错位相减法数列求和的基本方法和技巧.doc

数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 即直接用等差、等比数列的求和公式求和。1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、 5、 1、 已知，求的前n项和.解：由 由等比数列求和公式得 12、 已知数列，（x0），数列的前n项和，求。解：当x=1时， 当x1时，为等比数列，公比为x由等比数列求和公式得 3、 （07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数列的等差数列（2）令求数列的前项和解：（1）由已知得解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得由题意得故数列的通项为（2）由于由（1）得， 又是等差数列故4、 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式） 当 ，即n8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.5、 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 6、 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设（设制错位） 得 7、 （07高考全国文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（），得，8、 等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值；（11）当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，,则相减,得所以9、 函数，当时，的所有整数值的个数为（1）求的表达式（2）设，求（3）设，若，求的最小值解：（1）当时，函数单调递增，则的值域为（2）由（1）得当为偶数时 =当为奇数时= =（3）由得 两式相减得，则由，可得的最小值为710、 （2010四川理）（21）（本小题满分12分）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，零m2,n=1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a1820 (2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差为8的等差数列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1 2n12n于是cn2nqn1.当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn 22nqn 2所以Sn2综上所述，Sn12分11、 （安庆市四校元旦联考）（本题满分16分）各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有 ；求常数的值； 求数列的通项公式；记，求数列的前项和。解：（1）由及，得： （2）由 得 由，得 即： 由于数列各项均为正数， 即 数列是首项为，公差为的等差数列， 数列的通项公式是 （3）由，得： 12、 （2009广东三校一模）,是方程的两