《二次函数》中考总复习PPT课件用.ppt

人教版 二次函数 中考第一轮复习课件 一 二次函数的定义 定义 一般地 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做 定义要点 a 0 最高次数为2 代数式一定是整式练习 1 y x y 2x 2 x y 100 5x y 3x 2x 5 其中是二次函数的有 个 2 当m 时 函数y m 1 2 1是二次函数 3 下列函数中哪些是一次函数 哪些是二次函数 巩固一下吧 1 函数 其中a b c为常数 当a b c满足什么条件时 1 它是二次函数 2 它是一次函数 3 它是正比例函数 当时 是二次函数 当时 是一次函数 当时 是正比例函数 驶向胜利的彼岸 考考你 驶向胜利的彼岸 2 函数当m取何值时 1 它是二次函数 2 它是反比例函数 1 若是二次函数 则且 当时 是二次函数 2 若是反比例函数 则且 当时 是反比例函数 小结 y ax2 bx c y a x h 2 k y a x x1 x x2 二次函数的三种解析式 已知任意三个点 已知顶点 h k 及另一点 已知与x轴的两个交点及另一个点 求下列条件下的二次函数的解析式 1 已知一个二次函数的图象经过点 2 2 1 3 2 8 2 已知二次函数的图象的顶点坐标为 2 3 且图象过点 3 2 3 已知二次函数的图象与x轴交于 1 0 和 6 0 并且经过点 2 12 巩固训练 二 二次函数的图象及性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 由a b和c的符号确定 由a b和c的符号确定 a 0 开口向上 a 0 开口向下 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 0 c 0 c 小结 2 2 2 开口向下 开口向上 y轴 x 0 x h 0 0 0 k h 0 h k 当 a 的值越大时 抛物线开口越小 函数值y变化越快 当 a 的值越小时 抛物线开口越大 函数值y变化越慢 只要a相同 抛物线的形状 开口大小和开口方向 就相同 点评 二次函数的几种表现形式及图像 顶点式 一般式 图象性质 抛物线y ax2 bx c的符号问题 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 开口向上 a 0 开口向下 a 0 2 c的符号 由抛物线与y轴的交点位置确定 交点在x轴上方 c 0 交点在x轴下方 c 0 经过坐标原点 c 0 3 b的符号 由开口方向及对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 a b同号 对称轴在y轴右侧 a b异号 对称轴是y轴 b 0 4 b2 4ac的符号 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 b2 4ac 0 与x轴有一个交点 b2 4ac 0 与x轴无交点 b2 4ac 0 简记为 左同右异 图象性质 抛物线y ax2 bx c的符号问题 1 如图 抛物线y ax2 bx c 请判断下列各式的符号 a0 c0 b2 4ac0 b0 x y O 基础演练 变式1 若抛物线的图象如图 则a 变式2 若抛物线的图象如图 则 ABC的面积是 小结 a决定开口方向 c决定与y轴交点位置 b2 4ac决定与x轴交点个数 a b结合决定对称轴 2 下列各图中可能是函数与 的图象的是 小结 双图象的问题 寻找自相矛盾的地方 即由一个图象得出字母的取值范围 再去检验这个字母的符号是否适合另一个图象 3 画二次函数y x2 x 6的图象 顶点坐标是 对称轴是 画二次函数的大致图象 先配成顶点式 再按照以下步骤画 画对称轴 确定顶点 确定与y轴的交点 确定与x轴的交点 确定与y轴交点关于对称轴对称的点 连线当然 细画抛物线应该按照 列表 在自变量的取值范围内列 描点 要准 连线 用平滑的曲线 三步骤来画 0 6 2 0 3 0 1 6 特别注意 在实际问题中画函数的图像时要注意自变量的取值范围 若图像是直线 则画图像时只取两个界点坐标来画 包括该点用实心点 不包括该点用空心圈 若是二次函数的图像 则除了要体现两个界点坐标外 还要取上能体现图像特征的其它一些点来画 3 二次函数y x2 x 6的图象顶点坐标是 对称轴是 0 6 2 0 3 0 1 6 增减性 当时 y随x的增大而减小当时 y随x的增大而增大 最值 当时 y有最值 是 小 函数值y的正负性 当时 y 0当时 y 0当时 y 0 x3 x 2或x 3 2 x 3 4 二次函数y ax2 bx c a 0 与一次函数y ax c在同一坐标系内的大致图象是 C 5 1 求抛物线开口方向 对称轴和顶点M的坐标 2 设抛物线与y轴交于C点 与x轴交于A B两点 求C A B的坐标 3 x为何值时 y随的增大而减少 x为何值时 y有最大 小 值 这个最大 小 值是多少 4 求 MAB的周长及面积 5 x为何值时 y0 已知二次函数 2 已知抛物线顶点坐标 h k 和一个普通点 通常设抛物线解析式为 3 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 和另一个普通点 通常设解析式为 1 已知抛物线上的三个普通点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 三 求抛物线解析式的三种方法 练习 x 2 2 1 0 3 根据下列条件 求二次函数的解析式 1 图象经过 0 0 1 2 2 3 三点 2 图象的顶点 2 3 且经过点 3 1 3 图象经过 0 0 12 0 且最高点的纵坐标是3 4 已知二次函数y ax2 bx c的最大值是2 图象顶点在直线y x 1上 并且图象经过点 3 6 求a b c 解 二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2又 抛物线的顶点在直线y x 1上 当y 2时 x 1 顶点坐标为 1 2 设二次函数的解析式为y a x 1 2 2又 图象经过点 3 6 6 a 3 1 2 2 a 2 二次函数的解析式为y 2 x 1 2 2即 y 2x2 4x 开口方向 大小 向上a 0向下a o 对称轴与y轴比较 左侧ab同号右侧ab异号 与y轴交点 交于正半轴c o负半轴c 0 过原点c 0 与1比较 与 1比较 与x轴交点个数 令x 1 看纵坐标 令x 1 看纵坐标 令x 2 看纵坐标 令x 2 看纵坐标 四 有关a b c及b2 4ac符号的确定 快速回答 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x o y 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o 快速回答 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o 快速回答 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o 快速回答 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o 快速回答 典型例题1 如图 是抛物线y ax2 bx c的图像 则 a0 b0 c0 a b c0 a b c0 b2 4ac0 2a b0 由形定数 典型例题2 已知a0 c 0 那么抛物线y ax2 bx c的顶点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 A 由数定形 1 河北省 在同一直角坐标系中 一次函数y ax c和二次函数y ax2 c的图像大致为 B 2 山西省 二次函数y x2 bx c的图像如图所示 则函数值y 0时 对应的x取值范围是 3 x 1 3 3 点击中考 3 已知二次函数y ax2 bx c的图像如图所示 下列结论 a b c 0 a b c 0 abc 0 b 2a中正确个数为 A 4个B 3个C 2个D 1个 A 4 无论m为任何实数 二次函数y x2 2 m x m的图像总是过点 A 1 3 B 1 0 C 1 3 D 1 0 C 当x 1时 y a b c 当x 1时 y a b c a0 x 1 D 5 安徽 二次函数y ax2 bx c的图像如图 则下列a b c间的关系判断正确的是 A ab0D a b c 0 6 绵阳 二次函数y ax2 bx c的图像如图 则不等式bx a 0的解为 A x B x C x D x D a 0 b 0 c 0 a 0 b 0 D 7 若抛物线y ax2 3x 1与x轴有两个交点 则a的取值范围是 A a 0B a C a D a 且a 0 1 已知抛物线y x mx m 1 1 若抛物线经过坐标系原点 则m 1 2 若抛物线与y轴交于正半轴 则m 3 若抛物线的对称轴为y轴 则m 4 若抛物线与x轴只有一个交点 则m 1 2 0 练习 2 已知二次函数的图象如图所示 下列结论 a b c 0 a b c 0 abc 0 b 2a其中正确的结论的个数是 A1个B2个C3个D4个 D x 1 1 0 y 要点 寻求思路时 要着重观察抛物线的开口方向 对称轴 顶点的位置 抛物线与x轴 y轴的交点的位置 注意运用数形结合的思想 2 二次函数的图象如图所示 则在下列各不等式中成立的个数是 1 1 0 x y abcb 2a b 0 b 4ac 0 结论 一般地 抛物线y a x h 2 k与y ax2形状相同 位置不同 五 二次函数抛物线的平移 温馨提示 二次函数图象间的平移 可看作是顶点间的平移 因此只要掌握了顶点是如何平移的 就掌握了二次函数图象间的平移 0 2 2 4 2 4 2 4 2 6 2 x y y x2 1 y x2 y x2 向下平移1个单位 y x2 1 向左平移2个单位 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 1 0 0 2 1 y x 2 2 1 上下左右平移抓住顶点的变化 例 平移法则 左加右减 上加下减 练习 二次函数y 2x2的图象向平移个单位可得到y 2x2 3的图象 二次函数y 2x2的图象向平移个单位可得到y 2 x 3 2的图象 二次函数y 2x2的图象先向平移个单位 再向平移个单位可得到函数y 2 x 1 2 2的图象 下 3 右 3 左 1 上 2 3 由二次函数y x2的图象经过如何平移可以得到函数y x2 5x 6的图象 y x2 5x 6 4 将二次函数y 2x2的图像向右平移3个单位后得到函数的图像 其对称轴是 顶点是 当x 时 y随x的增大而增大 当x时 y随x的增大而减小 5 将二次函数y 3 x 2 2的图像向左平移3个单位后得到函数的图像 其顶点坐标是 对称轴是 当x 时 y有最值 是 y 2 x 3 2 直线x 3 3 0 3 3 y 3 x 1 2 1 0 直线x 1 1 大 0 6 将抛物线y 2x2 3先向上平移3单位 就得到函数的图象 再向平移 个单位得到函数y 2 x 3 2的图象 y 2x2 右 3 7 函数y 3x2 5与y 3x2的图象的不同之处是 A 对称轴B 开口方向C 顶点D 形状4 已知抛物线y 2x2 1上有两点 x1 y1 x2 y2 且x1 x2 0 则y1y2 填 或 8 已知抛物线 把它向下平移 得到的抛物线与x轴交于A B两点 与y轴交于C点 若 ABC是直角三角形 那么原抛物线应向下平移几个单位 C 上下左右平移 抓住顶点的变化 记住 六 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程根的情况与b 4ac的关系我们知道 代数式b2 4ac对于方程的根起着关键的作用 归纳如下 与x轴有两个不同的交点 x1 0 x2 0 有两个不同的解x x1 x x2 b2 4ac 0 与x轴有唯一个交点 有两个相等的解x1 x2 b2 4ac 0 与x轴没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 具体这样理解 1 当a 0 0时 抛物线y ax2 bx c与x轴有两个不相同的交点 一元二次方程ax2 bx c 0有两个不相等的实数根x1 x2 x1x2时 y 0 即ax2 bx c 0 当x1 x x2时 y 0 即ax2 bx c 0 2 当a0时 抛物线y ax2 bx c与x轴有两个不相同的交点 一元二次方程ax2 bx c 0有两个不相等的实数根x1 x2 x10 即ax2 bx c 0 当xx2时 y 0 即ax2 bx c 0 3 当a 0 0时 抛物线y ax2 bx c与x轴有两个相同的交点 即顶点在x轴上 一元二次方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根x1 x2 x1 x2 当x x1 或x x2 时 y 0 即ax2 bx c 0 当x x1 x2时 y 0 无论x取任何实数 都不可能有ax2 bx c 0 y 0 4 当a0 y 0 5 当a 0 0时 抛物线y ax2 bx c与x轴无交点 即全部图象在x轴的下方 一元二次方程ax2 bx c 0无实数根 无论x取何值 都有y 0 y 0 无论x取何值 都不可能有y 0 例 已知二次函数y 2x2 m 1 x m 1 1 求证 无论m为何值 函数y的图像与x轴总有交点 并指出当m为何值时 只有一个交点 2 当m为何值时 函数y的图像经过原点 3 指出 2 的图像中 使y 0时 x的取值范围及使y 0时 x的取值范围 2 求抛物线 与y轴的交点坐标 与x轴的两个交点间的距离 x取何值时 y 0 1 不论x为何值时 函数y ax2 bx c a 0 的值永远为正的条件是 a 0 b 4ac 0 3 1 6 1 8 1 练习 3 1 如果关于x的一元二次方程x2 2x m 0有两个相等的实数根 则m 此时抛物线y x2 2x m与x轴有 个交点 2 已知抛物线y x2 8x c的顶点在x轴上 则c 1 1 16 3 一元二次方程3x2 x 10 0的两个根是x1 2 x2 5 3 那么二次函数y 3x2 x 10与x轴的交点坐标是 2 0 5 3 0 4 如图 抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 1 由图象知 关于x的方程ax2 bx c 0的两个根分别是x1 1 3 x2 5 已知抛物线y kx2 7x 7的图象和x轴有交点 则k的取值范围 3 3 B 6 根据下列表格的对应值 判断方程ax2 bx c 0 a 0 a b c为常数 一个解x的范围是 A3 X 3 23B3 23 X 3 24C3 24 X 3 25D3 25 X 3 26 C 1 用描点法作二次函数y x2 2x 10的图象 7 利用二次函数的图象求一元二次方程x2 2x 10 3的近似根 解法1 3 观察估计抛物线y x2 2x 10和直线y 3的交点的横坐标 由图象可知 它们有两个交点 其横坐标一个在 5与 4之间 另一个在2与3之间 分别约为 4 7和2 7 可将单位长再十等分 借助计算器确定其近似值 4 确定方程x2 2x 10 3的解 由此可知 方程x2 2x 10 3的近似根为 x1 4 7 x2 2 7 2 作直线y 3 1 原方程可变形为x2 2x 13 0 利用二次函数的图象求一元二次方程x2 2x 10 3的近似根 3 观察估计抛物线y x2 2x 13和x轴的交点的横坐标 由图象可知 它们有两个交点 其横坐标一个在 5与 4之间 另一个在2与3之间 分别约为 4 7和2 7 可将单位长再十等分 借助计算器确定其近似值 4 确定方程x2 2x 10 3的解 由此可知 方程x2 2x 10 3的近似根为 x1 4 7 x2 2 7 2 用描点法作二次函数y x2 2x 13的图象 解法2 1 已知抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 请写出满足此条件的抛物线的解析式 解 抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 a 1或 1又顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 顶点为 1 5 或 1 5 所以其解析式为 1 y x 1 2 5 2 y x 1 2 5 3 y x 1 2 5 4 y x 1 2 5展开成一般式即可 七 二次函数基础知识的综合运用 2 若a b c 0 a 0 把抛物线y ax2 bx c向下平移4个单位 再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是 2 0 求原抛物线的解析式 分析 1 由a b c 0可知 原抛物线的图象经过 1 0 2 新抛物线向右平移5个单位 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案 y x2 6x 5 3 如图 已知抛物线y ax bx 3 a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与y轴交于点C 1 求抛物线的解析式 2 在 1 中抛物线的对称轴上是否存在点Q 使得 QAC的周长最小 若存在 求出Q点的坐标 若不存在 请说明理由 3 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 问在对称轴上是否存在点P 使 CMP为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 4 如图 若点E为第二象限抛物线上一动点 连接BE CE 求四边形BOCE面积的最大值 并求此时E点的坐标 3 如图 已知抛物线y ax bx 3 a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与y轴交于点C 1 求抛物线的解析式 2 在 1 中抛物线的对称轴上是否存在点Q 使得 QAC的周长最小 若存在 求出Q点的坐标 若不存在 请说明理由 Q 1 0 3 0 0 3 y x 2x 3 Q 1 2 3 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 问在对称轴上是否存在点P 使 CMP为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 以M为圆心 MC为半径画弧 与对称轴有两交点 以C为圆心 MC为半径画弧 与对称轴有一个交点 MC为腰 作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点 MC为底边 1 0 3 0 0 3 1 0 4 如图 若点E为第二象限抛物线上一动点 连接BE CE 求四边形BOCE面积的最大值 并求此时E点的坐标 E F 1 0 0 3 3 0 m m 2m 3 八 二次函数在实际生活中的应用 同学们 今天就让我们一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧 一 何时获得最大利润 水柱形成形状 篮球在空中经过的路径 何时获得最大利润 问题 已知某商品的进价为每件40元 现在的售价是每件60元 每星期可卖出300件 市场调查反映 如调整价格 每涨价一元 每星期要少卖出10件 每降价一元 每星期可多卖出20件 如何定价才能使利润最大 来到商场 解 设每件涨价为x元时获得的总利润为y元 y 60 40 x 300 10 x 20 x 300 10 x 10 x2 100 x 6000 10 x2 10 x 6000 10 x 5 2 25 6000 10 x 5 2 6250 当x 5时 y的最大值是6250 定价 60 5 65 元 0 x 30 怎样确定x的取值范围 解 设每件降价x元时的总利润为y元 y 60 40 x 300 20 x 20 x 300 20 x 20 x2 100 x 6000 20 x2 5x 300 20 x 2 5 2 6125 0 x 20 所以定价为60 2 5 57 5时利润最大 最大值为6125元 答 综合以上两种情况 定价为65元时可获得最大利润为6250元 由 2 3 的讨论及现在的销售情况 你知道应该如何定价能使利润最大了吗 怎样确定x的取值范围 1 列出二次函数的解析式 并根据自变量的实际意义 确定自变量的取值范围 2 在自变量的取值范围内 运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 特别注意 若顶点横坐标在自变量的取值范围内 则顶点纵坐标就是最值 若顶点横坐标不在自变量的取值范围内 则要根据二次函数的增减性来确定最值 解这类题目的一般步骤 某商店购进一批单价为20元的日用品 如果以单价30元销售 那么半个月内可以售出400件 根据销售经验 提高单价会导致销售量的减少 即销售单价每提高1元 销售量相应减少20件 售价提高多少元时 才能在半个月内获得最大利润 解 设售价提高x元时 半月内获得的利润为y元 则y x 30 20 400 20 x 20 x2 200 x 4000 20 x 5 2 4500 当x 5时 y最大 4500答 当售价提高5元时 半月内可获最大利润4500元 我来当老板 1 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园 其中一边靠墙 另外三边用长为30米的篱笆围成 已知墙长为18米 如图所示 设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米 1 若平行于墙的一边的长为y米 直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围 二 面积最大问题 来到农场 2 垂直于墙的一边的长为多少米时 这个苗圃园的面积最大 并求出这个最大值 3 当这个苗圃园的面积不小于88平方米时 试结合函数图象 直接写出x的取值范围 答案 1 y 30 2x 6 x 15 2 当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7 5米时 这个苗圃面积最大 最大值为112 5平方米 3 6 x 11 2 1 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园 2 怎样设计才能使矩形菜园的面积最大 0 x 10 1 求y与x的函数关系式及自变量的取值范围 2 怎样围才能使菜园的面积最大 最大面积是多少 3 如图 用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园 设菜园的宽为x米 面积为y平方米 4 如图 在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆 围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为xm 面积为Sm2 1 求S与x的函数关系式及自变量的取值范围 4 如图 在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆 围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为xm 面积为Sm2 2 当x取何值时 所围成花圃的面积最大 最大值是多少 4 如图 在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆 围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为xm 面积为Sm2 3 若墙的最大可用长度为8m 求围成的花圃的最大面积 5 何时窗户通过的光线最多 某建筑物的窗户如图所示 它的上半部是半圆 下半部是矩形 制造窗框的材料总长 图中所有的黑线的长度和 为15m 当x等于多少时 窗户通过的光线最多 结果精确到0 01m 此时 窗户的面积是多少 6 用一块宽为1 2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽 水槽的横断面为底角120 的等腰梯形 要使水槽的横断面积最大 它的侧面AB应该是多长 7 如图是一块三角形废料 A 30 C 90 AB 12 用这块废料剪出一个长方形CDEF 其中 点D E F分别在AC AB BC上 要使剪出的长方形CDEF的面积最大 点E应选在何处 8 如图 在矩形ABCD中 AB 6cm BC 12cm 点P从A开始向B以1cm s的速度移动 点Q从B开始向C以2cm s的速度移动 如果P Q分别从A B同时出发 设 PBQ的面积为S cm2 移动时间为t s 1 求S与t的函数关系 8 如图 在矩形ABCD中 AB 6cm BC 12cm 点P从A开始向B以1cm s的速度移动 点Q从B开始向C以2cm s的速度移动 如果P Q分别从A B同时出发 设 PBQ的面积为S cm2 移动时间为t s 2 当移动时间为多少时 PBQ的面积最大 是多少 9 如图 ABC中 B 90 AB 6cm BC 12cm 点P从A开始沿AB边向B以1cm s的速度移动 点Q从B开始沿BC边向C以2cm s的速度移动 如果P Q同时出发 问经过几秒钟 PQB的面积最大 最大面积是多少 10 在矩形ABCD中 AB 6cm BC 12cm 点P从点A出发 沿AB边向点B以1cm 秒的速度移动 同时 点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm 秒的速度移动 如果P Q两点在分别到达B C两点后就停止移动 回答下列问题 1 运动开始后第几秒时 PBQ的面积等于8cm2 2 设运动开始后第t秒时 五边形APQCD的面积为Scm2 写出S与t的函数关系式 并指出自变量t的取值范围 t为何值时S最小 求出S的最小值 11 如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC为菱形 点C的坐标为 4 0 AOC 60 垂直于x轴的直线l从y轴出发 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动 设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M N 点M在点N的上方 1 求A B两点的坐标 2 设 OMN的面积为S 直线l运动时间为t秒 0 t 6 试求S与t的函数表达式 3 在题 2 的条件下 t为何值时 S的面积最大 最大面积是多少 喷泉 1 请您欣赏生活中的抛物线 焰火 具有二次函数的图象抛物线的特征 如图所示 公园要建造圆形喷水池 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA O恰在水面中心 OA 1 25m 由柱子顶端A处的喷头向外喷水 水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下 为水流形状较为漂亮 要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高2 25m 三 喷泉与二次函数问题 来到公园 1 如果不计其它因素 那么水池的半径至少要多少m 才能使喷出的水流不致落到池外 喷泉与二次函数 解 1 如图 建立如图所示的坐标系 根据题意得 A点坐标为 0 1 25 顶点B坐标为 1 2 25 设抛物线为y a x h 2 k 由待定系数法可求得抛物线表达式为 y x 1 2 2 25 喷泉与二次函数 解 1 如图 建立如图所示的坐标系 根据题意得 A点坐标为 0 1 25 顶点B坐标为 1 2 25 C 2 5 0 D 2 5 0 喷泉与二次函数 当y 0时 可求得点C的坐标为 2 5 0 同理 点D的坐标为 2 5 0 解 1 如图 建立如图所示的坐标系 根据题意得 A点坐标为 0 1 25 顶点B坐标为 1 2 25 C 2 5 0 D 2 5 0 喷泉与二次函数 根据对称性 如果不计其它因素 那么水池的半径至少要2 5m 才能使喷出的水流不致落到池外 2 若水流喷出的抛物线形状与 1 相同 水池的半径为3 5m 要使水流不落到池外 此时水流的最大高度应达到多少m 精确到0 1m 喷泉与二次函数 设抛物线为y x h 2 k 由待定系数法可求得抛物线表达式为 y x 11 7 2 729 196 C 3 5 0 D 3 5 0 B 1 57 3 72 喷泉与二次函数 解 2 如图 根据题意得 A点坐标为 0 1 25 点C坐标为 3 5 0 或设抛物线为y x2 bx c 由待定系数法可求得抛物线表达为 y x2 22 7X 5 4 C 3 5 0 D 3 5 0 B 1 57 3 72 喷泉与二次函数 解 2 如图 根据题意得 A点坐标为 0 1 25 点C坐标为 3 5 0 C 3 5 0 D 3 5 0 B 1 57 3 72 喷泉与二次函数 解 2 如图 根据题意得 A点坐标为 0 1 25 点C坐标为 3 5 0 由此可知 如果不计其它因素 那么水流的最大高度应达到约3 72m 四 桥拱与二次函数问题 例1 某涵洞是抛物线形 它的截面如图所示 现测得水面宽1 6m 涵洞顶点O到水面的距离为2 4m 在图中直角坐标系内 涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么 来到小桥旁 分析 如图 以AB的垂直平分线为y轴 以过点O的y轴的垂线为x轴 建立了直角坐标系 这时 涵洞所在的抛物线的顶点在原点 对称轴是y轴 开口向下 所以可设它的函数关系式是 此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式 A B 解 如图 以AB的垂直平分线为y轴 以过点O的y轴的垂线为x轴 建立了直角坐标系 由题意 得点B的坐标为 0 8 2 4 又因为点B在抛物线上 将它的坐标代入 得所以因此 函数关系式是 B A 解一 解二 解三 例2 图中是抛物线形拱桥 当水面在L时 拱顶离水面2m 水面宽4m 水面下降1m时 水面宽度增加了多少 继续 来到小桥旁 可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 当拱桥离水面2m时 水面宽4m 即抛物线过点 2 2 这条抛物线所表示的二次函数为 当水面下降1m时 水面的纵坐标为y 3 这时有 当水面下降1m时 水面宽度增加了 返回 解二 如图所示 以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴 以抛物线的对称轴为y轴 建立平面直角坐标系 这条抛物线所表示的二次函数为 当水面下降1m时 水面的纵坐标为y 1 这时有 当水面下降1m时 水面宽度增加了 可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 此时 抛物线的顶点为 0 2 返回 解三 如图所示 以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴 以其中的一个交点 如左边的点 为原点 建立平面直角坐标系 返回 例1 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物 大门底部宽AB 4m 顶部C离地面的高度为4 4m 现有载满货物的汽车欲通过大门 货物顶部距地面2 7m 装货宽度为2 4m 这辆汽车能否顺利通过大门 若能 请你通过计算加以说明 若不能 请简要说明理由 五 隧道与二次函数 来到隧道旁 解 如图 以AB所在的直线为x轴 以AB的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 AB 4 A 2 0 B 2 0 OC 4 4 C 0 4 4 设抛物线所表示的二次函数为 抛物线过A 2 0 抛物线所表示的二次函数为 汽车能顺利经过大门 例2 如图 隧道的截面由抛物线和长方形构成 长方形的长是8m 宽是2m 抛物线可以用表示 1 一辆货运卡车高4m 宽2m 它能通过该隧道吗 2 如果该隧道内设双行道 那么这辆货运卡车是否可