高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法课堂导学案 新人教A版选修4-5.doc

4.1 数学归纳法课堂导学三点剖析一,熟悉数学归纳法证题的步骤【例1】 已知f(n)=1+(n2且nn),求证:n+f(1)+f(n-1)=nf(n).证明:(1)当n=2时,等式成立.(2)假设n=k时,k+f(1)+f(k-1)=kf(k).当n=k+1时,左边=k+1+f(1)+f(k-1)+f(k)=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1=(k+1)f(k)+=(k+1)f(k+1)=右边.由(1)(2),知对n2且nn等式均成立.温馨提示用数学归纳法证题一般都有“两个步骤一个结论”,用框图表示如下:在证明时要注意书写的规范性.各个击破类题演练1在同一平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,证明这n个圆将平面分成n2-n+2个部分.证明:(1)当n=1时,n2-n+2=2,即把平面分成两个部分,结论成立.(2)假设n=k时,k个圆把平面分成k2-k+2个部分.若再增加一个圆,它与原来的k个圆相交,共有2k个交点.这些点把第k+1个圆分成2k段弧,而每段弧把它所在的那块平面分成两块,即增加了一个部分,因此总数增加了2k个部分.所以当n=k+1时,平面被分成了(k2-k+2)+2k=(k+1)2-(k+1)+2个部分,即n=k+1时命题成立.由(1)(2),知nn时结论成立.变式提升1设有2n个球分成许多堆,我们可以任意选甲乙两堆按以下规则挪动.若甲堆的球数是p,不少于乙堆的球数q,则从甲堆里拿q个球放到乙堆里,这样算挪动一次.证明可以经过有限次挪动,把所有的球合并成一堆.证明:(1)当n=1时,有两个球,分为两堆,挪动一次就行了,即命题成立.(2)假设当n=k,即有2k个球时命题成立.当n=k+1时,有2k+1=22k个球,显然球的个数为偶数,把它们两两配对可分成2k对.这时只需将每对球看成一个整体,即2k个“球”,于是问题就变成n=k时的情形了,由归纳假设知n=k+1时命题也成立.二、注意从n=k到n=k+1的过渡技巧(一)【例2】 求证:当n为正整数时,n3+5n能被6整除.思路分析:本题用分析法(执果索因),由分析命题p(k+1)入手,“凑”成命题p(k)有关的形式.证明：(1)当n=1时,13+51=6,命题显然成立.(2)假设当n=k时,k3+5k能被6整除.当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6,其中两个连续自然数之积的3倍能被6整除 ,k3+5k,3k(k+1),6分别能被6整除,所以当n=k+1时,命题也成立.据(1)(2),可知对于任意nn*,命题都成立.温馨提示从n=k到n=k+1时,常将p(k+1)分解成两部分式子和,一部分用归纳假设,一部分提取公因式,此公因式常为除式(除数),这是证明整除问题的典型技巧.类题演练2若nn,试证(3n+1)7n-1能被9整除.证明:设f(n)=(3n+1)7n-1,(1)当n=1时,f(1)=27结论成立.(2)假设n=k时,f(k)能被9整除.当n=k+1时,f(k+1)-f(k)=(3k+4)7k+1-1-(3k+1)7k-1=9(2k+3)7k,则f(k+1)=f(k)+9(2k+3)7k的各项都能被9整除,即n=k+1时成立.由(1)(2),知结论成立.变式提升2设f(x)对一切自然数有定义,且f(x)是整数;f(2)=2;f(mn)=f(m)f(n)对一切自然数成立;当mn时,有f(m)f(n),试证:f(n)=n.证明:(1)由于2=f(2)=f(12)=f(1)f(2)=2f(1),f(1)=1,即n=1时,命题成立.(2)设nk时,有f(k)=k.当n=k+1时,若k+1为偶数,则k+1=2i(in且ik),f(k+1)=f(2i)=f(2)f(i)=2i=k+1;若k+1为奇数,则k+2为偶数,即k+2=2(i+1)(in且i+1k).f(k+2)=f2(i+1)=f(2)f(i+1)=2(i+1)=k+2.由于kk+1k+2,f(k)f(k+1)f(k+2)且f(n)为整数,故f(k+1)=k+1,即当n=k+1时结论成立.由(1)(2),知对于nn都有f(n)=n.三、注意从n=k到n=k+1的过渡技巧(二)【例3】 用数学归纳法证明1-+-+.证明：(1)当n=1时,左边=1-=,右边=,命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即1-+-+,则当n=k+1时,左边=1-+-+n=k+1时命题成立.由(1)和(2),知命题对一切正整数均成立.温馨提示利用数学归纳法证明恒等式要注意研究等式的结构或构成规律,比较归纳假设和目标式之间的差异,以便确定变形方向.类题演练3已知数列an,其中a2=6且=n,(1)求a1,a3,a4;(2)求数列an的通项公式.解析:(1)a2=6,.解得a1=1,a3=15,a4=28.(2)由此猜想an=n(2n-1).下面用数学归纳法加以证明:当n=1时,a1=1(21-1)=1,结论正确.假设n=k时结论正确,即ak=k(2k-1).则当n=k+1时,有=k.(k-1)ak+1=(k+1)ak-(k+1)