高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性教材梳理素材 新人教A版必修1.doc

1.3.2 奇偶性疱丁巧解牛知识巧学升华一、函数奇偶性的定义1.奇函数 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数. 例如：函数f（x）=x3，它的定义域为r，因f（x）=x3，f（-x）=（-x）3=-x3，所以f（-x）=-f（x），即对于定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x）.所以它是奇函数.2.偶函数 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数. 例如：函数f（x）=x2，它的定义域为r，因为f（-x）=（-x）2=x2=f（x），即对于定义域的任意一个x都有f（-x）=f（x），所以它是偶函数. 要点提示 注意此处空半格函数的奇偶性是研究f（-x）与f（x）之间关系的，其中f（-x）是把f（x）解析式中的x换成“-x”而得到的. 因为xd，-xd，所以奇偶函数的定义域必关于原点对称. 因此判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系. 函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类.二、奇偶函数的图象特征1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 若f（x）为奇函数，（x，f（x）在图象上，则（-x，f（-x）即（-x，-f（x）也在f（x）的图象上.2.偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 若f（x）为偶函数，（x，f（x）在图象上，则（-x，f（-x）即（-x，f（x）也在f（x）的图象上. 如果知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出函数在另一部分上的性质和图象. 我们不难发现，如果奇函数y=f（x）的定义域内有零，则由奇偶函数的定义知f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0）.f（0）=0. 误区警示 注意此处空半格图象关于坐标原点或y轴对称，指的是函数图象本身，而不是两个函数图象之间的关系. 奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同，偶函数则相反.问题思路探究问题 定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数；定义域关于原点对称的一定是奇偶函数.这两句话对吗？思路：定义域关于原点对称，且满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）的函数才是偶函数或奇函数.其中f（-x）=f（x）f（-x）-f（x）=0=1（f（x）0），f（-x）=-f（x）f（-x）+f（x）=0=-1（f（x）0）， 即可利用f（x）与f（-x）的变形形式去证明它的奇偶性.探究：定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数，如函数f（x）=x4+1，x-1，2.由于它的定义域不关于原点对称，当1x2时，-x没有定义，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f（x）=x4+1，x-1，2是非奇非偶函数. 定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数.如f（x）=x2+x，g（x）=x3+1，它们的定义域都是r，因为f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-xf（x）-f（x），所以它是非奇非偶函数.同理可证g（x）=x3+1也是非奇非偶函数.典题热题新题例1 判断下列函数的奇偶性.（1）f（x）=x+； （2）f（x）=x2+；（3）f（x）=； （4）f（x）=；（5）f（x）=思路解析：判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系.解：（1）定义域为a=xxr，且x0.对定义域内的每一个x，都有f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），f（x）=x+为奇函数.（2）定义域为a=xxr，且x0.对定义域内的每一个x，都有f（-x）=（-x）2+=x2+=f（x），函数f（x）=x2+为偶函数.（3）函数的定义域为a=xx0，关于原点不对称，函数f（x）=为非奇非偶函数.（4）由得x2=1.x=1.函数的定义域为-1，1.于是f（x）=0，x-1，1， 满足f（-x）=f（x）=0，f（-x）=-f（x）=0.f（x）既是奇函数，又是偶函数.（5）分段函数f（x）的定义域为（-，0）（0，+），关于原点对称. 当x0时，-x0，f（-x）=-（-x）2-1=-（x2+1）=-f（x）； 当x0时，-x0，f（-x）=（-x）2+1=x2+1=-（-x2-1）=-f（x） . 综上所述，在（-，0）（0，+）上总有f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数. 深化升华 注意此处空半格(1)根据函数奇偶性的定义判断，其基本步骤为：先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数.再看f（-x）与f（x）的关系.然后得出结论.(2)定义域关于原点对称，满足f（-x）=-f（x）=f（x）的函数既是奇函数也是偶函数，如f（x）=0，xr.(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与-x的所在范围，及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域.例2 (2006辽宁高考)设f（x）是r上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）a.f(x)f(-x)是奇函数 b.f(x)|f(-x)|是奇函数c.f(x)-f(-x)是偶函数 d.f(x)+f(-x)是偶函数思路解析：据奇偶函数性质，易判定f(x)f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数，f(x)|f(-x)|的奇偶性取决于f(x)的性质，只有f(x)+f(-x)是偶函数.答案：d例3 已知函数y=f(x)(xr且x0)，对于任意两个非零实数x1、x2，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，试判断函数f(x)的奇偶性.思路解析：对抽象函数奇偶性的判定，因无具体的解析式，因此需要利用给定的函数方程式，对变量x1、x2赋值，将其变成含有f(x)、f(-x)的式子加以判断.答案：由题意知f(x)的定义域为(-，0)(0，+)，关于原点对称. 令x1=x2=1，得f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0， 令x1=x2=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)，即f(-1)=0， 取x1=-1，x2=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，函数是偶函数. 深化升华 注意此处空半格不管函数的表达式多复杂或有没有给出，判断奇偶性时都要先考虑函数的定义域是不是关于原点对称.对于未给出函数解析式的抽象函数，判断奇偶性的关键是寻求f（-x）与f（x）的关系，为此要给x赋以恰当的值来完成.例4 若f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=x（1-x），求当x0时，函数f（x）的解析式.思路解析：将x0时f（x）的解析式转化到x0上，这是解决本题的关键.解：由f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=-f（x）=-（-x）1-（-x）=x（1+x）； 当x=0时，f（0）=-f（0），即f（0）=0.当x0时，f（x）=x（1+x）. 深化升华 注意此处空半格判断分段函数的奇偶性，对x在各个区间上分别讨论，应注意由x的取值范围确定相应的函数表达式，最后要综合得出在定义域内总有f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），从而判定其奇偶性.例5 设f（x）在r上是偶函数，在区间（-，0）上递增，且有f（2a2+a+1）f（3a2-2a+1），求a的取值范围.思路解析：要求a的取值范围，就要布列关于a的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数式”是关键.答案：由f（x）在r上是偶函数，在区间（-，0）上递增知f（x）在（0，+）上递减.2a2+a+1=2（a+）2+0，3a2-2a+1=3（a-）2+0， 且f（2a2-2a+1）f（3a2-2a+1），2a2+a+13a2-2a+1， 即a2-3a0. 解之得0a3. 深化升华 注意此处空半格该例在求解过程中，事实上用到了前面提到的减函数定义的逆命题，要善于运用化归的思想解决问题.例6 （经典回放）函数f（x）=x2+|x-a|+1，xr.（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值.思路解析：解决此题的关键应寻求对字母a讨论的标准.讨论f（x）的奇偶性，就需要找f（x）、f（-x）的关系.从而发现要对a是否为零展开讨论.（2）求f（x）的最小值，由绝对值的定义展开对a的讨论，分xa，xa.解：（1）f（x）=x2+|x-a|+1，f（-x）=x2+|x+a|+1.a=0时，f（x）=f（-x）.此时f（x）为偶函数.a0时，f（x）f（-x）且f（x）+f（-x）=2（x2+1）+|x-a|+|x+a|0.f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.（2）当xa时，函数f（x）=x2-x+a+1=（x-）2+a+. 若a，则函数f（x）在（-，a上单调递减，从而函数f（x）在（-，a上的最小值为f（a）=a2+1； 若a，则函数f（x）在（-，a上的最小值为f（）=+a，且f（-）f（a）. 当xa，函数f（x）=x2+x-a+1=（x+）2-a+； 若a-，则函数f（x）在a，+上的最小值为f（-）=-a，且f（-）f（a）. 若a-，则函数f（x）在a，+）上单调递增，从而，函数f（x）在a，+）上的最小值f（a）=a2+1. 综上，若a-，则f（x）min=-a. 若-a，则f（x）min=a2+1. 若a，则f（x）min=a+. 深化升华 注意此处空半格分类讨论思想是中学数学的重要思想，利用该思想解题过程中的关键是分类讨论的标准和依据.例7 已知f(x)、g(x)均为奇函数，且f(x)=af(x)+bg(x)+5在(0，+)上有最大值7，则在(-，0)上f(x)的最小值为_.思路解析：本题根据已知条件直接去求解是不可取的，因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此充分利用“f(x)、g(x)均为奇函数”这一条件，构造一个新函数来帮助求解.解：f(x)=af(x)+bg(x)+5在(0，+)上有最大值7，f(x)-5=af(x)+bg(x)在(0，+)上有最大值2. 由于f(x)、g(x)均为奇函数，所以f(x)-5=af(x)+bg(x)亦为奇函数，故其图象关于原点对称，因此f(x)-5=af(x)+bg(x)在(-，0)上有最小值-2， 即f(x)=af(x)+bg(x)+5在(-，0)上有最小值3.答案：3 深化升华 注意此处空半格通过构造出一个辅助函数，利用两个奇函数的和仍为奇函数，结合奇函数的图象与性质，使问题得到巧妙的解决.例8 已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图: 则f(x)=f(x)g(x)的图象可能是下图中的( )思路解析：这是一道函数图形题，解题的关键在于从图形中提炼出数学问题，并将其转化成数学条件，再利用该条件解决问题.解：由已知图象可知，