选学课题：三角形“四心”的向量表示.ppt

三角形 四心 的向量表示 拓展性课题 A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 三角形三边的中垂线交于一点 这一点为三角形外接圆的圆心 称外心 证明外心定理 证明 设AB BC的中垂线交于点O 则有OA OB OC 故O也在AC的中垂线上 因为O到三顶点的距离相等 故点O是 ABC外接圆的圆心 因而称为外心 O O A B C A B C A B C 三角形三边上的高交于一点 这一点叫三角形的垂心 D E F 证明 AD BE CF为 ABC三条高 过点A B C分别作对边的平行线相交成 A B C AD为B C 的中垂线 同理BE CF也分别为A C A B 的中垂线 由外心定理 它们交于一点 命题得证 证明垂心定理 A B C 例1 如图 AD BE CF是 ABC的三条高 求证 AD BE CF相交于一点 又 点D在AH的延长线上 AD BE CF相交于一点 证 设BE CF交于一点H 是 ABC的边BC的高AD上的任意向量 过垂心 例3 O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 则P的轨迹一定通过 ABC的 解 例4 2005全国 点O是 ABC所在平面上一点 若 则点O是 ABC的 A 三个内角的角平分线的交点 B 三条边的垂直平分线的交点 C 三条中线的交点 D 三条高线的交点 5 2005湖南 P是 ABC所在平面上一点 若则P是 ABC的 A 外心B 内心C 重心D 垂心 A B C A B C A B C 三角形三边中线交于一点 这一点叫三角形的重心 证明重心定理 E F D G 是BC边上的中线AD上的任意向量 过重心 例1 P是 ABC所在平面内任一点 G是 ABC的重心 思考 若O为 ABC外心 G是 ABC的重心 则 O为 ABC的内心 垂心呢 例2 证明 三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍 即 AG 2GD同理可得 AG 2GD CG 2GF 例2 证明 三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍 想想看 另证 A B C A B C A B C A B C A B C 三角形三内角平分线交于一点 这一点为三角形内切圆的圆心 称内心 证明内心定理 证明 设 A C的平分线相交于I 过I作ID BC IE AC IF AB 则有IE IF ID 因此I也在 C的平分线上 即三角形三内角平分线交于一点 I I E F D 1 设a b c是三角形的三条边长 O是三角形ABC内心的充要条件是 2003天津理科高考题 3 2006陕西 已知非零向量 与 满足则 ABC为 A 三边均不相等的三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 等边三角形 法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法 是处理本题的巧妙方法 法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个 心 的关系 如所在直线一定通过 ABC的内心 所在直线过BC边的中点 从而一定通过 ABC的重心 所在直线一定通过 ABC的垂心等 总结 1 是用数量积给出的三角形面积公式 2 则是用向量坐标给出的三角形面积公式 4