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第一章集合及简易逻辑第一讲基础知识点复习：一集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，则P+Q中元素的有_个。（答：8）（2）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_个（答：7）二遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，且，则实数_.（答：）三对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足集合M有_个。（答：7）四集合的运算性质：；.如：设全集，若，则A_，B_.（答：，）五研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如：函数的定义域；函数的值域；函数图象上的点集，如（1）设集合，集合N，则_（答：）；（2）设集合，则_（答：）六数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。（答：）练习： 1（2006年安徽卷）设集合，则等于（ ）A B C D解：，所以，故选B。2( 2006年重庆卷)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7, A=2,4,5,7,B=3,4,5,则(uA)(uB)= ( D)(A)1,6 (B)4,5(C)1,2,3,4,5,7 (D)1,2,3,6,73. （2006年上海春卷）若集合，则AB等于( B ) （A）. （B）. （C）. （D）.4（2006年全国卷II）已知集合Mx|x3，Nx|log2x1，则MN ( D )（A） （B）x|0x3（C）x|1x3 （D）x|2x3第二讲:命题七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如：在下列说法中：“且”为真是“或”为真的充分不必要条件； “且”为假是“或”为真的充分不必要条件； “或”为真是“非”为假的必要不充分条件； “非”为真是“且”为假的必要不充分条件。其中正确的是_（答：）八四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若p 则q” ；逆否命题为“若q 则p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如：）；（1）已知函数，证明方程没有负数根。九充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如：（1）给出下列命题： 实数是直线与平行的充要条件； 若是成立的充要条件； 已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_（答：）；（2）设命题p：；命题q:。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：）练习：1（2006年全国卷I）设集合，则A BC D集合M写成区间形式为（0，1），集合N写成区间形式为（2，2），M是N的真子集。故B成立。虽然是第一个小题儿，但是出成这个样子也是让人诧异的。2（2006年江苏卷）若A、B、C为三个集合，则一定有（A）（B）（C）（D）解：由知，故选（A）点评：本题主要考查集合间关系的运算3（2006年江西卷）已知集合Mx|，Ny|y3x21，xR，则MN（ C ）A B. x|x1 C.x|x1 D. x| x1或x1或x0，Ny|y1故选C4（2006年辽宁卷）设集合,则满足的集合B的个数是（ ）(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。故选择答案C。【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。第三讲十一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_（答：）十一一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：或或RRR如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）十二对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_（答：）；十三一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？ （、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_（答：（，1）十四二次方程、二次不等式、二次函数几个二次之间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。练习：（1）不等式的解集是，则=_（答：）；（2）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_（答：）。第四讲：专题“三步法”解一元二次不等式 利用一元二次不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系，三步可求出一元二次不等式的解集，且简便快捷。第一步求出一元二次不等式对应的一元二次方程的根，第二步作出一元二次不等式对应的二次函数图象，第三步根据图象写出不等式的解集。例1 解不等式。解析：方程的解为。函数的图象如图1。因不等式的解为抛物线在x轴下方对应点的横坐标，所以可得不等式的解集为。点评：作相关二次函数的图象时，可不必作出y轴，因为求解一元二次不等式，只需找出抛物线在x轴上（或下）方对应点的横坐标，与y轴的位置并无关系。例2 解关于x的不等式。解析：原不等式等价于。方程的根为x=a或，抛物线开口向上。当a=0或a=1时，如图3，原不等式的解集为。当时，如图4，原不等式的解集为。当a1或a0且a1）叫指数函数a1（，）（0，）非奇非偶增函数（0，1）即a01x0时y1；0x1时0y1无最值0a0时0y1；0x1y（a0且a1）叫对数函数a1（0，）（，）非奇非偶增函数（1，0）即loga10x1时y0；0x1时y0无最值0a1时y0；0x0对称性函数yax 与yax （a0且a1）关于y轴对称；函数yax与ylogax关于yx对称函数ylogax与y（a0且a1）关于x轴对称2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系 3. 几个注意点（1）函数yax与对数函数ylogax（a0，a1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。【典型例题】例1. （1）下图是指数函数（1）yax，（2）ybx，（3）ycx，（4）ydx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）A. ab1cdB. ba1dcC. 1abcdD. ab1dc剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小。解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得ba1dc。故选B。解法二：令x1，由图知c1d1a1b1，ba1dc。（简便方法哦，特别适合选择题）例2. 已知2（）x2，求函数y2x2x的值域。解：222（x2），x2x42x，即x23x40，得4x1。又y2x2x是4，1上的增函数，2424y221。即a在x（，1）上恒故所求函数y的值域是，。例3. 已知f（x）log3（x1）2，求f（x）的值域及单调区间。解：真数3（x1）23，log3（x1）2log31，即f（x）的值域是1，。又3（x1）20，得1x1，x（1，1）时，3（x1）2单调递增，从而f（x）单调递减；x1，1时，f（x）单调递增。练习：1、函数的图象不经过第二象限，则有 （A） （B） （C） （D）2、若，当时，的大小关系为 （A） （B） （C） （D）3、（全国卷一.文2）已知函数ABC2D24、已知，试比较与的大小关系。第八讲：函数的单调性函数的单调性和奇偶性【基础知识精讲】1.基础知识图表2.函数的单调性（1）如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间.（2）函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y在(-，0)上是减函数，在(0，+)上也是减函数，但不能说它在整个定义域即(-，0)(0，+)因为当取x1-1，x21时，对应的函数值为f(x1)-1，f(x2)1，显然有x1x2，但f(x1)f(x2)，不满足减函数的定义.有些函数在整个定义域内具有单调性.例如函数yx就是这样.有些函数在定义域内某个区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数.例如函数y=x2在(-，0是减函数，在，+)上是增函数.（3）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图像能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.（4） 若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.2)C0时，函数f(x)与Cf(x)具有相同的单调性；C0时，函数f(x)与Cf(x)具有相反的单调性.3)若f(x)0，则函数f(x)与具有相反的单调性.4)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.5)若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)也是增(减)函数；若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)是减(增)函数.（5）根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是：(1)设x1、x2是给定区间内的任意两个值且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差化简、变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而证得函数的增减性.利用函数的单调性可以把函数值的大小比较的问题转化为自变量的大小比较的问题.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.这即是说，函数的单调区间是其定义域的子集.（6）复合函数的单调性：复合函数单调性的根据是：设，,都是单调函数，则在上也是单调函数.（1）若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同；若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反.以上规律可总结为： “同增异减”.例题：例1证明函数在上是减函数.证明：设，是上的任意两个实数，且，则， 由，得，又由,得,于是 ， 即.函数在上是减函数.例2 ：已知函数在R上是增函数，在 上是减函数，求证：在上是减函数.证明：设，,且，在 上是减函数， ,又函数在R上是增函数，而， , 在上是减函数.例3 讨论函数f(x)(a0)在区间(-1，1)内的单调性.分析 根据函数的单调性定义求解.解：设-1x1x2，则f(x1)-f(x2)- x1，x2(-1，1)，且x1x，x1-x20，1+x1x20， (1-x21)(1-x22)0于是，当a0时，f(x1)f(x2)；当a0时，f(x1)f(x2).故当a0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a0时，函数在(-1，1)上为减函数.评析 根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是：(1)设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而确定函数的单调性.例4 求证：f(x)x+(k0)在区间(0，k上单调递减.解：设0x1x2k，则f(x1)-f(x2)x1+-x2- 0x1x2k，x1-x20，0x1x2k2， f(x1)-f(x2)0 f(x1)f(x2)，f(x)x+中(0，k上是减函数.习题：1.设函数f(x)x2-2x-8，则函数f(2-x2)在( )A.区间-2，0上是减函数B.区间0，2上是减函数C.区间-1，0上是增函数D.区间0，1上是增函数2.已知函数f(x)2x2+(a+1)x+1，若f(x)在区间(-，-2上是减函数，求实数a的取值范围.3 已知a、b是常数且a0, f (x), 且, 并使方程有等根.(1) 求f (x )的解析式;(2) 是否存在实数m、n, 使f (x )的定义域和值域分别为和?第九讲：函数的奇偶性知识点精讲1.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)-f(x)，那么f(x)叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)f(x)，那么f(x)叫做偶函数.奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称.如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性.2.函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数).3.函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性).然后再判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性.4.判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)f(x)0或1(f(x)0)来代替.存在既奇且偶函数，例如f(x)+.当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.5.函数的图像能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图像关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图像关于y轴对称.6.奇函数和偶函数还具有以下性质：(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)+.(5)若f(x)是(-a,a)(a0)上的奇函数，则f(0)0.例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)- (2)f(x)(x-1).解：(1)f(x)的定义域为R.因为f(-x)-x+1-x-1 x-1-x+1-f(x).所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为x-1x1，不关于原点对称.所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：(1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称.(2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)f(x)或f(-x)-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查f(-x)f(x)0是否成立，从而判断函数的奇偶性.例2设函数f（x）的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，有，试判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论。.例3 已知为偶函数且定义域为, 的图象与的图象关于直线对称, 当时, , 为实常数，且. (1) 求的解析式; (2) 求的单调区间; (3) 若的最大值为12, 求.练习：1. 以下4个函数: ; ; ; .其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 ( )A. B. C. D. （a，f（-a）2.已知函数是奇函数，则等于（）A.-1 B.0C.1D.不能确定3. 定义在上的偶函数g (x), 当x0时g (x) 单调递减, 若, 则m的取值范围是 .4奇函数f (x)在x0时的表达式为_ 第十讲：抽象函数1. 函数f (x )对任意的m、nR, 都有f (mn )f (m)f (n)1, 并且x0时, 恒有f (x )1.(1) 求证: f (x )在R上是增函数; (2 ) 若f (3 )4, 解不等式f ()2.解：(1)设, , 当时, ,在R上为增函数(2) , 不妨设, 在R上为增函数即2.f(x)是定义在(0，+)上的增函数，且f()f(x)-f(y).(1)求f(1)的值； (2)若f(6)1，解不等式f(x+3)-f()2.习题设f（x）的定义域为（0，+），且在（0，+）是递增的，（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式。（12分）第十一讲：二次函数、二次方程、一元二次不等式专题一、引入等式是关于的一元二次方程，关系式则是关于自变量的二次函数。今天我们将进一步研究它们之间的关系。二、新授观察思考：1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如方程与函数；方程与函数；方程与函数。研讨探究问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x轴交点坐标有什么关系 ？探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。以为例结论：一元二次方程的判别式0 一元二次方程有两个不相等的实数根对应的二次函数的图象与轴有两个交点为（3，0），（1，0）。（2）再研究，能得类似的结论吗？结论：一元二次方程判别式=0一元二次方程有两等根对应的二次函数的图象与轴有唯一的交点为（1，0）。一元二次方程判别式0 一元二次方程 方程无实数根对应的二次函数的图象与轴没有交点。联想发散2、一元二次方程（0）根的个数及其判别式与二次函数（0）图象与轴的位置之间有什么联系？）以0为例,如下表所示:0=00方程无实根yxx1x2oyxx1 =x2oyxo思考：当二次函数（0）时，是否也有类似的结论呢？探究点二：函数的零点 一元二次方程的的实数根就是二次函数的值为零时自变量的的值，也就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此一元二次方程的的实数根也称为二次函数的零点。一般地，对于函数，把使的实数叫做函数的零点。函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系：函数的零点方程实数根函数的图象与轴的交点横坐标。已知a0，二次函数。设的解集为A，又已知，若，求实数a的取值范围。解析：由，知二次函数的图象必与x轴相交，其开口方向不确定，需要讨论。当a0时，二次函数的图象开口向上，对称轴，由，如图6知从而，可得。当a0时，二次函数的图象开口向下，对称轴，由，如图7知，从而，可得a2。综上，使成立的实数a的取值范围为（，2）（）。点评：若求出方程的根，将得到无理不等式，情况复杂难解。例1 若函数的值域为1，7，试确定x的取值范围。解析：设，由函数的值域为1，7，得。作出的图象，如图8。第十二讲：等差数列与前n项和基础知识复习（请记好笔记哦）1.重要关系式：对于任意数列，都有与的关系式成立。2.常见数列：分别写出以下几个数列的一个通项公式：（1）1,2,3,4,5,=_; （2）1,3,5,7,9, =_;（3）1,4,9,16,25,=_;(4)1,2,4,8,16,=_; (5)1,-1,1,-1,=_;（一）等差数列基础知识回顾：1. 定义：如果一个数列从_项起，每一项与它的_的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数称为等差数列的_,用字母_来表示。等差数列常见表示的表现形式有：2.等差数列的通项公式：_;3.等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，A=_,4.等差数列的前n项和公式：=_=_.（推导方法：倒序相加法）5.等差数列的性质：(1) 在等差数列中,_ (2) 在等差数列中，若，则(3) 数列是等差数列（k,b是常数）（）；(4) 数列是等差数列（A,B是常数）（）；(5) 若为等差数列，则仍为等差数列；且公差为_.(6) 若为等差数列，则仍为等差数列；且公差为_.（7）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（8）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数例；（9）若，则；特别地，当时，；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（12）对于项数为的等差数列，有，；（13）是等差数列的前项和，则；（14）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为则为等差数列，公差为；（即）为等差数列，公差；（即）为等差数列，公差为. 6说明：设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则奇偶； ；（）若项数为奇数，设共有项，则偶奇；。7（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（）；若已知，则最值时的值（）可如下确定或。例1已知为等差数列，则等于A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】即同理可得公差.选B。【例2】 在等差数列an中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且SmSn，mn，求Sm+n且SmSn，mnSm+n0【例3】 已知等差数列an的公差是正数，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20项的和S20的值解法一 设等差数列an的公差为d，则d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20180解法二 由等差数列的性质可得：a4a6a3a7 即a3a74 又a3a7=12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根 解方程可得x1=6，x22 d0 an是递增数列 a36，a7=2【例4】 等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199解法二 利用数列an为等差数列的充要条件：Snan2bn 可设Sn2n2k，Tnn(3n1)k说明 该解法涉及数列an为等差数列的充要条件Sn=an2bn，由k是常数，就不对了练习：1、（福建）在等差数列a中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于A.40 B.42 C.43 D.453、已知等差数列2,5,8，该数列的第3k（kN）项组成的新数列bn的前4项是。bn的通项公式为。4、已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn 和 Tn，且，求。5在等差数列an中,am=n,an=m,则am+n的值为（ ）（A）m+n （B）（C） （D）06设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值（7）已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ） ABCD第十三讲：等比数列1定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即： 2等比数列通项公式为：。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时， ；当q=1时，（错位相减法）。说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。5.等比数列的性质1）首尾项性质: 有穷等比数列中, 与首末两项距离相等的两项积相等, 即: a1an=a2an-1=a3an-2= . 特别地, 若项数为奇数, 还等于中间项的平方, 即:a1an=a2an-1=a3an-2= =a中2 . 2）.若 p+q=r+s(p、q、r、sN*), 则 apaq=aras。特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap23）.若数列 an 是等比数列, m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列.4）.若数列 an, bn 是等比数列, 则数列 anbn, an/bn 也是等比数列.5）单调性：（做好笔记）6判断、证明方法1.定义法; 2.通项公式法; 3.等比中项法.典型例题：例1“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知an+1=an，an+1an未必成立，当首项a10时，anan，即an+1an，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，cR，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例2（2009浙江文）设为数列的前项和，其中是常数 （I） 求及； （II）若对于任意的，成等比数列，求的值解（）当，（） 经验，（）式成立， （）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 。例4.设数列 an 的前 n 项和为 Sn, 若 S1=1, S2=3, 且 Sn+1-3Sn+ 2Sn-1=0(n2), 试判断 an 是不是等比数列.例5.（2009全国卷理）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以练习：1.设Sn是数列an的前n项和，且log3Sn=n (n=1，2，3，)，那么数列an是（ ）（A）公比为3的等比数列 （B）公差为3的等差数列 （C）公比为的等比数列 （D）既不是等差数列，也不是等比数列2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= A. B. C. D.2 3等比数列an中，a9+a10=a (a0)，a18+a19=b,则a99+a100等于_4等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列（1）求的公比q；（2）若3，求 5.等比数列中，已知 （I）求数列的通项公式； （）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。十四讲：求递推数列通项公式的常用方法专题 一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。例一 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】： ， ， ，又， .反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】：，猜测，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.三 累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例三 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足