翻折与旋转在正方形解题中的应用.doc

翻折与旋转在正方形解题中的应用季红娟（江苏省常州市武进区前黄实验学校 213172）正方形素有完美的四边形之称，利用其本身的特性，巧用旋转和对称，对学生能力的培养是很有好处的。人教版数学八年级教科书中，有这样的一道习题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90，EF交正方形外角的平分线CF于F。求证：AE=EF。 图1 图2按照教材提示做辅助线：在AB上任取一点M，使AM=EC，连结ME，如图2，因为MAE=FEC，AME=ECF，所以AMEECF，故AE=EF。这样很容易获得结果。但我们对于这道题目不妨做如下的探讨和研究：（1）将上述问题中“点E是边BC的中点”，改为“点E是边BC上的任意一点”，其他条件不变，求证：AE=EF。（如图3）方法1：回归原问题，做同样的辅助线，如图3，在AB上取一点M，使得AM=EC，可以证明AE=EF。 图3 图4方法2：如图4，连结AC并延长到H，使CH=CF，连结EH。HCEECF H=F，EF=EH EAC=F EAC=H， AE=EH AE=EF此解法的基本思路就是构造全等，转化。我们可以看成将FEC沿BC所在直线翻折而得到HCE，是轴对称的一个简单运用。同样的，我们将AEB沿BC所在直线翻折而得到HEB，自然就有：方法3：如图5，延长AB、FC交于H点，连EH。可得AE=EH=EF。证明过程略。方法4：如图6，连AC，在AC上取一点Q，连EQ，使EQ=EC。 FCEAQE AE=EF此方法的实质不就是将FCE绕点E按逆时针方向旋转90而出现的结果吗？多么完美的全等变换！ 图5 图6 同样，若将AEB绕点B按顺时针方向旋转90，就会有：方法5：如图7，延长AB到R，使BR=BE，连RE，RCABECBR BCR=BAE FEC=BAE BCR=FECEFRC REC=FCE=135ERFC四边形ERCF为平行四边形CR=FE AE=FE 图7 解法既漂亮又完美。证明了结论还复习了平行四边形的有关知识，而且还是旋转的一个简单应用。（2）若E在BC的延长线上，其他条件不变，AE与EF还相等吗？试说明理由。 有了（1）的讨论，我们可以用类似的方法证明（2）的结论仍然成立，如图8，9，10。对于证明的过程就省略不写了。 图8 图9 图10反思：问题的解答与探索，总结其方法，不就是构造全等，运用旋转与翻折吗？根据全等变换自身的特点，我们可以将其进行推广，可以进行下面更一般的探讨：2、如图11，若ABC为等边三角形，D为线段BC上任意一点，ADE=60，DE交ACB的外角平分线CE于E点，求证：AD=DE。方法1：如图12，延长AC到P，使CP=CE，连结DP。（此方法实质即将EDC沿BC所在直线翻折而得到PDC）。可证EDCPDC，得DE=DP, E=PE=DAC=P AD=DP=DE 图11 图12方法2：如图13，延长EC到P，使CP=CA，连结DP、DB。（此方法实质上是将ADC或ABD沿BC所在直线翻折而得到的）。 图13 图14方法3：如图14，将ABD绕B点顺时针旋转60到CBP的位置，连PD。证明过程略。（此方法是旋转的简单应用）在平面几何中,正方形是最特殊的四边形,它集平行四边形、矩形和菱形的性质于一身.因而在考察学生对四边形知识的掌握情况时,以正方形为背景的题目更具灵活性、代表性和综合性,因而成为各类命题的热点。作者：季红娟电子信箱：ba