2011考研数学模拟试卷数三.doc

第二周硕士研究生入学考试模拟试卷（数三）一、选择题（1-8题，每题4分）（1）已知具有二阶连续导数，为连续函数，且，则 （ ）（A）为的极大值点； （B）为的极小值点；（C）为曲线的拐点；（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点.【详解】由得于是可见为曲线的拐点，故选（C）（2）设函数，且，则在点处（ ）（A）连续但不可导； （B）可导但； （C）极限存在但不连续； （D）可微且 【详解】知在点处可导，故在点处连续，即。又，故，即，故在点处连续。又，故在点处可导即可微，且(3) 已知，且，则等于（ ）（A）2 （B） （C）4 （D）【详解】记为常数，于是有，即，两边积分得，由得，从而于是，即，故 选（D）(4)已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为，则此微分方程为（ ） （A）； （B）； （C）； （D） 【详解】对应齐次线性方程的通解为，特征方程为，即。可见，对应的齐次方程为，将特解代入，得，故选（D）（5）设A是矩阵，B是矩阵，则方程组与同解的充分条件是（ ）（A） ； （B）； （C） ； （D）.【详解】易知的解是的解。当A列满秩时，即时，齐次线性方程组只有零解。于是，若为的任一解，即，则一定有，从而也为的解，故组与同解。(6)设A是一个矩阵，交换A的第行，第行，然后再交换其第列，第列，所得矩阵应为B，现有以下命题：; ；A,B的行向量组等价；A与B为相似矩阵，其中成立的个数为 （ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个【详解】由题设，存在初等矩阵（交换单位矩阵E的第行，第行或第列，第列后所得矩阵），使得,于是; ；且即AB,可见命题，均成立。令，则显然，的行向量组不等价，命题不成立，故应选（C）（7）设随机变量X和Y相互独立，且均服从上的均匀分布，则下列随机变量中仍服从某区间上的均匀分布的是（ ）（A）X-Y （B）X+Y （C） （D）2X【详解】经计算易得2X的分布函数为即为上的均匀分布。故选（D）(8)设为来自总体X的简单随机样本，且服从分布，则常数和 分布的自由度分别为（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】因，从而，故，即选（C）二、填空题（9-14题，每题4分）（9）设在点可导，且则【详解】由知，于是（10）曲线在点处的切线方程为【详解】，故过处的切线方程为（11）设函数的二阶偏导数存在，且，则【详解】由知，由得，于是，从而，又，故（12）设正项级数收敛，则级数的敛散性为【详解】正项级数收敛，所以且又，于是正项级数与有相同的敛散性，即收敛，且也收敛。又，级数收敛，所以，由比较判别法，级数绝对收敛。（13）设A为3阶矩阵，为3维线性无关的列向量，且则【详解】由知，若令，则可逆，且，即AB，从而于是(14)已知随机变量X和Y的分布律为X-11P1/21/2 Y01P1/43/4而且,则X与Y的相关系数为【详解】由易得X与Y的联和分布律为 YX01-1011,故三、解答题：15-23小题，共94分（15）（本题10分）已知，且，试求【详解】由知又，代入表达式有，故由及知于是因为，即原式(16) （本题10分）设，问为何值时，在处一阶导数连续，但二阶导数不存在？【详解】因为而在处连续，所以.又所以，且因为所以时，在处连续。所以即时，在处二阶不可导。综上所述，为所求之值。（17）（本题10分）计算二重积分其中：表示不超过的最大整数.【详解】将正方形区域D用三条直线分成四个区域：，即于是，（18）（本题10分）设在区间上由曲线与轴所围成的平面图形的面积为，求级数的值。【详解】当为偶数时，当为奇数时，所以令，则得又所以（19）（本题10分）设在区间上有三阶连续导数，证明存在实数使得【详解】将在处按泰勒公式展开，有令分别为得，两式相减得，由于在上连续，不妨设在上的最大值，最小值为,则，根据介值定理，使得于是，即对于，有（20）（本题11分）设为三维单位列向量，并且，记证明：（I）齐次线性方程组有非零解； （II）A相似于矩阵【详解】（I）因为A为3阶方阵，且于是故有非零解（II）由（I）知，从而A有零特征值的非零解即为对应的特征向量.又 且，故为A的特征值，为对应的特征向量。另外，由可知为两个正交的非零向量，从而线性无关。所以为A的3个线性无关的特征向量，为A的2重特征值，为A的单重特征值。记则，即A相似于矩阵（21）（本题11分）已知方程组有无穷多解，矩阵A的特征值是，对应的特征向量依次是，（I）求矩阵A； （II）求的基础解系【详解】（I）当及时，方程组均有无穷多解当时，则线性相关，不合题意当时，则线性无关，可作为三个不同特征值的特征向量由知（II），可见的基础解系即为的特征向量（22）（本题11分）设二维随机变量的概率密度为（I）求的概率密度函数； （II）计算；（III）计算X与Y的相关系数【详解】（I）由于，其中故（1）当或时，（2）当时，有（3）当时，有（4）当时，有即（II）又故（III）由在中的对称性易知，而于是,故X与Y的相关系数（23）（本题11分） 设总体X的分布律为