高考总动员高考数学大一轮复习 第7章 立体几何学案 文 新人教版.doc

第七章立体几何第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图 基础知识深耕一、空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.【方法技巧】在几何体的有关计算中，要注意下列方法与技巧：(1)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，集中反映了旋转体的各主要元素之间的位置、数量关系(2)将圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要方法之一(3)圆(棱)台问题有时需要将圆(棱)台还原成圆(棱)锥来解决(4)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化空间为平面二、空间几何体的三视图1三视图的形成空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的2三视图的名称三视图包括：正视图、侧视图和俯视图3三视图的画法(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线三、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点o，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点o，且使xoy45或135，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半(2)画几何体的高在已知图形中过o点作z轴垂直于xoy平面，在直观图中对应的z轴，也垂直于xoy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度不变【拓展延伸】平面图形的直观图与原图形面积的两个关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：s直观图s原图形，s原图形2s直观图基础能力提升1下列说法正确的是()a有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱b有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱c有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥d棱台各侧棱的延长线交于一点【解析】如图(1)，(2)，(3)可知a，b，c均错误(1)(2)(3)【答案】d2如图711所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()图711abcd【解析】由几何体的结构可知，只有圆锥、正四棱锥两几何体的正视图和侧视图相同，且不与俯视图相同【答案】c3有一个几何体的三视图如图712所示，这个几何体应是一个()图712a棱台b棱锥 c棱柱d都不对【解析】由几何体的三视图可知该几何体是一个棱台【答案】a4利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的序号是_【解析】由斜二测画法原理可知正确，均不正确【答案】1两个概念正棱柱、正棱锥的概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫做正四面体2三个注意点画三视图应注意的三个问题(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同(3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置第二节空间几何体的表面积与体积基础知识深耕一、几何体的表面积1多面体的表面积因为多面体的各面都是平面，所以多面体的表面积就是各个面的面积之和，即展开图的面积2旋转体的表面积名称图形表面积侧面积圆柱s2r22rl或2r(rl)s侧rl圆锥sr2rl或r(rl)s侧2rl圆台s(r2r2rlrl)s侧(rr)l球s4r2【拓展延伸】空间图形的展开图及其应用空间图形的展开图主要用于求其表面积，至于规则的多面体，不用展开图，也能求其表面积展开图的另一个应用是求从几何体的表面上一点沿表面到达另一点的最短距离，这个问题可以用展开图化成平面内两点间的距离求解二、几何体的体积1设棱(圆)柱的底面积为s，高为h，则体积vsh.2设棱(圆)锥的底面积为s，高为h，则体积vsh.3设棱(圆)台的上、下底面面积分别为s，s，高为h，则体积v(ss)h.4设球半径为r，则球的体积vr3.【方法技巧】割补法求表面积与体积对于不规则的几何体或简单的组合体的表面积和体积的求解通常用割补法，转化为简单规则的几何体进行解决【拓展延伸】球截面及其性质用一个平面去截球，截面都是圆面若平面经过球心，截球面得到的圆叫大圆，其半径等于球半径，圆心就是球心若平面不经过球心，截球面得到的圆叫小圆，其半径小于球半径，其圆心与球心的连线垂直于截面设球半径为r，小圆半径为r，球心到截面的距离为d，则d.基础能力提升1若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图721所示，则其侧面积等于()图721a.b2c2d6【解析】由三棱柱的正视图可知此三棱柱为底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，s侧2136.【答案】d2圆柱的一个底面积为s，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()a4sb2s cs d.s【解析】设圆柱的底面半径为r，则sr2，r.由题意得圆柱的高h2r，s侧2rh424s.【答案】a3长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为()a.b56 c14d64【解析】设过长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则得令球的半径为r，则(2r)222123214，即该球的表面积s4r214.【答案】c4一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为_cm3.【解析】如图所示，由已知可得o1a3 cm，oo14 cm，从而roa5 cm，所以v球53(cm3)【答案】1一种思想旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法2两个注意点求空间几何体的表面积应注意两点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错3三种方法求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体第三节空间点、直线、平面之间的位置关系 基础知识深耕一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内al，bl，且a，bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线p，且pl且pl【拓展延伸】公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面二、空间直线的位置关系1位置关系的分类2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：.【拓展延伸】异面直线的判定方法(1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一平面内(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)(3)反证法：即假设两直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两直线相交或平行)，结合原题中的条件，得出矛盾，否定假设三、空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abaaal独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a基础能力提升1给出下列命题：如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a；两个平面，有一个公共点a，就说，相交于过a点的任意一条直线；两个平面，有一个公共点a，就说，相交于a点，并记作a；平面abc与平面dbc相交于线段bc；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面其中正确的是()abcd【解析】不正确，该直线是唯一确定的；不正确，l，且al上；不正确，平面abc与平面dbc相交于直线bc；均正确【答案】d2下列说法正确的是()a若a，b，则a与b是异面直线b若a与b异面，b与c异面，则a与c异面c若a，b不同在平面内，则a与b异面d若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面【解析】如图，正方体abcda1b1c1d1中，分别取aaa1，bcc1可知a、c错误；取aaa1，bbd，ccc1，易知b错误，d符合异面直线的定义【答案】d图7313如图731所示，点a是平面bcd外一点，adbc2，e，f分别是ab，cd的中点，且ef，则异面直线ad和bc所成的角为_【解析】如图，设g是ac的中点，连接eg，fg.因为e，f分别是ab，cd的中点，故egbc，且egbc1，fgad，且fgad1.即egf为所求，又ef，由勾股定理逆定理可得egf90.【答案】90.4下列结论正确的是_直线a平面，直线b，则ab；直线a，直线b，则直线ab；a，则a或和相交；aa，则a；若a，b，则a、b无公共点【解析】错，a，b可能异面；错，a，b可能异面或相交；对，a，包含两种情况相交或平行；对，a和相交；错，a，b可能相交【答案】1一种方法异面直线所成角的求法求异面直线所成角常用“平移法”，把空间问题平面化，然后借助三角形的边角关系求解2两个易误点概念辨析(1)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交(2)直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”3三个作用3个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内；由直线的直刻画平面的平(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线第四节直线、平面平行的判定及其性质基础知识深耕一、直线与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行l2.性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行ab【拓展延伸】(1)证线面平行若a，ab，b，则b.若a，a，则a.(2)线面平行的性质若a，a，b，则ab.若a，a，则.二、平面与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行2.性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab【拓展延伸】平面与平面平行的几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行基础能力提升1若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是()a内的所有直线都与直线a异面b内可能存在与a平行的直线c内的直线都与a相交d直线a与平面没有公共点【解析】直线a与不平行，则直线a在内或与相交，当直线a在平面内时，在内存在与a平行的直线，b正确【答案】b2下列说法中正确的是()一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；如果直线l和平面平行，那么过平面内一点和直线l平行的直线在内abcd【解析】由线面平行的性质定理知正确；由直线与平面平行的定义知正确；错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面【答案】d3下列条件中，能判断两个平面平行的是()a一个平面内的一条直线平行于另一个平面b一个平面内的两条直线平行于另一个平面c一个平面内有无数条直线平行于另一个平面d一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面【解析】由两个平面平行的定义可知d正确【答案】d4已知正方体abcda1b1c1d1，下列结论中，正确的结论是_(只填序号)ad1bc1；平面ab1d1平面bdc1；ad1dc1；ad1平面bdc1.【解析】如图，四边形abc1d1是平行四边形，ad1bc1，故正确；又ad1与dc1为异面直线，故错误；又由b1d1bd，可知正确【答案】1一个转化三种平行关系间的转化2两个注意点证明平行问题(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行第五节直线、平面垂直的判定及其性质基础知识深耕一、直线与平面垂直1定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直2判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab【拓展延伸】与垂直相关的几个重要结论1直线与平面垂直的定义常常逆用，即a，bab.2若两平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面3垂直于同一条直线的两个平面平行4过一点有且只有一条直线与已知平面垂直5过一点有且只有一个平面与已知直线垂直二、平面与平面垂直1平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直l【拓展延伸】垂直关系的转化三、线面角与二面角1直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和0.2二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角基础能力提升1给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行