（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题22 等差数列及其前n项和（含解析）理.docVIP

专题22 等差数列及其前n项和（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.（3）了解等差数列与一次函数的关系.一、等差数列1等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示即，为常数2等差中项如果a，a，b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项，且3等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为公式的变形：，4等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式，可得令，则，其中，为常数（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列（2）当时，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点二、等差数列的前n项和 1等差数列的前n项和首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：令，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题2用前n项和公式法判定等差数列等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列三、等差数列的性质1等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：（1）通项公式的推广：，（2）若，则特别地，若，则；若，则有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列（4）数列是常数是公差为td的等差数列（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列（6）若，则2与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）数列是等差数列，首项为，公差为（2）构成公差为的等差数列（3）若数列共有项，则，（4）若数列共有项，则，（5），考向一 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明的方法：定义法：或是等差数列；定义变形法：验证是否满足；等差中项法：为等差数列；通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；前n项和公式法：为常数为等差数列注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法典例1 已知数列满足，（），.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式.所以.1已知数列an满足，an0，则a2017=a b c d 考向二 等差数列中基本量的求解1等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解2等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，d，n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想典例2 已知为等差数列，为其前项和，若，则_.【答案】6【解析】是等差数列，解得，故填6典例3 在等差数列中，a11，s515.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前k项和sk48，求k的值又，故k8.2记为等差数列的前项和.若，则的公差为a1 b2 c4 d8考向三 求解等差数列的通项及前n项和1求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.2递推关系式构造等差数列的常见类型：（1）转化为常数，则是等差数列；（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；（3）转化为常数，则是等差数列；（4）转化为常数，则是等差数列；（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列3等差数列前n项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.典例4 已知数列中，当时，求数列的通项公式典例5 已知为等差数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.3已知函数满足，且，则数列的前20项和为 考向四 数列的前n项和的求解1求数列的前n项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和2当的各项都为非负数时，的前n项和就等于的前n项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求的前n项和要充分利用的前n项和公式，这样能简化解题过程3当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示典例6 已知数列的前项和为.（1）请问数列是否为等差数列？如果是，请证明；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）由可得，两式相减可得于是由可知数列为等差数列.（2）记数列的前项和为， .故数列的前项和为.典例7 设数列满足（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和.综上，. 4在公差为的等差数列中,已知,. （1）求；（2）求.考向五 等差数列的性质的应用等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立典例8 已知等差数列的公差，则_【答案】180典例9 一个等差数列的前10项的和为30，前30项的和为10，求前40项的和【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，解得，故方法2：易知数列成等差数列，设其公差为，则前3项的和为，即，又，所以，所以，所以又，所以，所以方法6：利用性质：，可得方法7：利用性质：当，时，由于，可得5在等差数列中，若，则的值为a bc d考向六 等差数列的前n项和的最值问题1二次函数法：，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值但应注意，最接近的正整数有1个或2个注意：自变量n为正整数这一隐含条件.2通项公式法：求使()成立时最大的n值即可一般地，等差数列中，若，且，则若为偶数，则当时，最大；若为奇数，则当或时，最大3不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值典例10 已知数列是一个等差数列，且，.（1）求的通项；（2）求的前n项和的最大值典例11 已知数列,前n项和sn=(an+2)2.（1）求证：an是等差数列；（2）设bn=an-30，求数列bn的前n项和的最小值.【解析】（1）由已知得8sn=(an+2)2,则8sn-1=(an-1+2)2(n2),两式相减,得8an=(an+2)2-(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.因为,所以an+an-10,所以an-an-1=4(n2),故数列an是以4为公差的等差数列.（2）令n=1,得s1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.由（1）知an=2+(n-1)4=4n-2,所以bn=an-30=2n-31.由bn=2n-310,得n0.设数列bn的前n项和为tn,则t15最小,其值为.6在等差数列an中,a1=10,其前n项和为sn,且s10=s15,当n取何值时,sn有最大值?并求出最大值. 1若数列的通项公式是，则此数列a是公差为2的等差数列 b是公差为3的等差数列c是公差为5的等差数列 d不是等差数列2若等差数列满足递推关系，则a bc d3若一等差数列前三项的和为122，后三项的和为148，又各项的和为540，则此数列共有a3项 b12项c11项 d10项4设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于a6 b7c8 d5 5若数列满足且，则使的的值为a bc d6九章算术是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问需几日相逢.a9 b8c16 d127已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：；数列中的最大项为；，其中正确命题的个数为a2 b3c4 d58已知数列满足条件，则 9在等差数列an中，s44，s812，则s12_.10若等差数列满足，则= _11设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是_12等差数列的前项和为，且，数列满足，则数列的前9项和_13已知数列的前项和为，其中为常数，（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.14已知等差数列an的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为sn.（1）设sk=2550,求a和k的值；（2）设,求b3+b7+b11+b4n-1的值.15已知正项数列的前项和为,且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设,数列的前项和为,证明：.16已知数列的各项为正数，其前项和满足，设.（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的最大值； （3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.1（2017新课标全国i理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为a1b2c4d82（2016新课标全国i理科）已知等差数列前9项的和为27，则a100b99c98d973（2017浙江）已知等差数列an的公差为d，前n项和为sn，则“d0”是“s4 + s62s5”的a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件4（2016浙江理科）如图，点列an，bn分别在某锐角的两边上，且，表示点p与 q不重合若为的面积，则a是等差数列b是等差数列c是等差数列d是等差数列5（2016江苏）已知是等差数列，是其前项和，若，则的值是_6（2017新课标全国ii理科）等差数列的前项和为，则_7（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列” （1）证明：等差数列是“数列”； （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列变式拓展1【答案】b【解析】因为，所以数列成等差数列，公差为1a22-1a12=1，因此，选b.2【答案】b【解析】为等差数列的前项和，解得 故数列的公差为2故选b3【答案】其前项的和为.4【解析】（1）由,，易知公差，则数列的通项公式为.（2）设数列的前n项和为，, 当时，；当时，, 则， 又，所以.5【答案】c【解析】由题意知，即，解得，设等差数列的公差为，则，故选c.考点冲关1【答案】a【解析】由题意可得，故此数列是以公差为2的等差数列，故选a.2【答案】b【解析】令，得；令，得，两式相加，得，所以，故选b.3【答案】b【解析】设此等差数列共有项，又.故选b.4【答案】a【解析】由，得，故数列的前6项均为负数项，当取最小值时,n等于6.5【答案】c6【答案】a【解析】由题意可知，良马每日行程构成数列， ，驽马每日行程构成数列， ，假设第天相逢，由题意知,解得n=9,故选a.7【答案】b【解析】因为，所以，正确；，正确；，不正确；因为，所以数列的最大项为，不正确；因为，所以，正确. 故选b.8【答案】【解析】由条件得，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，则9【答案】24【解析】由等差数列的性质可知成等差数列，所以，解得.10【答案】【解析】因为数列是等差数列，所以.因为，所以，即得. 在等差数列中，所以.因为，所以公差，所以等差数列的通项公式，即.11【答案】【解析】由，可知.则(当且仅当n=4时取等号)故填12【答案】18013【解析】（1）由题设，得，由于，所以（2）由题设，可得，由（1）知，令，解得故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，所以，因此存在，使得为等差数列14【解析】（1）由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a.,bn是等差数列.则b3+b7+b11+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+(4n-1+1)=(4+4n)n2=2n2+2n，即b3+b7+b11+b4n-1=2n2+2n.15【解析】（1）当时, ,解得；当时, ,两式相减得，即,又,所以，则,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,则.（2）由题意知,所以数列的前项和.又,所以.16【解析】（1）当时，要使成等差数列，必须，即，整理得， 因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5. 当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列.直通高考1【答案】c【解析】设公差为，联立解得，故选c【秒杀解】因为，即，则，即，解得，故选c【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.2【答案】c【解析】由已知所以故选c【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.3【答案】c【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件4【答案】a【解析】表示点到对面直线的距离