赏析自主招生考试中的复数问题.pdf

2 0 1 3年第 6期 1 3 赏析 自主招生考试中的复数问题 高 莲 芳 天津师范大学数学科学学 院 2 0 1 1级研究生 3 0 0 3 8 7 中图分类号 0 1 5 6 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 0 6 0 0 1 3 0 3 复数具有代数形式 三角形式 指数形式 等多种表述方式 所蕴含 的实际意义是以新 的视角 新的途径沟通 了代数 三角和几何等 内容之间的联系 由此 该知识点是高校 自主 招生考试 也是高考与数学竞赛 的一个重 要内容 1 复数知识 1 1 复数的表示形式与运算 代数形式 z 0 b i 口 b R 三角形式 z r C O S 0 i s i n 0 r 0 0 R 指数形式 r e r 0 0 R 例 1 设复数 l 3 to l 一 于 2 吣 n i 令 6 0 1 2 则复数 2 2 0 l l 2 o l 1 复旦大学 自主招生考试 解显然 1 e 一 3 2 e 一 5 则 c IJ 1 2 e q 3 故 2 0 1 1 1一 而 叭 们 于是 2 2 0 l 1 例 2 已知 z 一 3 i 若 z为实数 则最小的正整数 的值为 A 3 B 4 C 5 D 6 收稿 日期 2 0 1 2 0 9 1 8 修 回日期 2 0 1 3 0 3 0 6 2 0 1 1 全国高中数学联赛山东赛区预赛 解法 1 注意到 当 n l时 z 一3 i 不是实数 当 n 2时 z 一 3 i 一 6 6 i 不是实数 当 n 3时 一 3 i 一2 4 5是 实数 从而 所求的最小正整数 凡 3 解法 2 注意到 z 一 3 i 一 2 e 一 所以 为实数的充分必要条件是 3 此时 最小的正整数 n 3 评注 由于所求 n的值比较小 可见 解法 l 不失为一种好方法 若所求 n的值较 大时 解法2的优越性就体现出来了 1 2 复数的模与共轭复数 例 3已知 1 k为实数 z为复数 求 I z 1 I 的最大值 2 0 0 6 上海交通大学 自主招生考试 解设 g C O S 9 i s i n q 则 z 1 C O S 2 q i s i n 2 q k C O S q i s i n q 1 C O S 2 g k c o s g 1 i s i n 2 g k s i n g 故 I z 1 I c o s 2 q k c o g 1 s i n 2 q k s i n g 百 1 2c o s g k J 所 以 Iz 2 l i ra t 0 例 4设 是 模 为 2 的 复 数 则 I 一 一1 i 1 4 中 等 数 学 的最大值与最小值 的和为 2 2 0 1 1 全国高中数学联赛湖北赛区预赛 解由 2 知 I 1 I z 1 三 1 三 1 5 2Re 1 z 一1 I z 一1 三 一1 一 z一 1 5 2 Re z 故 1 z 一 I l I 1 l I z l l 4 2 5 4 R e z l z l 一 2 其最大值为 最小值为 故所求为 4 1 3 复数的单位根 例 5 已知 A I z 埽 1 和 B I 柏 1 均为 1的复数根的集合 C g Wl A W B 也为 1 的复数根的集合 问 集合 C中有多少 个不同的元素 解注意到 z c s 2 k T r i s in 等 jc z 相 异 元 m 八 异 兀 素 1 8 个 c s i s i n t Z 相异元 m l 八 不 日 并兀 素 4 8个 2 8 后 3 t 2 7 r 8 k 3 t 一 虬 一 一 令 P mI m 8 k 3 t t Z 由裴蜀定理知 P Z 故集合 c中有 1 4 4个不同元素 2复数方法 2 1 在代数问题中的应用 构造适当的复数 可 以化简某些代数 问 题的求解 开拓新的思路和方法 在此类问题 中 经常涉及的有两点 1 一个非负数可以用一个复数 的模来 表示 2 一个复数可以表示一对实数 例 6 对 自然数 n 令 5 为 的最 J 值 其中 a a a 为正实数 其和为 1 7 若存在唯一的n 使 s 也为整数 求 n 解 将 视为复数 2 k一1 口 i 的模 故 二 T k I I 2 k 1 口 i I k 1 I 2 i 一 1 i l k l 0 l l 7 i l n l 7 由题设条件得 凡 1 7 m m N m S m n m n 2 8 9 m 一7 l 1 m n 28 9 1 2 2 2 在三角问题中的应用 复数与三角函数之间的联 系主要依赖于 复数的指数形式 或三角形式 借助于复数 的指数形式和运算 或辐角运算 可达到三 角求值 证明的 目的 例 7 设三个复数 1 C O S A i s i n A 2 C O S B i s i n B 3 C O S C i s i n C 且 1 z 2 3 0 求 C O S A B 2 0 0 8 南京大学 自主招生考试 解由 l 2 3 0 得 C O S A C O S B C O S C 0 s i n A s i n B s i n C 0 从而 C O S A C O S B 一 C O S C s i n A s i n B 一s i n C 两式平方再相加整理得 2 2 c o s A 日 1 1 所以 c o s A B 一 2 0 1 3年第 6期 2 3 在几何问题中的应用 复数 的几何意义是表示高斯平面 即复 平面 上 的点 通 过复平面可 以实 现复数与 平面几何 解析几何之间的变换 例 8 如 图 1 在锐 角 A B C 中 已知 A 6 0 H为 A B C的垂心 点 分别 在边 A B A C上 H MB H N C 6 0 0为 A H MN 的外 心 点 D与 在直线 B C的 同 侧 使得 D B C为正 三角形 证 明 H 0 D 三点共线 D C 图 1 2 0 1 2 中国国家集训队选拔考试 证明以 0为原点建立 复平 面 以每点 的字母表示该点所对应 的复数 设 H 1 e M e 一 驯 则 I N HI 2 s i n I MHI 2 s i n口 HCA HBA 一 一 由而C H e 一 s i n 得 sin 一卢 厂 c 一 一 詈 i 至 s in 一 一 2 s i n e a 詈 i 1 皇 1 cos 卢 一 詈 咖 竿 Ol cosl 卢 一 号 l 由A B C D为正三角形知 D 一 B一 C 一 一 B wC 将式 代人并整理得 3 e 一 擎 i 1s i n e s i n O e 竽一 p i 一 了 J 了 一 卢 J 3 es i n e 竽 一 n i s i n e p 一 擎 i 了一 J L 卢 一 丁 比较左 右两边 的实 部与虚部 即知式 成立 练习 题 1 求 2 2 e e 的模 2 0 0 9 清华大学 自主招生考试 答案 2 求最小的正整数 n 使得 i 为纯虚数 并求出 2 0 0 6 清华大学 自主招生考试 答案 n 3 i 3 计算 1 1 1 1 a r c a n 了 a r r c t 了 r c 提 示 由于 a r c t a n 寺 a r g k i k 3 5 7 8 且 3 5 i 7 i 8 i 6 5 0 1 i 其辐角主值为 4 设 P P P 为单位圆内接正七边 形顺次七个顶点 则 I P1 P2 f I P1 P3 I I P1 P4 I 2 0 1 2 南开大学数学试点班考试 答案 7 参考文献 1 2 0 1 1 年全国高中数学联赛山东赛区预赛 J 中等数 学 2 0