高中数学 第一章 三角函数 1.1 周期现象与周期函数优化训练 北师大版必修4.doc

1.1 周期现象5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.月球围绕着地球转，月球到地球的距离y随时间的变化是周期性的吗？解析：由月球的运动规律,可知是周期性变化.2.走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？解：如图所示，以on代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到op位置，设=pon为摆动的幅角，而y为p点离开直线on的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsin.3.列举自然界中存在的周期性现象.答案：自然界中存在的周期现象有：太阳的东升西落；月亮的圆缺；春、夏、秋、冬的变化等.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列函数中函数值y随x的变化而周期性变化的是（ ）f(x)=x f(x)=2x f(x)=1 f(x)=a. b. c. d.解：f(x+t)=x+tx，t0;f(x+t)=2x+t2x=f(x)；f(x+t)=1=f(x)；设t是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+t也是有理数；当x为无理数时，x+t也是无理数，就是说f(x)与f(x+t)或者都等于1或者都等于0，因此在两种情况下，都有f(x+t)=f(x).答案：c2.今天是星期一，158天后的那一天是星期几?解：158=722+4，而今天是星期一,158天后的那一天是星期五.3.我们选定风车轮边缘上一点a，点a到地面的距离y随时间t的变化是周期性的吗？答案：是周期性的.4.已知f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=，若f(-1)=1，（1）求证：f(x+4)=f(x)；（2）求f(-3).（1）证明：f(x+2)=，f(x+4)=f(x).（2）解：f(x)是奇函数，f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-f(-1)=-1.5.设f(x)是定义在r上的奇函数，且f(x+3)=f(x),f(1)=-1,求f(11)的值.解：由f(x)为奇函数，得f(-x)=-f(x)，f(-1)=-f(1).又f(x+3)=f(x)，故f(11)=f(34-1)=f(-1)=1.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列现象是周期现象的有（ ）太阳的东升西落 月亮的圆缺 太阳表面的太阳黑子活动 心脏的收缩与舒张a.1个 b.2个 c.3个 d.4个答案：d2.有以下现象：鸟类的迁徙；单摆的简谐振动；交流电的电压变化规律；化学元素的性质.其中是周期现象的有_.答案：3.已知f(x+1)=-f(x),求证：f(x+2)=f(x).证明：f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=-f(x)=f(x).4.已知f(x+2)=,求证：f(x+4)=f(x).证明：f(x+4)=f(x+2)+2=f(x).5.求证：若函数y=f(x)(xr)的图像关于x=a对称，且关于x=b对称，则fx+2(b-a)=f(x).证明：设x是任意一个实数，因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，故f(a+x)=f(a-x).同理，f(b+x)=f(b-x).于是fx+2(b-a)=fb+(b+x-2a)=fb-(b+x-2a)=f(2a-x)=fa+(a-x)=fa-(a-x)=f(x),即fx+2(b-a)=f(x).6.设f(x)是定义在r上的函数，且f(x+2)=f(x),f(x)为偶函数，在区间2,3上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x1,2时，f(x)的解析式.解：令x-3，-2，则-x2，3，从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x),即f(x)=-2(x+3)2+4,x-3,-2.令x1，2，则x-4-3，-2，有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4.即当x1，2时，f(x)=-2(x-1)2+4.7.设f(x)是定义在r上的偶函数，其图像关于x=1对称，对任意的x1，x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2).（1）设f(1)=2，求；（2）证明f(x+2)=f(x).（1）解：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),x1,x20,知f(x)=f()f()0,x0,1，故f(1)=f(+)=f()f()=f()2=2.f()=f(+)=f()2=,即f(）=.（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，即f(x