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中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷数学科学学院线性代数课程试题(A卷)优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 -装-订-线- 共 3页 第 1 页考试说明：本课程为闭卷考试，考试时间100分钟。 满分为：100分题号一二三四五六总分得分一 填空题（每题3分，共15分）1设的基为，则在基下的坐标为 。2已知方阵，且满足方程，则的逆矩阵 。3设为3阶实对称矩阵, 向量,分别对应于特征值和的特征向量, 则 。4若矩阵的秩，则 。5设为3阶矩阵，且，则 。二 单项选择题（每题3分，共15分）1向量组线性相关的充要条件是( )。 (A) 中至少有两个向量成正比； (B) 中至少有一个零向量； (C) 中至少有一个向量可由其余的向量线性表示； (D) 中任一部分组线性相关。2已知阶行列式，则下列表述正确的是（ ）。（A）行列式主对角线上的元素全为零；（B）的行向量组线性相关；（C）方程仅有零解； （D）的秩为。3设为同阶方阵，下列结论成立的有（ )。(A）； （B）；（C）若，则； （D）。4已知元非齐次线性方程，为方程对应的齐次线性方程组，则有（ ）。（A）若只有零解，则有惟一解；（B）有惟一解的充要条件是；（C）有两个不同的解，则有无穷多解；（D）有两个不同的解，则 的基础解系中含有两个以上向量。5行列式的充要条件是（ ）。（A）； （B）；（C）或；（D）且。三计算下列各题（32分）1. 求阶行列式的值。2设矩阵满足方程，求矩阵。3设, 求，及。4求矩阵的特征值与特征向量。四求向量组， 的一个极大无关组, 并将其余向量用这个极大无关组线性表示。（10分）五设二次型，利用正交变换法将二次型化为标准型，并写出正交矩阵。（10分）六设线性方程组试确定的值，使方程组有解，并求出其全部的解。（10分）七（8分）设向量组中，前个向量线性相关，后个向量线性无关，试证明：（1）可表示为的线性组合；（2）不能表示为的线性组合。授课教师命题教师或命题负责人签字线性代数命题组 年 月 日院系负责人签字年 月 日2007-2008学年 第2学期线性代数A卷答案一 填空题（每题3分，共15分）1； 2 ； 3 ； 4 ； 5 。二 选择题（每题3分，共15分）1C; 2B ; 3D ; 4C ; 5D。三计算下列各题（解法不唯一，答案仅供参考，下同。）1. 。2 。 3, 。4，得。所对应的特征向量,所对应的特征向量。四解：作矩阵，对其进行初等行变换化为阶梯形矩阵，极大无关组为，且，。五解：二次型对应的矩阵为，特征多项式为，从而，.所对应的特征向量有及。所对应的特征向量。正交单位化后得，因此， 。二次型的标准型为。六解：，因此，当时，方程组有解。一般解为：。七证明：（1）由题设知线性无关，又线性相关，所以可表示为的线性组合。（2）反证法。若能表示为的线性组合，由（1
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