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第三章 一元一次方程 单元要点分析 教学内容 方程就是将众多实际问题“教学化”的一个重要模型因此，课本从学生熟悉的实际问题开始，从算式到方程，展开方程的学习，以使学生认识到方程的出现源于解决问题的需要，体会学习方程的意义和作用 本章内容主要分为以下三个部分： 1通过丰富实例，从算式到建立一元一次方程，展开方程是刻画现实生活的有效数学模型 2运用等式的基本性质解方程，归纳移项法则，运用分配律，归纳“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤，这些内容的学习不是孤立进行的，始终从实际问题出发，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望 3运用方程解决丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，展现运用方程解决实际问题的一般过程 为了使学生经历“建立方程模型”这一数学化的过程，理解学习方程的意义，培养学生的抽象概括等能力，课本内容的呈现都以求解决一个实际问题为切入点，让学生经历抽象、符号变号、应用等活动，在活动中培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识 三维目标 1知识与技能 根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型 2过程与方法 （1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程（数学系数） （2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力 3情感态度与价值观 激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值 重、难点与关键 1重点：一元一次方程有很多直接应用，解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题 2难点：正确地列出一元一次方程的解决实际问题 3关键：（1）熟练地解一元一次方程的关键在于正确地了解方程、方程解的意义和运用等式的两个性质 （2）正确地列出方程的关键在于正确地分析问题中的已知数、未知数，并找出能够表示应用题全部含义的相等关系 课时划分 31 从算式到方程 2课时 32 解一元一次方程（一） 3课时 33 解一元一次方程（二） 4课时 34 实际问题与一元一次方程 3课时 数学活动 1课时 回顾与思考 1课时311 一元一次方程 教学内容 课本第78页至第81页 教学目标 1知识与技能 （1）通过观察，归纳一元一次方程的概念 （2）根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解 2过程与方法 通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义 3情感态度与价值观 鼓励学生进行观察思考，发展合作交流的意识和能力 重、难点与关键 1重点：了解一元一次方程的有关概念，会根据已知条件，设未知数，列出简单的一元一次方程，并会估计方程的解 2难点：找出问题中的相等关系，列出一元一次方程以及估计方程的解 3关键：找出能表示实际问题的相等关系 教具准备 投影仪 教学过程 一、复习提问 在小学里，我们已学习了像2x=50，3x+1=4等简单方程，那么什么叫方程呢？什么叫方程的解和解方程呢？ 答：含有未知数的等式叫方程；能使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程 方程是应用广泛的数学工具，把问题中未知数与已知数的联系用等式形式表示出来在研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数 怎样根据问题中的数量关系列出方程？怎样解方程？这是本章研究的问题 通过本章中丰富多彩的问题，你将进一步感受到方程的作用，并学习利用一地一次方程解决问题的方法 二、新授 1怎样列方程？ 让学生观察章前图表，根据图表中给出的信息，回答以下问题 （1）根据图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间表，你知道，汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间？青山到秀水呢？ （2）青山与翠湖、秀水到翠湖的距离分别是多少？ （3）本问题要求什么？ （4）你会用算术方法解决这个实际问题呢？不妨试试列算式 （5）如果设王家庄到翠湖的路程为x（千米），你能列出方程吗？ 解：（1）汽车从王家庄行驶到青山用了3小时，青山到秀水用了2小时 （2）青山与翠湖的距离为50千米，秀水与翠湖的距离为70千米 （3）王家庄到翠湖的距离是多少千米？ （4）分析：要求王家庄到翠湖的距离，只要求出王家庄到青山的距离，而王家庄到青山的时间为3小时，所以必需求汽车的速度 如何求汽车的速度呢？ 这里青山到秀水的时间为2小时，路程为（50+70）千米，因此可求的汽车的平均速度为（50+70）2=60（千米时） 王家庄到青山的路程为：603=180（千米） 所以王家庄到翠湖的路程为：180+50=230（千米） 列综合算式为：3+50（5）分析：先画出示意图，示意图往往有助于分析问题 从上图中可以用含x的式子表示关于路程的数量： 王家庄距青山（x-50）千米，王家庄距秀水（x+70）千米 从章前图表中可以得出关于时间的数量： 从王家庄到青山行车3小时，从王家庄到秀水行车5小时 由路程数量和行车时间的数量，可以得到行车速度的表达式 汽车从王家庄开往青山时的速度为千米时，汽车从王家庄开往秀水的速度为千米时 要列出方程，必需找出“相等关系”，题目中还有哪些相等关系吗？ 根据汽车是匀速行驶的，可知各段路程的车速相等 于是列出方程： = 以后我们将学习如何解这个方程，求出未知数x的值，从而得出王家庄到翠湖的路程 思考：对于以上的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？ 根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等 所以还可以列方程： =或= （前者是汽车从王家庄到青山与从青山到秀水，这两段路程的车速相等，后者是汽车从王家庄到翠湖与从青山到秀水，这两段路程的车速相等） 比较用算术方法和列方程方法解应用题，用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难；而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，有了这个未知数，问题中的已知量与未知量之间的关系就很容易用含有这个未知数的式子表示，再根据“相等关系”列出方程 有了方程后人们解决许多问题就更方便了，通过今后的学习，你会逐步认识：从算式到方程是数学的进步 列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程 例1：根据下列问题，设未知数并列出方程 （1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ 分析：设正方形的边长为x（cm），那么周长为4x（cm），依题意，得4x=24 （2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？ 分析：设再经过x月这台计算机的使用时间达到规定的检测时间，根据每月再使用150小时，那么x月共使用150x小时 能表示这个问题的相等关系是什么？ 相等关系是：已使用的时间1700小时还可以使用的时间150x小时规定的检测时间2450小时 从而列出方程：1700+150x=2450 找出表达问题意义的相等关系是列出方程的关键 （3）某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 问：女生占全体学生数的52%，那么男生占全体学生数的（1-52%），如果设这个学校有x个学生，那么用含x的式子表示女、男学生数 女生有52%x人，男生有（1-52%）x人； 问题中的相等关系是什么？ （女生比男生多80人）即女生人数-男生人数=80或女生人数=男生人数+80 列方程：0.52x-（1-0.52）x=80或0.52x=（1-0.52）x+80 2一元一次方程的概念 观察以上所列出的各方程，有什么特点？每个方程有几个未知数，未知数的指数是多少？ 只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程 例如方程2x-3=3x+1，-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都不是一元一次方程 以上分析过程可归纳为： 分析问题中的数量关系设未知数x用含x的式子表示实际问题中的数量关系找出相等关系，利用相等关系列出方程（一元一次方程） 列方程是解决实际问题的一种重要方法，利用方程可以解出未知数 观察方程4x=24，不难发现，当x=6时，4x的值是24，这时方程等号左右两边相等，x=6叫做方程4x=24的解，这就是说，方程4x=24中未知数x的值应是6 从方程1700+150x=2450，你能估算出x的值吗？ 这里x是正整数，如果x=1，那么方程左边=1700+1501=1850右边 所以x1 如果x=2，则方程左边=1700+1502=2000右边， 所以x2 类似地，我们可以列出下面的表x的值 1 2 3 4 5 61700+150x185020002150230024502600 从表中可以发现，当x=5时，1700+150x的值是2450 这时方程1700+150x=2450等号左右两边相等，x=5叫做方程1700+150x=2450的解，这就是说，方程1700+150x=2450中未知数x的值应是5 解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值的过程，这个值就是方程的解 你能从表中发现方程1700+150x=2600的解吗？ 当x=6时，1700+150x的值为2600，即x=6时方程等号两边的值相等，所以这个方程的解是x=6 思考：你能估算出方程2（x+1.5x）=24和方程0.52x-（1-0.52）x=80的解吗？ 以上估算难度较大，第一个方程，当x=4时，方程左边=2024，所以取x=4.7或x=4.8试一试，结果当x=4.8时，方程左边=24=右边，所以方程的解为x=4.8第二个方程的解为x=2000，困难更大了，可以告诉学生，当我们学习了方程的解法后，就很容易求出x的值了 思考：x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-（1-0.52）x=80的解？ 三、巩固练习 课本第82页练习 1设沿跑道跑x周，可以跑3000m，根据相等关系x周共长3000m 所以列方程：400x=3000，如果x=7，则400x=28003000，如果x=7.5，则400x=4007.5=3000，所以沿跑道跑7周半，可以跑3000m 2如果设买甲种铅笔x枝，那么买乙种铅笔（20-x）枝，买甲种铅笔用去0.3x元，乙种铅笔用去0.6（20-x）元，相等关系是： 两种铅笔共用了9元钱，由此可列方程 0.3x+0.6（20-x）=9 3设上底长为xcm，那么下底长为（x+2）cm， 根据梯形面积公式，可列方程： =40 四、课堂小结 方程在小学里已初步学过，对于方程中的一些概念，如：方程的解和解方程等，要进一步弄清楚，今天还学习了一元一次方程的定义，“一元”是指方程中只有一个未知数，“一次”是指方程中未知数的指数是一，这样的方程才是一元一次方程 用估算求方程的解，实际上是检验一个数是否为方程的解，方法是：把这个数分别代入方程的左、右两边，看是否相等，若方程只有一边含有未知数，而另一边只有一个数，则只需代入只有未知数的一边，计算出结果，看其是否和另一边相等 列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤： 设未知数用含未知数的式子表示问题中的数量关系 找出相等关系列出一元一次方程 其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利用，不能把同一条件重复利用 五、作业布置 1课本第84页至第85页习题31第1、2、5、6、9题 2选用课时作业设计课时作业设计 一、判断题（对的打“”，错的“”） 1x=2是方程x-10=-4x的解 （ ） 2x=1或x=-1都是方程x2-1=0的解（ ） 二、选择题 3方程12（x-3）-1=2x+3的解是（ ） Ax=3 Bx=-3 Cx=-4 Dx=4 4下列式子是一元一次方程的是（ ） A2x+1 B C7x+5y=0 Dx2-x=0 5解是1的方程是（ ） Ax（x-1）=1 B2y-1=4-3y C3-（x-1）=4 D5x-2=x-4 三、根据下列条件列出方程（不求解） 6某数的比这个数大1 7某数的3倍比这个数的小3 8某数与1的差是这个数的2倍 9某数的30%与4的差的等于2 四、解答题 10买3千克苹果，付出10元，找回了3角4分，求每千克苹果多少钱？ 11某厂去年10月生产电视机2050台，这比前年10月产量的2倍还多150台，这个厂前年10月生产电视机多少台？ 12挖一条长1210m的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖130m，乙队每天挖90m，挖好水渠需要多少天？ 13现在有面值为2元和5元的人民币39张，币值共计111元，问两种人民币各有多少张？ 答案： 一、1 2 二、3D 4B 5B 三、6x-x=1 73x=x-3 8x-1=2x 9（30%x-4）=2四、10设每千克苹果x元，列方程3x+0.34=10，x=3.22 11设这个厂前年10月生产电视机x台，列方程2x+150=2050，x=950 12设挖好水渠需x天，列方程130x+90x=1210，x=5.5（天） 13设面值2元的人民币有x张，列方程2x+5（39-x）=111，x=28，2元的有28张，5元的有11张3.1.2 等式的性质 教学内容 课本第82页至第84页 教学目标 1知识与技能 会利用等式的两条性质解方程 2过程与方法 利用天平，通过观察、分析得出等式的两条性质 3情感态度与价值观 培养学生参与数学活动的自信心、合作交流意识 重、难点与关键 1重点：了解等式的概念和等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程 2难点：由具体实例抽象出等式的性质 3关键：了解和掌握等式的两条性质是掌握一元一次方程的解法的关键 教具准备 投影仪 教学过程 一、引入新课 我们可以估算出某些方程的解，但是仅依靠估算来解比较复杂的方程是很困难的这一点上一节课我们已经体会到因此，我们还要讨论怎样解方程因为，方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质？ 二、新授 1什么是等式？ 用等号来表示相等关系的式子叫等式 例如：m+n=n+m，x+2x=3x，33+1=52，3x+1=5y这样的式子，都是等式，我们可以用a=b表示一般的等式 2探索等式性质 观察课本图31-2，由它你能发现什么规律？ 从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还保持平衡 从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是保持平衡 等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质 等的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果相等 例如等式：1+3=4，把这个等式两边都加上5结果仍是等式即1+3+5=4+5，把等式两边都减去5，结果仍是等式，即1+3-5=4-5 怎样用式子的形式表示这个性质？ 如果a=b，那么ac=bc 运用性质1时，应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系，例如，对于等式3+4=7，如果左边加上5，右边加上6，那么3+4+57+6 观察课本图31-3，由它你能发现什么规律？ 可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还保持平衡 类似可以得到等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等 怎样用式子的形式表示这个性质？ 如果a=b，那么ac=bc 如果a=b，（c0），那么= 性质2中仅仅乘以（或除以）同一个数，而不包括整式（含字母的），要注意与性质1的区别 运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数 例2：利用等式的性质解下列方程： （1）x+7=26； （2）-5x=20； （3）-x-5=4 分析：解方程，就是把方程变形，变为x=a（a是常数）的形式 在方程x+7=26中，要去掉方程左边的7，因此两边都减去7 解：（1）根据等式性质1，两边同减7，得： x+7-7=26-7 于是 x=19 我们可以把x=19代入原方程检验，看看这个值能否使方程的两边相等，将x=19代入方程x+7=26的左边，得左边19+7=26=右边，所以x=19是方程x+7=26的解 （2）分析：-5x=20中-5x表示-5乘x，其中-5是这个式子-5x的系数，式子x的系数为1，-x的系数为-1，如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？即把-5x的系数变为1，应把方程两边同除以-5解：根据等式性质2，两边都除以-5，得 于是x=-4 （3）分析：方程-x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把-x的系数化为1，如何去掉-5呢？根据两个互为相反数的和为0，所以应把方程两边都加上5 解：根据等式性质1，两边都加上5，得 -x-5+5=4+5 化简，得-x=9 再根据等式性质2，两边同除以-（即乘以-3），得 -x（-3）=9（-3） 于是 x=-27 同学们自己代入原方程检验，看看x=-27是否使方程的两边相等 3补充例题：下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？ （1）解方程：x+12=34 解：x+12=34=x+12-12=34-12=x=22 （2）解方程-9x+3=6 解： -9x+3-3=6-3 于是 -9x=3 所以 x=-3 （3）解方程-1= 解：两边同乘以3，得2x-1=-1 两边都加上1，得 2x-1+1=-1+1 化简，得 2x=0 两边同除以2，得 x=0 分析：（1）错，解方程是根据等式的两个性质，将方程变形，所以不能用连等号； （2）错，最后一步是根据等式的性质2，两边同除以-9，即，于是x=- （3）错，两边同乘以3，应得2x-3=-1 两边都加3，得 2x=2 两边同除以2，得 x=1 本题还可以这样解答： 两边都加上1，得-1+1=-+1 化简，得= 两边都除以（或乘以），得x=1 三、巩固练习 1课本第84页练习 （1）两边同加上5，得x=11，把x=11代入方程左边=11-5=6=右边，所以x=11是方程的解 （2）两边同除以0.3，即乘以，得x=150，检验略 （3）解法1：两边都减去2，得2-x-2=3-2 化简，得-x=1 两边同乘以-4，得x=-4 解法2：两边都乘以-4，得-8+x=-12 两边都加上8，得x=-4 检验：将x=-4代入方程，2-x=3的左边，得： 2-（-4）=2+1=3 方程的左右两边相等，所以x=-4是方程的解 一般采用方法1 2补充练习 回答下列问题： （1）从a+b=b+c，能否得到a=c，为什么？ （2）从ab=bc能否得到a=c，为什么？ （3）从=，能否得到a=c，为什么？ （4）从a-b=c-b，能否得到a=c，为什么？ （5）从xy=1，能否得到x=，为什么？ 解：（1）从a+b=b+c，能得到a=c，根据等式性质1，两边同减去b，就得a=c （2）从ab=bc不能得到a=c，因为b是否为0不确定，所以不能根据等式的性质2，在等式的两边同除以b （3）从=能得到a=c，根据等式性质2，两边都乘以b （4）从a-b=c-b能得到a=c，根据等式性质1，两边都加b （5）从xy=1能得到x=由xy=1隐含着y0，因此根据等式的性质2，在等式两边都除以y 四、课堂小结 在学习本节内容时，要注意几个问题： 1根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边 2等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同 3利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0 五、作业布置 1课本第85页习题31第4、7、8题 2思考课本第85习题31第10、11题 3选用课时作业设计课时作业设计 一、填空题 1在等式2x-1=4，两边同时_得2x=5 2在等式x-=y-，两边都_得x=y 3在等式-5x=5y，两边都_得x=-y 4在等式-x=4的两边都_，得x=_ 5如果2x-5=6，那么2x=_，x=_，其根据是_ 6如果-x=-2y，那么x=_，根据_ 7在等式x=-20的两边都_或_得x=_ 二、判断题（对的打“”，错的打“”） 8由m-1=4，得m=5 （ ） 9由x+1=3，得x=4 （ ） 10由=3，得x=1 （ ） 11由=0，得x=2 （ ） 12在等式2x=3中两边都减去2，得x=1（ ） 三、判断题 13下列方程的解是x=2的有（ ） A3x-1=2x+1 B3x+1=2x-1 C3x+2x-2=0 D3x-2x+2=0 14下列各组方程中，解相同的是（ ） Ax=3与2x=3 Bx=3与2x+6=0 Cx=3与2x-6=0 Dx=3与2x=5 四、用等式的性质求x 15（1）x+2=5； （2）3=x-3； （3）x-9=8； （4）5-y=-16； （5）-3x=15； （6）-2=10； （7）3x+4=-13； （8）x-1=5 五、检验下列各小题括号里的数哪个是它前面方程的解 163-2x=9+x（x=2，x=-2） 175x-1=2x+3（x=1，x=） 18（2x-1）（x+3）=0（x=，x=1，x=-3） 19x2+2x-3=0（x=1，x=-1，x=-3） 答案:一、1加1 2加 3除以-5 4乘-3 -12 511 5.5 等式性质1 68y 等式性质2 7除以 乘以 - - 二、8 9 10 11 12 三、13A 14C四、15（1）x=3 （2）x=6 （3）x=17 （4）y=21 （5）x=-5 （6）y=-36 （7）x=- （8）x=9 五、16x=-2 17x= 18x=或x=-3 19x=1或x=-33.2 解一元一次方程（1）合并同类项与移项 教学内容 课本第88页至第89页 教学目标 1知识与技能 会利用合并同类项解一元一次方程 2过程与方法 通过对实例的分析，体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用 3情感态度与价值观 开展探究性学习，发展学习能力 重、难点与关键 1重点：会列一元一次方程解决实际问题，并会合并同类项解一元一次方程 2难点：会列一元一次方程解决实际问题 3关键：抓住实际问题中的数量关系建立方程模型 教具准备 投影仪 教学过程 一、复习提问 1叙述等式的两条性质 2解方程：4（x-）=2 解法1：根据等式性质2，两边同除以4，得： x-= 两边都加，得x= 解法2：利用乘法分配律，去掉括号，得： 4x-=2 两边同加，得4x= 两边同除以4，得x= 二、新授 公元825年左右，中亚细亚数学家阿尔、花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程这本书的拉丁文译本取名为对消与还原“对消”与“还原”是什么意思呢？让我们先讨论下面内容，然后再回答这个问题 问题1：某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？ 分析：设前年这个学校购买了x台计算机，已知去年购买数量是前年的2倍，那么去年购买2x台，又知今年购买数量是去年的2倍，则今年购买了22x（即4x）台 题目中的相等关系为：三年共购买计算机140台，即 前年购买量去年购买量今年购买量140 列方程：x+2x+4x=140 如何解这个方程呢？ 2x表示2x，4x表示4x，x表示1x 根据分配律，x+2x+4x=（1+2+4）x=7x 这样就可以把含x的项合并为一项，合并时要注意x的系数是1，不是0 下面的框图表示了解这个方程的具体过程： x+2x+4x=140 合并 7x=140 系数化为1 x=20 由上可知，前年这个学校购买了20台计算机 上面解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax=b的形式，其中a、b是常数 例：某班学生共60分，外出参加种树活动，根据任何的不同，要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2：3：5，求各小组人数 分析：这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2：3：5，就是说把总数60人分成10份，甲组人数占2份，乙组人数占3份，丙组人数占5份，如果知道每一份是多少，那么甲、乙、丙各组人数都可以求得，所以本题应设每一份为x人 问：本题中相等关系是什么？ 答：甲组人数乙组人数丙组人数60 解：设每一份为x人，则甲组人数为2x人，乙组人数为3x人，丙组为5x人，列方程： 2x+3x+5x=60 合并，得10x=60 系数化为1，得x=6 所以2x=12，3x=18，5x=30 答：甲组12人，乙组18人，丙组30人 请同学们检验一下，答案是否合理，即这三组人数的比是否是2：3：5，且这三组人数之和是否等于60 三、巩固练习 1课本第89页练习 （1）x=3 （2）可以先合并，也可以先把方程两边同乘以2 具体解法如下： 解法1：合并，得（+）x=7 即 2x=7 系数化为1，得x= 解法2：两边同乘以2，得x+3x=14 合并，得 4x=14 系数化为1，得 x= （3）合并，得-2.5x=10 系数化为1，得x=-4 2补充练习 （1）足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑白皮块的数目比为3：5，一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？ （2）某学生读一本书，第一天读了全书的多2页，第二天读了全书的少1页，还剩23页没读，问全书共有多少页？（设未知数，列方程，不求解） 解：（1）设每份为x个，则黑色皮块有3x个，白色皮块有5x个 列方程 3x+2x=32 合并，得 8x=32 系数化为1，得 x=4 黑色皮块为43=12（个），白色皮块有54=20（个） （2）设全书共有x页，那么第一天读了（x+2）页，第二天读了（x-1）页 本问题的相等关系是：第一天读的量+第二天读的量+还剩23页=全书页数 列方程：x+2+x-1+23=x 四、课堂小结 初学用代数方法解应用题，感到不习惯，但一定要克服困难，掌握这种方法，掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤，其中找等量关系是关键也是难点，本节课的两个问题的相等关系都是：“总量各部分量的和”这是一个基本的相等关系 合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项，也就是逆用乘法分配律，合并时，注意x或-x的系数分别是1，-1，而不是0 五、作业布置 1课本第93页习题32第1、3（1）、（2）、4、5题 2选用课时作业设计第一课时作业设计 一、解方程 1（1）3x+3-2x=7； （2）x+x=3； （3）5x-2-7x=8； （4）y-3-5y=； （5）-=5； （6）0.6x-x-3=0 二、解答题 2育红小学现有学生320人，比1995年学生人数的少150人，问育红小学1995年学生人数是多少？ 3甲、乙两地相距460千米，A、B两车分别从甲、乙两地开出，A车每小时行驶60千米，B车每小时行驶48千米 （1）两车同时出发，相向而行，出发多少小时两车相遇？ （2）两车相向而行，A车提前半小时出发，则在B车出发后多少小时两车相遇？相遇地点距离甲地多远？ 4甲、乙二人从A地去B地，甲步行每小时走4千米，乙骑车每小时比甲多走8千米，甲出发半小时后乙出发，恰好二人同时到达B地，求A、B两地之间的距离 5一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米；乙练习长跑，平均每分钟跑250米，两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇？ 答案: 一、1（1）x=4 （2）x=4 （3）x=-5 （4）x=- （5）x=30 （6）x=11二、2705人，设育红小学1995年学生人数为x人，列方程320=x-1503（1）4小时，设出发后x小时相遇，列方程60x+48x=460. （2）3小时，设B车开出后x小时两车相遇，列方程60+60x+48x=460 43千米，设A、B两地间的距离为x千米，-= 51分钟，设经过x分钟两人首次相遇，列方程550x-250x=4003.2 解一元一次方程（2）合并同类项与移项 教学内容 课本第89页至第91页 教学目标 1知识与技能 理解移项法，并知道移项法的依据，会用移项法则解方程 2过程与方法 经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，认识用方程解决实际问题的关键是建立相等关系 3情感态度与价值观 鼓励学生自主探索与合作交流，发展思维策略，体会方程的应用价值 重、难点与关键 1重点：运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程 2难点：对立相等关系 3关键：理解“移项法则”的依据，以及寻找问题中的等量关系 教具准备 投影仪 教学过程 一、复习提问 1运用方程解决实际问题的步骤是什么？ 2解方程：+10 二、新授 问题2：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？ 分析：设这个班有x名学生，根据第一种分法，分析已知量和未知量间的关系 1每人分3本，那么共分出多少本？（3x本） 2共分出3x本和剩余的20本，可知道什么？ 答：这批书共有（3x+20）本 根据第二种分法，分析已知量与未知量之间的关系 3每人分4本，那么需要分出多少本？（4x本） 4需要分出4x本和还缺少25本那么这批书共有多少本？ 答：这批书共有（4x-25）本 这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可以作为列方程的依据？ 这批书的总数是一个定值（不变量）表示它的两个式子应相等 根据这一相等关系，列方程： 3x+20=4x-25本题还可以画示意图，帮助我们分析： 从示意图中容易得到这批书的总数与分出书、剩下书的关系是： 这批书的总数=3x+30 这批书的总数与需要分出的书的数量、还缺少书的数量关系是： 这批书的总数=4x-25 根据两种分法，这批书的总数是相等的 所以，列方程3x+20=4x-25 注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：“表示同一个量的两个不同式子相等” 思考：方程3x+20=4x-25的两边都含有x的项（3x与4x），也都含有不含字母的常数项（20与-25）怎样才能使它转化为x=a（常数）的形式呢？ 要使方程右边不含x的项，根据等式性质1，两边都减去4x，同样，把方程两边都减去20，方程左边就不含常数项20，即 3x+20 -4x-20 =4x-25 -4x-20 即 3x-4x=-25-20 将它与原来方程比较，相当于把原方程左边的+20变为-20后移到方程右边，把原方程右边的4x变为-4x后移到左边 像上面那样，把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项 方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程等号右边的项改变符号后移到等号的左边，也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边，注意要先变号后移项，别忘了变号下面的框图表示了解这个方程的具体过程3x+20=4x-25移项3x-4x=-25-20合并-x=-45系数化为1x=46 由此可知这个班共有45个学生 思考：上面解方程中“移项”起了什么作用？ 答：“移项”使方程中含x的项归到方程的同一边（左边），不含x的项即常数项归到方程的另一边（右边），这样就可以通过“合并”把方程转化为x=a形式 在解方程时，要弄清什么时候要移项，移哪些项，目的是什么？ 解方程时经常要“合并”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并”和“移项” 如果把上面的问题2的条件不变，“这个班有多少学生”改为“这批书有多少本？”你会解吗？试试看 解法1：从原问题的解答中，已求的这个班有45个学生，只要把x=45代入3x+20（或4x-25）就可以求得这批书的总数为： 345+20=135+20=155（本） 解法2：如果不先求学生数，直接设这批书共有x本，又如何布列方程？这时该用哪个“相等关系”列方程呢？ 这批书共有x本，余下20本，共分出（x-20）本，每人分3本，可以分给人，即这个班共有人 这批书有x本，每人分4本，还缺少25本，共需要（x+25）本，可以分给人，即这个班共有人 这个班的人数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这个相等关系列方程 = （你会解这个方程吗？） 即-=+ 移项，得-=+ 合并，得= 系数化为1，得x=155 答：这批书共有155本 三、巩固练习 1课本第91页练习 （1）解：移项，得6x-4x=-5+7 合并，得 2x=2 系数化为1，得x=1 （2）解：移项，得x-x=6 合并，得-x=6 系数化为1，得x=-24 2补充练习 下列移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？ （1）从3x+6=0得3x=6； （2）从2x=x-1得到2x-x=1； （3）从2+x-3=2x+1得到2-3-1=2x-x 解：（1）错，移项忘了要变号，应改为3x=-6 （2）错原方程中的-1仍然在方程右边，并没有移项，所以不要变号，应改为2x-x-=-1 （3）正确 四、课堂小结 1列一元一次方程解决实际问题的关键是审题和找相等关系，今天解决的这个问题的相等关系不明显，隐含在问题中，表示同一个量的两个式子是相等这个相等关系可以作列方程的依据 2正确理解移项法则，移项中常犯的错误是忘记变号，还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质区别，移项的依据是等式性质，在方程的一边交换两项的位置是根据交换律 五、作业布置 1课本第93页至第94页习题32第2、3（3）（4）、6、7、8题 2选用课时作业设计第二课时作业设计 一、填空题 1在方程的两边加上或减去同一项，相当于把原方程中的项_后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做_，其依据是_，移项要注意_ 2在方程的一边交换两项的位置_改变项的符号，而移项_改变符号 3解方程x+21=36得x=_；由10x-3=9得x=_ 二、判断题（对的打“”，错的打“”） 4移项就是把方程中的某一项移到等号的另一边（ ） 5从6x=1，移项，得x=1-6，x=-5 （ ） 6由方程-4+x=7移项得x=7-4 （ ） 三、解方程 7（1）8=7-2y； （2）=-； （3）5x-2=7x+8； （4）1-x=3x+； （5）2x-=-+2； （6）-x+6=4x+1； （7）-x=0.5x-3 四、解答题 8设m=3x-2，n=-2x+3，当