高数导数的概念.ppt

第二章 微积分学的创始人 德国数学家Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 从微观上研究函数 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家Ferma在研究 极值问题中提出 英国数学家Newton 在许多实际问题中 需要从数量上研究变量的变化速度 如物体的运动速度 电流强度 线密度 比热 化学反应速度及生物繁殖率等 所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题 即导数 本章将通过对实际问题的分析 引出微分学中两个最重要的基本概念 导数与微分 然后再建立求导数与微分的运算公式和法则 从而解决有关变化率的计算问题 导数和微分是继连续性之后 函数研究的进一步深化 导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况 而微分则是指明当自变量有微小变化时 函数大体上变化多少 重点 导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导 难点 导数的实质 用定义求导 链式法则 问题的提出 导数的定义 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系 利用导数定义求导数 小结 第一节导数的概念 左 右导数 一 引出导数概念的两个实例 设描述质点运动位置的函数为 则到的平均速度为 而在时刻的瞬时速度为 2 曲线的切线斜率 曲线 在M点处的切线 割线MN的极限位置MT 当时 割线MN的斜率 切线MT的斜率 两个问题的共性 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 二 导数的定义 定义1 设函数 在点 存在 并称此极限为 记作 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 说明 在经济学中 边际成本率 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数 其它形式 若上述极限不存在 在点不可导 就说函数 关于导数的说明 注意 函数在一点的导数是一个局部性概念 它反映了函数在该点处的变化快慢 而与临近点是否可导无关 存在仅在某一点可导 而在其余点不可导的函数 导数定义式中的 x必修连续地趋于零 三 由定义求导数 步骤 例1 解 例2 解 例3 解 更一般地 例如 例4 解 例5 解 四 左 右导数 2 右导数 单侧导数 1 左导数 左右导数统称为单侧导数 例6 解 五 导数的几何意义与物理意义 若 曲线过 上升 若 曲线过 下降 若 切线与x轴平行 称为驻点 若 切线与x轴垂直 切线方程 法线方程 例7 解 由导数的几何意义 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 2 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率 变速直线运动 路程对时间的导数为物体的瞬时速度 交流电路 电量对时间的导数为电流强度 非均匀的物体 质量对长度 面积 体积 的导数为物体的线 面 体 密度 例7 问曲线 哪一点有垂直切线 哪一点处 的切线与直线 平行 写出其切线方程 解 令 得 对应 则在点 1 1 1 1 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 0 0 有垂直切线 六 可导与连续的关系 证 定理若y f x 在点可导 则y f x 在处一定连续 定理2 函数 左 左 由定理1和定理2 可得 在闭区间 a b 上可导 注意 可导的条件要比连续强 存在处处连续但是处处不可导的函数 连续函数不存在导数举例 例如 反例 在x 0处连续 但不可导 例如 例如 七 小结 1 导数的实质 增量比的极限 3 导数的几何意义 切线的斜率 4 函数可导一定连续 但连续不一定可导 5 求导数最基本的方法 由定义求导数 6 判断可导性 不连续 一定不可导 连续 直接用定义 看左右导数是否存在且相等 思考与练习 1 函数在某点处的导数 区别 是函数 是数值 联系 注意 有什么区别与联系 与导函数 2 设 存在 则 3 已知 则 4 若 时 恒有 问 是否在 可导 解 由题设 由夹逼准则 故 在 可导 且 5 设 问a取何值时 在 都存在 并求出 解 故 时 此时 在 都存在 显然该函数在x 0连续 作业 P861 5 6 11 16 18 牛顿 1642 1727 伟大的英国数学家 物理学家 天文 学家和自然科学家 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分 1665年他提出正 流数 微分 术 次年又提出反流数 积分 术 并于1671 年完成 流数术与无穷级数 一书 1736年出版 他 还著有 自然哲学的数学原理 和 广义算术 等 莱布尼兹 1646 1716 德国数学家 哲学家 他和牛顿同为