江苏大联考2015届高三第八次联考数学（理）试题.docx

江 苏 大 联 考2015届高三第八次联考数学试卷考生注意:1.本试卷分数学试题,共160分,考试时间120分钟;数学(附加题),共40分,考试时间30分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.数学试题一、填空题.(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.)1.已知集合A=x|x-2,集合B=x|x24,则集合(RB)A=.2.已知a,bR,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=.3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=.4.甲、乙两队进行足球比赛,若甲获胜的概率为0.3,甲不输的概率为0.8,则两队踢成平局的概率为.5.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是.6.若sin =-35,是第三象限的角,则cos2+sin2cos2-sin2=.7.设 F1、F2分别是双曲线 C:x2a2-y2b2=1的左、右焦点,点 P(62,22)在此双曲线上,且 PF1PF2,则双曲线C的离心率e=.8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=AD=2,BE=1,F是BD1上一点,且EF平面ADD1A1,则三棱锥E-AFC的体积为.9.若Sn为等差数列an的前n项和,S5=-10,S9=-36,则a3与a5的等比中项为.10.在ABC中,|AB|=6,|AC|=8,O为ABC的外心,则AOBC=.11.设函数f(x)=ex(sin x-cos x)(0xb0)的离心率为53,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为83.(1)求椭圆T的方程;(2)过点P(2,1)的两条直线分别与椭圆T交于点A,C和B,D,若ABCD,求直线AB的斜率.18.(本小题满分16分)某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为每千克1.8元,每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用(若n天购买一次,需要支付n天的保管费),其标准如下:7天以内(含7天),无论重量多少,均按每天10元支付;超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每千克每天0.03元支付.(1)当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用p是多少元?(2)若该厂x天购买一次配料,求该厂在这x天中用于配料的总费用y(元)关于x的函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?19.(本小题满分16分)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(其中kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k(12,1时,求函数f(x)在0,k上的最大值M.20.(本小题满分16分)已知数列an中,a1=3,an+1+an=32n,nN*.(1)证明:数列an-2n是等比数列,并求数列an的通项公式.(2)在数列an中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请说明理由.(3)若1r3,对于项数为m的有穷数列an,令bk为a1,a2,ak(km)中的最大值,称数列bn为an的“创新数列”.例如:数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2,m(m3)的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列cn.(1)是否存在数列cn的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由.(2)是否存在数列cn,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列cn的个数;若不存在,请说明理由.2015届高三第八次联考数学试卷参考答案1.x|x2因为B=x|x24=x|-2x2,所以RB=(-,-2)(2,+),则(RB)A=(2,+).2.3+4ia-i与2+bi互为共轭复数,则a=2,b=1,(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.3.13n=360120+80+60=13.4.0.5甲不输包括甲获胜和甲、乙两队踢成平局,故其概率为0.8-0.3=0.5.5.4执行框图第一步:s=1+(1-1)=1,i=2;第二步s=2,i=3;第三步s=4,i=4;此时in,输出4.6.-12是第三象限的角,cos =-45,cos2+sin2cos2-sin2=(cos2+sin2)2cos22-sin22=1+sincos=-12.7.2将点P代入可得3b2-a2=2a2b2,再由PF1PF2可得2262+c2262-c=-1,c2=2,则根据c2=a2+b2可得e=ca=2.8.49连接AD1,由题知EFAD1,则BEAB=BFBD1=13,VE-AFC=VF-AEC=13122223=49.9.22在等差数列an中S5=5a3=-10,得a3=-2,同理得a5=-4,从而得a3与a5的等比中项为22.10.14AOBC=AO(AC-AB)=AOAC-AOAB=48-36=14.11.e由f(x)=2exsin x=0sin x=0得x=.经检验函数f(x)的极大值点为,所以所求极大值为e.12.4,+)由23-mn0,lnm-lnn0得mn0,23mnn2,则n4,m4.13.12设直线AB的方程为y=k1(x-2),联立y=k1(x-2),y2=4x,得k1y2-4y-8k1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AC的方程为y=y1x1-1(x-1),联立y=y1x1-1(x-1),y2=4x,得y14(x1-1)y2-y-y1x1-1=0,则y1yc=-4,故yc=-4y1,同理yD=-4y2,故k2=yD-yCxD-xC=4yD+yC=4-4(y1+y2)y1y2=2k1,故k1k2=12.14.(34,4543,32)当0x1时,f(x)=xx-a=-a,1x2时,f(x)=xx-a=1x-a,2x3时,f(x)=xx-a=2x-a,.f(x)=xx-a的图象是把y=xx的图象进行纵向平移而得到的,画出y=xx的图象,通过数形结合可知a(34,4543,32).15.解:(1)由已知得SBCD=12BCBDsin B=33,又BC=2,sin B=32,BD=23,cos B=12.在BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos B=22+(23)2-222312=289,CD=273.7分(2)CD=AD=DEsinA=62sinA,在BCD中,由正弦定理得BCsinBDC=CDsinB,又BDC=2A,得2sin2A=62sinAsinB,解得cos A=22,所以A=4.14分16.解:(1)连结AC,如图所示.因为四边形ABCD是矩形,且Q为BD的中点,所以Q为AC的中点. 又因为P为AE的中点,所以PQEC, 又因为PQ平面BCE,EC平面BCE,所以PQ平面BCE.7分(2)因为ABEM,且AB=EM=22,所以四边形ABEM为平行四边形,所以AMBE,且AM=BE=2.在AMF中,由AM=AF=2,MF=22,得AM2+AF2=MF2,故AMAF.由AD平面ABEF,得ADAM,因为ADAF=A,所以AM平面ADF.14分17.解:(1)由题意得2b2a=83,a2-b2a2=59, 解得a=3,b=2,则椭圆T的方程为x29+y24=1.6分(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),AP=PC,则2-x1=(x3-2),1-y1=(y3-1),故x3=2(1+)-x1,y3=(1+)-y1.因为点C在椭圆上,所以x329+y324=1,则2(1+)-x1292+(1+)-y1242=1,整理得 (1+)2(49+14)-2(1+)(2x19+y14)+x129+y124=2,由点A在椭圆上知x129+y124=1,故(1+)2(49+14)-2(1+)(2x19+y14)=2-1. 又ABCD,则BP=PD.同理可得 (1+)2(49+14)-2(1+)(2x29+y24)=2-1. -得 29(x2-x1)+14(y2-y1)=0.由题意可知x1x2,则直线AB的斜率为k=y2-y1x2-x1=-89.14分18.解:(1)当9天购买一次时,该厂用于配料的保管费用p=70+0.03200(1+2)=88元.4分(2)当07时,y=200x1.8+236+70+2000.03(x-7)+(x-8)+2+1=3x2+321x+432.所以y=370x+236,07且xN*.设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元,则f(x)=370+236x,07且xN*.当07时,f(x)=3x+432x+321=3(x+144x)+321393,当且仅当x=144x,即x=12时取等号.因为3930,所以g(k)在(12,1上递增, 所以g(k)ln 2-1=ln 2-ln e0,从而ln(2k)k,所以ln(2k)0,k,所以当x(0,ln(2k)时,f(x)0, 所以M=maxf(0),f(k)=max-1,(k-1)ek-k3.令h(k)=(k-1)ek-k3+1,则h(k)=k(ek-3k),令(k)=ek-3k,则(k)=ek-3e-30,所以(k)在(12,1上递减,而(12)(1)=(e-32)(e-3)0;当k(x0,1)时,(k)0,h(1)=0,所以h(k)0在(12,1上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”. 综上,函数f(x)在0,k上的最大值M=(k-1)ek-k3.16分20.解:(1)将已知条件an+1+an=32n变形为an+1-2n+1=-(an-2n).1分由于a1-2=3-2=10,则an+1-2n+1an-2n=-1(常数),3分即数列an-2n是以1为首项,公比为-1的等比数列,4分所以an-2n=1(-1)n-1=(-1)n-1,即an=2n+(-1)n-1(nN*).5分(2)假设在数列an中存在连续三项成等差数列,不妨设连续的三项依次为ak-1,ak,ak+1(k2,kN*),由题意得2ak=ak-1+ak+1,将ak=2k+(-1)k-1,ak-1=2k-1+(-1)k-2,ak+1=2k+1+(-1)k,代入上式得22k+(-1)k-1=2k-1+(-1)k-2+2k+1+(-1)k,8分化简得-2k-1=4(-1)k-2,即2k-1=4(-1)k-1,得(-2)k-1=4,解得k=3.所以,存在满足条件的连续三项a2,a3,a4成等差数列.10分(3)若a1,ar,as成等差数列,则2ar=a1+as,即22r+(-1)r-1=3+2s+(-1)s-1,变形得2s-2r+1=2(-1)r-1-(-1)s-1-3.11分由于r,sN*且1rs,下面对r、s进行讨论:若r,s均为偶数,则2s-2r+10,解得sr+1,与1rs矛盾,舍去;若r为奇数,s为偶数,则2s-2r+1=0,解得s=r+1;若r为偶数,s为奇数,则2s-2r+10,解得sr+1,与1rs矛盾,舍去;若r,s均为奇数,则2s-2r+10,解得sr+1,与1r0,b0,c0,所以12(12a+12b)12ab1a+b,当a=b时等号成立;12(12b+12c)12bc1b+c,当b=c时等号成立;12(12c+12a)12ca1c+a,当a=c时等号成立.三式相加,整理得12a+12b+12c1b+c+1c+a+1a+b,当且仅当a=b=c时等号成立.10分22.解:(1)若员工甲在一个月内所得奖金为400元,则他完成了三项指标中的两项,所以他获得400元奖金的概率为C32(12)2(12)=38.4分(2)设员工甲在一个月内所得奖金为X元,由题意可知X的可能取值为-80,160,400,800.P(X=160)=C31(12)(12)2=38;P(X=400)=C32(12)2(12)=38;P(X=800)=C33(12)3=18;P(X=-80)=C30(12)3=18.X的分布列为X-80160400800P18383818数学期望为E(X)=-8018+16038+40038+80018=300元.10分23.解:(1)存在数列cn的创新数列为等比数列.设数列的创新数列为en,因为em为前m个自然数中最大的一个,所以em=m.若en为等比数列,设公比为q,因为ek+1ek(k=1,2,m-1),所以q1.当q=1时,en为常数列满足条件,即为数列m,m,m.当q1时,en为增数列,符合条件的数列只能是1,2,m,又1,2,m不满足等比数列.综上,符合条件的创新数列只有一个.4分(2)存在数列cn,使它的创新数列为等差数列.设数列cn的创新数列为en,因为em为前m个自然数中最大的一个,