复数的乘法及其几何意义.doc

文件 sxgdja0012.doc科目 数学年级 高中章节 关键词 复数/乘法/几何意义标题 复数的乘法及其几何意义内容 北京市五中 肖钰 教学目标 1.掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程 2.掌握复数乘法的几何意义 3.让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法 4.培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力 教学重点与难点 重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算 难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握 教学过程设计 师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算 （利用投影仪出示） 1.（12i）（2+i）（4+3i）； 2.化复数为代数形式和三解形式 （5分钟后） 师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的三角形式概念及复数代数形式与三角形式的互化答案是：如果有的同学演算错了，应想一想怎样错的?错的原因是什么?怎样纠正? 请同学们再考虑下面一个问题： 如果把复数z1，z2分别写成 z1r1（cos1+sin1）， z2r2（cos2+isin2） z1z2这乘法运算怎样进行呢? 想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意义 （教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程） 学生板演： z1z2（cos1+isin1）r2（cos2+isin2） （r1cos1+ir1sin1）（r2cos2+ir2sin2） （r1r2cos1cos2r1r2sin1sin2）+i（r1r2sin1cos2+r1r2cos1sin2）r1r2（cos1cos2sin1sin2）+i（sin1cos2+cos1sin2） r1r2cos（1+2）+isin（1+2） 师：很好，你是怎样想出来的?为什么这样想? 生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算，根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简 在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法我是根据这个思想才想出来的 师：观察这个问题的已知和结论，同们能发现有什么规律吗? 生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和 师：利用这个结论，请同学们计算： 大家把计算过程写在笔记本上 （教师请一位同学在黑板上板演） 解： 教师提示：由于复数定义是形如A+Bi（a,bR）的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边相同角，要化成化数形式即 师：同学们已经发现，复数的三角形式的乘法运算若用 r1（cos1+isin1）r2（cos2+isin2）r1r2cos（1+2）+isin（1+2） 计算，简便得多 这就是复数的三角形式乘法运算公式 三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算?辐角怎样算? 使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值 同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢? （同学分组讨论，请小组代表发言如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转） 生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角2（20，如果20，按顺时针方向旋转一个角2，再把其模变为原来的r2倍（r21，应伸长；0r21，应缩短；r21，模长不变），所得的向量就表示积z1z2这是复数乘法的几何意义 图形演示（如图87）：OZOZ1OZ2 师：现在我们研究问题，如图88，向量OZ与复数1+i对应，把OZ按逆时针方向旋转120，得到OZ求与向量OZ对应的复数请同学们想一想 生：这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的几何意义，将向量OZ逆时针方向旋转120，得到OZ，由于模未发生变化，应当是OZ对应复数乘以1（cos120+isin120）师：解此题复数是否一定化成三角形式? 生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数的向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择 师：说得好，请同学们写一下解题过程 （找一名同学到黑板板演） 解：所求的复数就是1+i乘以一个复数Z0的积，这个复数Z0的模是1，辐角的主值是120所求的复数是： （1+i）1（cos120+isin120） (-1+i) 师：为了巩固刚讨论过的复数三解形式的乘法运算公式及复数乘法的几何意义，请同学们继续完成以下练习 （使用投影仪，映出练习题） 1.计算 2.已知复数Z0所对应的向量OZ通过作图，画出下列复数Z所对应的向量OZ （1）ZZ0（sin30+icos30）； （2）ZZ0 （教师在教室里巡视，请三位演算错误的同学板演） 1.解： 2.（1） 将OZ。逆时针旋转30，得到OZ。将OZ逆时针旋转120，再关于x轴对称，得到OZ。师：这三位同学计算和画图对不对?如果有错误，错在哪里?怎样改正? 生甲：第1题计算错了，错在不是复数三角形式的标准式，应化为 师：一人教训大家吸取，千万用复数三角形式的标准式进行复数三角形式的乘法运算 哪位同学改正一下： 生乙： 师：板演第1题的两位同学都注意到，不能直接使用三角形式进行加、减法计算，需化成代数形式才得以进行 接下来看第2题的第（1）小题 生丙：第（1）题画错了，应当把向量OZ0按逆时针方向旋转60，可板演图只转30 师：为什么? 生丙：乘数sin30+icos30不是复数三角形式的标准式，应化为cos60+isin60，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题 师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定 现在看第2题的第（2）小题，将OZ0逆时针旋转120正确吗?为什么? 生丁：正确把复数化为三角形式cos120+isin120，其模是1，说明模没有变化，只是把向量OZ0绕原点O按逆时针旋转120 师：向量OZ画的正确吗?若不正确，应当怎么画? 生戊：不正确，旋转120后，取其反方向的向量，模不变，得OZ也可以先取OZ0的反方向的向量，再逆时针旋转120 师：回答得很好，现在我们研究一道几何图形习题的解法，请看题目： 已知复平面内一个正方面的两个相邻顶点对应的复数分别为1+2i，35i，求与另外两个顶点C对应的复数为了利于表达，设正方形ABCD，其中点A对应复数是1+2i，3-5i，求与另外两个顶点对应的复数。如图811 同学们开始讨论解法 生M：这道题可以转化为解析几何题，点A坐标为（1，2），点B坐标是（3，5）本题应当有两解设边AB右侧的顶点是C和D，左侧的顶点是C和D线段AB的长度是可求的而ADAB，BD2AB设D（x，y）由上面两个等量关系，得出关于x，y的二元二次方程组，解这个方程组可得两组解，点D坐标求出，对应的复数亦可写出 师：点C怎么求呢? 生N：先求出BD的中点，这个中点也是AC的中点，再通过中点坐标公式求得点C的坐标 师：很好还有什么解法? 生P：用复数运算的几何意义解，先求向量AB所对应的复数，由向量AB绕点A按逆时针方向旋转90角得到AD，由于ADODOA，就求出D点对应的复数 师：点C怎么求呢? 生Q：由于ACAD，DAC45用AD对应的复数乘以cos（45）+isin（45）得到AC对应的复数了，再求OC对应的复数 师：生Q想到的解法更简单，求点C还有其他方法吗? 生R：先求BA所对应的复数，由向量AB绕点B按顺时针方向旋转90得到BC，再求OC对应的复数 生H：由于OCOB+BCOB+AD，可以直接求出C点对应的复数 师：生H的方法最简单请同学们在笔记本上用其中一种解法完成此题的演算 （教师找一名同学到黑板板演） 解：向量AB对应的复数：（35i）（1+2i）27i 向量AD对应的复数：（27i）（cos90+isin90）（27i）i7+2i 向量OD对应的复数：（1+2i）+（7+2i）8+4i 因为OCOB+BCOB+AD，则OC对应的复数：（35i）+（7+2i）103i 如图，设点D对应复数为a+bi（a,bR）， 则有 又设点C对应复数为c+di（c，dr）， 则有因此另外两点对应的复数为：103i和8+4i；或47i和6 注意：如果板演有错误，应请同学们发现和纠正 经常发生的错误有： （1）AB（35i）（1+2i） 这里不能用等号，应写作“向量AB对应的复数是：（35i）（1+2i）； （2）把向量AD对应的复数7+2i，错认为是点D对应的复数； （要讲清只有当向量的起点在原点处，向量所对应的复数才是向量终点所对应的复数） （3）只得出103i和8+4i一组解 （建议学生自己动手画图，容易发现两组解）师：通过此题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题中的重要作用为了更好地领悟这一思想，请看： 如图812，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数计算1+2+3的值 同学们开始讨论解决： 生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系 师：你分析得正确，如图813，建立坐标系取正方形的边长为单位长1 生辛：B1Ox1，B2Ox2，B3Ox3，这样，1+2+3B1Ox+B2Ox+B3Ox而B1Ox，B2Ox，B3Ox可以分别看作B1，B2，B3三个点对应复数的辐角主值，下面应考虑B1，B2，B3对应复数是什么? 按着老师规定的单位长，B1，B2，B3三点对应的复数分别为1+i，2+i，3+i 师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2+2i，4+2i，6+2i，并未影响复数和辐角主值的大小，不过计算要繁一些同学们继续讨论生壬：2+i，3+i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大根据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么?假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值 师：你分析得很好，请你计算一下： 生癸：（2+i）（3+i）5+5i，它的辐角主值是，而B10x，因此1+2+3 生寅：我想谈另外一种计算方法因为r1（cos1+isin1）r2（cos2+isin2）r3（cos3+isin3）r1r2cos（1+2）+isin（1+2）r3（cos3+isin3）r1r2r3cos（1+2+3）+isin（1+2+3），因此（1+i）（2+i）（3+i）可以直接求出积的辐角即 （1+i）（2+i）（3+i）（1+3i）（3+i）10i， 其辐角主值是 师：想法很好，并把两个复数相乘加以发展，是个小发现这里，应提醒大家，注意一个问题，即两个辐角主值相加，其结果不一定还是主值 例如，1i的辐角主值是，i的辐角主值是，而它们的和是，是终边相同的角因此，和角是不是主值，需要确认 请同学们完成此题的演算 （教师找一名同学到黑板板演） 解：如图建立坐标系，由于平行线的内错角相等，1，2，3分别等于复数1+i，2+i，3+i的辐角的主值，这样1+2+3就是积的辐角，而 （1+i）（2+i）（3+i）（1+3i）（3+i）10i， 其辐角的主值是并且1，2，3都是锐角，于是 01+2+3 所以 1+2+3 师：今天这节课，从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何意义及其推导过程从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互相转换度上考虑问题现在布置作业： 1.课本习题：P203 练习1（4），3 2.课本习题：P210 习题二十八 5 3.补充题： （1）在复平面内有两个点z1和z2，它们所对应的复数分别为1和2+i，以这两点为顶点作一个正三角形，求这正三角形第三个顶点Z3所表示的复数 （2）z1，z2是不等于零的两个复数，它们在复平面内的对应点分别是P和Q，且z1z2，试确定OPQ是什么三角形（直角三角形） （3）设P为椭圆1上任意一点