几年可以达到预期目标 精确到一年 答 第二年年获利最大 需经过5年可达预期目标 22 已知等差数列前三项为a 4 3a 前n项和为S S 2550 1 求n及k的值2 求的值 1 由已知得 a 3a 8 a 2 公差d 4a a 2 k 50或k 51 舍 2 由 1 知 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 1 两个正根 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 2 有两个负根 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 3 两个根都小于1 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 5 一个根大于1 一个根小于1 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 6 两个根都在 0 2 内 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 7 两个根有且仅有一个在 0 2 内 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 8 一个根在 2 0 内 另一个根在 1 3 内 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 9 一个正根 一个负根且正根绝对值较大 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 练习及作业 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 10 一个根小于2 一个根大于4 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 练习及作业 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 11 一个根在 2 0 内 另一个根在 0 4 内 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 练习及作业 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 练习及作业 小结 一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K 一个根大于K 一个根正 一个根负 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布 练习及作业 小结 一般情况 自然定义域 例1 求f x lg x 1 lg 3 x 定义域 解 得1 x 3 函数的定义域为 函数解析式有意义 函数解析式有意义 小结 求函数定义域 一般归结为解不等式组或混合组 一 函数的定义域的确定 使函数解析式有意义的自变量的一切值 由 x 3 x y x 解 小结 本题解法 换元法 令 t t 0 则 y t 1 2 1 t 0 t 1时 ymax 1 函数的值域为 1 函数的定义域和值域 二 函数的值域 例 求下列函数的值域 小结 本题解法 图象法 y 2x 1 x 2 解 y 2x 1 x 2 如图所示 5 2 该函数的值域为 函数的定义域和值域 二 函数的值域 例 求下列函数的值域 函数的定义域和值域 二 函数的值域 例 求下列函数的值域 y log0 2 x2 2x 3 解 y log0 2 x2 2x 3 log0 2 x 1 2 4 log0 24 函数的值域为 log0 24 小结 本题解法 利用某已知函数的值域 利用函数的单调性 5 若一次函数y f x 在区间 1 2 上的最小值为1 最大值为3 则f x 的解析式为 6 在一定的范围内 某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系 如果购买1000吨 每吨为800元 购买2000吨 每吨为700元 一客户购买400吨单价应该是 A 820元 B 840元 C 860元 D 880元 C 返回 教学进程 例1 y x2 2x 1的值域和最值 1 x 0 3 2 x 2 5 4 3 x 2 1 动态实例 例2 y x2 2ax 1x 1 2 的最值 例3 y x2 2x 1x m m 2 的最值 动态实例 例2 y x2 2ax 1x 1 2 的最值 动态实例 例3 y x2 2x 1x m m 2 的最值 例4 y x2 2ax 1 a若x 0 1 的最大值为2 求a 动态实例 练习 1 求函数y log3 x2 4x 7 的值域 3 求值域 例3 求函数y log3x 1 x 3 的值域 依据 2 已知函数y logax a 0 a 1 当x 3 9 时 函数的最大值比最小值大1 则a 例1 求下列函数的定义域 1 y loga x2 3x 2 解 1 x2 3x 2 0 x 2或x 1 函数的定义域是 x x 2或x 1 2 依题意 可知 2 x 1或1 x 3 函数的定义域是 x 2 x 1或1 x 3 例题 4 y 5 y 3 求定义域问题 已知x满足不等式求函数的最大值和最小值 思考题 例4 下图曲线是对数函数y logax的图象 已知a的取值分别为1 4 1 2 2 4 则相应于曲线c1 c2 c3 c4的a值依次为 A 4 2 1 2 1 4 B 4 2 1 4 1 2 C 2 4 1 2 1 4 D 2 4 1 4 1 2 y x C2 C1 C4 C3 1 0 在x轴上方画x轴平行线 按交点从左到右顺序a值依次增大 A 对数底数与图形的关系 练习 1 已知函数在 0 1 上是x的减函数 则a的取值范围是 A 01C 1 a 2D 1 a 2 2 已知函数在x 2 上恒有f x 1 则实数a的取值范围是 A 02C 2 3 求函数的递增区间 2计算 KEY 例2 求下列函数的定义域 值域 1 y 21 x 4 2 y 4x 2x 1 1 3 y 2x 1 2x 4 y 3 2 x 分析 结合指数函数的定义域和值域考虑 解 1 由x 4 0得x 4 故函数的定义域为 x x R且x 4 又因为1 x 4 0 所以y 1 故函数的值域为 y y 0且y 1 2 定义域为R 因为y 4x 2x 1 1 22x 2 2x 1 2x 1 2而2x 0 所以2x 1 1 于是y 1 故函数的值域为 y y 1 3 函数的定义域为R 因为y 2x 1 2x 1 2x 11 2x 1 11 2x 又2x 0 1 2x 1 所以0 11 2x 1 所以o 1 11 2x 1 所以y 2x 1 2x的值域为 0 1 4 函数的定义域为R 因为 x 0 所以y 3 2 x 2 3 x 2 3 0 1 所以函数的值域为 y 0 y 1 作业 78页1题补充作业 求下列函数的定义域和值域 1 y 3 x 1 2 y 0 3 x 1 3 y 2 x 1 1 4 y 2 1 2 x 此题考察的是对指数函数定义的理解 注意指数函数中对底数范围的要求 注 对指数函数概念的理解 C 3求下列函数的值域 分析 1 2 可由函数图象分析得出 3 分情况讨论 y 总结 指数函数求值域 1 图象法 2 函数的单调性 o2 o2 解 一 由函数图象得出 二 利用函数单调性 例2若loga0 75 1求a取值范围 解 loga0 75 logaa 根据y logax的单调性进行讨论 得0 75 a 1 由I II得0 75 a 1 所以的取值范围为 a 0 75 a 1 BACK 解 先将这四个数分类 1 负数 3 大于1的数 4 大于0小于1的数 2 等于 的值 例1 5 log56log47 解 利用对数函数图像 y1 log4xy2 log5x 由函数单调性log56 log57 插入中间量log57 或log46 再比较log57与log47的大小 所以log56 log47 得到log57 log47 例10 1 已知函数y log2 x2 ax a 的定义域为R 求实数a的取值范围 2 已知函数y log2 x2 ax a 的值域为R 求实数a的取值范围 综合问题 例11 已知 1 求y f x 的定义域 2 当a b满足什么条件时 f x 0在区间 1 上恒成立 练习 设 1 判断函数f x 的单调性 并给出证明 2 若f x 的反函数为 证明 0有唯一解 3 解不等式 3 若函数f x 与g x 的图象关于直线y x对称 且f x x 1 2 x 1 求g x2 解 函数f x 与g x 的图象关于直线y x对称 g x 是f x 的反函数 g x f 1 x 1 二 练习 例3 证明函数 在上是减函数 例题讲解 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质 每经过1年剩留的这种物质是原来的84 画出这种物质的剩留量随时间变化的图象 并从图象上求出经过多少年 剩留量是原来的一半 结果保留一个有效数字 解 设这种物质最初的质量是1 经过x年 剩留量是y 经过1年 剩留量y 1 84 0 841 经过2年 剩留量y 0 84 0 84 0 842 一般地 经过x年 剩留量y 0 84x 画出指数函数y 0 84x的图象 从图上看出y 0 5只需x 4 答 约经过4年 剩留量是原来的一半 基础题讲解 1 函数f x 3 2x 1 在区间 1 2 上是 2 函数y x 和y x 2 x 的单增区间分别是 3 若函数y x2 2 a 1 x 2在 4 上是减函数 则a的取值为 4 函数y x2 bx c x 0 是单调函数的充要条件是 5 若y ax和y b x在 0 上都是减函数则y ax2 bx在 0 上的单调性为 答案 1 增函数 2 0 1 3 3 4 0 5 减函数 中档题型讲解 1 若f x x2 a 1 x 5在区间 1 2 1 上是增函数 则f 2 的取值范围是 2 函数y x2 2x 3 1 2的单调减区间是 3 已知函数f x 是定义在非负实数集上的单调函数 且f 2 5 f 3 2a 则a的区值范围是 4 已知函数y x2 2ax a2 1在 1 上是减函数 a的取值范围为 5 已知A 1 b b 1 对于f x 2 x 1 2 1 若x A时 f x A 则b的值为 答案1 y y 7 2 3 3 1 3 2 2 4 a a 1 5 b 3 2 研究性学习 1 已知函数f x x2 2x 3在 0 a 上最大值是3 最小值是2 求a的范围 2 已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求f x 的最大值 最小值 2 求实数a的取值范围 使f x 在 5 5 上是单调函数 答案 1 1 2 2 37 2 a a 5或a 5 12 等差数列的性质应用 等差数列的性质应用 等差数列的性质 1 在有穷等差数列中 与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和 2 等差数列中从第二项起每后一项与其相邻前一项的差等于公差d 而每一项与其相邻的后一项的差等于 d 等差数列的性质 等差数列的性质 等差数列的性质 等差数列的性质 等差数列的性质 等差数列的性质应用 等差数列的性质应用 等差数列的性质应用 例3 已知一个等差数列的总项数为奇数 且奇数项之和为77 偶数项之和为66 求中间项及总项数 得中间项为11 等差数列的性质应用 例4 已知一个等差数列前n项和为25 前2n项的和为100 求前3n项和 等差数列的性质应用 等差数列的性质应用 等差数列的性质应用 等差数列的性质应用 等差数列的性质应用 代入下式得 例如 等差数列的前10项之和为100 前100项之和为10 则前110项之和为 A90B 90C110D 110 例10 已知 且 求 解 即 令