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3 4基本不等式 一 新课引入 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗时它看上去像一个风车 代表中国人民热情好客 你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗 风车 中有哪些相等关系和不等关系 探究 证明推导1 a b 证明 如果a 0 b 0 用分别代替a b 我们将得到什么结果 思考 算术平均数 几何平均数 证明基本不等式 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 式显然成立 当且仅当a b时 中的等号成立 分析法 执果索因 在圆中 AB是圆的直径 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD 你能利用这个图形 得出不等式的几何解释吗 探究 例用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短篱笆是多少 解决最大 小 值问题 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 等号当且仅当x y时成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 结论1 两个正数积为定值 则和有最小值 例一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解决最大 小 值问题 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则2x 2y 36 即x y 18 矩形菜园的面积为xym2 当且仅当x y 即x 9 y 9时等号成立 因此 这个矩形的长为9m 宽为9m时 菜园的面积最大 最大面积是81m2 结论2 两个正数和为定值 则积有最大值 例 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 知识小结 1 两个正数积为定值 和有最小值 2 两个
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