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新人教版八年级上册数学各章节知识点总结新人教版八年级上册数学各章节知识点总结 余正彬 第十一章第十一章三角形三角形 一 知识框架 一 知识框架 二 知识概念 二 知识概念 1 三角形 三角形 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 2 三边关系 三边关系 三角形任意两边的和大于第三边 任意两边的差小于第三边 3 高 高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高 4 中线 中线 在三角形中 连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 5 角平分线 角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形 的角平分线 6 三角形的稳定性 三角形的稳定性 三角形的形状是固定的 三角形的这个性质叫三角形的稳定性 7 多边形 多边形 在平面内 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 8 多边形的内角 多边形的内角 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角 9 多边形的外角 多边形的外角 多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 10 多边形的对角线 多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的对角线 11 正多边形 正多边形 在平面内 各个角都相等 各条边都相等的多边形叫正多边形 12 平面镶嵌 平面镶嵌 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖 叫做用多边形覆盖平面 13 公式与性质 公式与性质 三角形的内角和 三角形的内角和为 180 三角形外角的性质 性质 1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 性质 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 多边形内角和公式 n边形的内角和等于 2 n 180 多边形的外角和 多边形的外角和为 360 多边形对角线的条数 从n边形的一个顶点出发可以引 3 n 条对角线 第十二第十二章章全等三角形全等三角形 第一节 全等三角形第一节 全等三角形 形状大小放在一起完全重合的图形 叫做全等形 换句话说 全等形就是能够完全重合的图形 能够完 全重合的两个三角形叫做全等三角形 两个全等的三角形重合放在一起 重合的顶点叫做对应顶点 重合的边叫做对应边 重合的角叫做对应 角 两个三角形全等用符号两个三角形全等用符号 表示表示 如 ABC A B C 其中对应的边是 AB 与 A B AC 与 A C BC 与 B C 如若前一个三角形的边的表示字母变换位置 那么后一个三角形的对应字母也要变换位置 如 CB 与 C B 为对应边 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 第二节第二节 三角形全等的判定 三角形全等的判定 上节中知道全等三角形的三条对应边 三个对应角均分别相等 那么是否可以从逆推得三角形全等呢 由于三角形具有稳定性 那么画图得两个对应边分别相等的三角形 发现它们全等 对应角也相等 再次 画图得两个对应角分别相等的三角形 发现 它们的对应边成比例 但是不一定相等 例如 两 个等边三角形 角都相等 但是边长不一定相等 所以有判定一 三边对应相等的两个三角形全等 边边边或判定一 三边对应相等的两个三角形全等 边边边或 SSS 画图得两个角度相等 边分别相等的两个角 依次分别连接角的边的端点 得两个全等的三角形 两边 与夹角确定第三边 有判定二 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 边角边或判定二 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 边角边或 SAS 画图得两条长度相等的线段 分别以线段两端点为起点做射线 射线与线段的夹角对应相等 两条射线 相交与一点 形成两个三角形 这两个三角形全等 有判定三 两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角边角或判定三 两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角边角或 ASA 画图得两个角度和一边对应相等的两个角 分别从该边向另一边引一条射线 射线与另一边的夹角对应 相等 形成的两个三角形全等 有判定四 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 角角边或判定四 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 角角边或 AAS 画图得两个直角三角形 它们的斜边和一条直角边对应相等 这两个三角形全等 有判定五 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 斜边 直角边或判定五 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 斜边 直角边或 HL 第三节第三节 角的平分线的性质 角的平分线的性质 作图 已知AOB 求作AOB 的平分线 做法 1 以 O 为圆心 适当长为半径画弧 交 OA 于 M 交 OB 于 N 2 分别以 M N 为圆心 大于 2 1 MN 的长为半径画弧 两弧在AOB 的内部交于点 C 3 画射线 OC 射线 OC 即为所求 从射线 OC 上任选一点 分别作 OA OB 的垂线段 沿着 OC 折叠 会发现 OA OB 的垂线段完全重合 故 有角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 同理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤 确定已知条件 包括隐含条件 如公共边 公共角 对顶角 角平分线 中线 高 等腰三角形 等 所隐含的边角关系 回顾三角形判定 搞清我们还需要什么 正确地书写证明格式 顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题 可以逆推 由需要证明的结论一步步推导出已知条件 第十三章第十三章 轴对称轴对称 第一节第一节轴对称轴对称 如果一个图形沿着一条直线折叠 直线两旁的部分能够相互重合 这个图形就叫做轴对称图形 这条直 线就是它的对称轴 可以说这个图形关于这条直线 成轴 对称 把一个图形沿着以一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这条直线对 称 这条直线叫做对称轴 折叠后重合的点是对应点 叫做对称点 把成轴对称的两个图形看成一个整体 它就是一个轴对称图形 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图 形 这两个图形关于这条轴对称 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 与一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 第二节 画轴对称图形 画轴对称图形的步骤 1 选择已知图形的关键点 2 依次过它们做垂直于已知直线的垂线 截取直线 两边的线段长度相等 则新点即是已知图形的关键点关于直线对称的点 3 依次连接各个点 所得图形即为 已知图形的轴对称图形 轴对称图形可以经过旋转得出 用坐标轴表示轴对称 关于 x 轴对称 x y 与 x y 关于 y 轴对称 x y 与 x y 第三节等腰三角形 有两个边相等的三角形叫做等腰三角形 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等 简言之 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等 简言之 等边对等角 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简言之 等角对等 边 一种特殊的等腰三角形 等边三角形 三条边相等 三个角相等并且都为 60 反推 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中 如果一个锐角等于在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 那么它所对的直角边等于斜边的一半 第十四章第十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解 第一节 整式的乘法 1 同底数幂的乘法 一般地 对于任意底数a与任意正整数m 有 nmnm aaa m n都是正整数 即同底数幂相乘 底数 不变 指数相加 该乘法法则是幂的运算中最基本的法则 在应用法则运算时 要注意以下几点 法则使用的前提条件是 幂的底数相同而且是相乘时 底数a可以是一个具体的数字式字母 也可以 是一个单项或多项式 指数是1时 不要误以为没有指数 不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆 对乘法 只要底数相同指数就可以相加 而对于加法 不仅底数相同 还要求指数相同才能相加 当三个或三个以上同底数幂相乘时 法则可推广为 pnmpnm aaaa 其中m n p均为正整数 公式还可以逆用 nmnm aaa m n均为正整数 2 幂的乘方 一般地 对任意底数a与任意正整数m n 有 mnnm aa m n都是正整数 即幂的乘方 底数不变 指数相乘 该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的 但两者不能混淆 另有 mnnmmn aaa m n都是正整数 当底数有负号时 运算时要注意 底数是a与 a 时不是同底 但可以利用乘方法则化成同底 如将 a 3化成 a3 为奇数时当 为偶数时当 一般地 na na a n n n 底数有时形式不同 但可以化成相同 要注意区别 ab n与 a b n意义是不同的 不要误以为 a b n an bn a b均不为零 3 积的乘方法则 一般地 对于任意底数a b与任意正整数n 有 nnn baab n为正整数 即积的乘方 等于把积 每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用 4 整式的乘法 1 单项式乘法法则 单项式相乘 把它们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一个单项式里含有的字母 连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点 积的系数等于各因式系数积 先确定符号 再计算绝对值 这时容易出现的错误的是 将系数相乘 与指数相加混淆 相同字母相乘 运用同底数的乘法法则 只在一个单项式里含有的字母 要连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用 单项式乘以单项式 结果仍是一个单项式 2 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 即单项式乘以多项式 是通过乘法对加法的分配律 把它转化为单项式乘以单项式 单项式与多项式相乘时要注意以下几点 单项式与多项式相乘 积是一个多项式 其项数与多项式的项数相同 运算时要注意积的符号 多项式的每一项都包括它前面的符号 在混合运算时 要注意运算顺序 3 多项式与多项式相乘 先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 多项式与多项式相乘时要注意以下几点 多项式与多项式相乘要防止漏项 检查的方法是 在没有合并同类项之前 积的项数应等于原两个 多项式项数的积 多项式相乘的结果应注意合并同类项 对含有同一个字母的一次项系数是 1 的两个一次二项式相乘 abxbaxbxax 2 其二次项系数为 1 一次项系数等于两个因式中常数项的和 常数项是两个因式中常数项的积 对于一次项 系数不为 1 的两个一次二项式 mx a 和 nx b 相乘可以得 abnambmnxbnxamx 2 第二节 乘法公式 1 平方差公式 两数和与这两数差的积 等于它们的平方差 即 22 bababa 其结构特征是 公式左边是两个二项式相乘 两个二项式中第一项相同 第二项互为相反数 公式右边是两项的平方差 即相同项的平方与相反项的平方之差 2 完全平方公式 两数和 或差 的平方 等于它们的平方和 加上 或减去 它们的积的2倍 即 222 2 bababa 口决 首平方 尾平方 2倍乘积在中央 结构特征 公式左边是二项式的完全平方 公式右边共有三项 是二项式中二项的平方和 再加上或减去这两项乘积的2倍 在运用完全平方公式时 要注意公式右边中间项的符号 以及避免出现 222 baba 这样的错误 添括号法则 添括号是 如果括号前面是正号 括到括号里的各项都不变符号 如果括号前面是负号 括到括号里的各项都改变符号 即添正不变号 添负各项变号 去括号法则同样 第三节 整式的除法 1 同底数幂的除法法则 一般地 有 nmnm aaa a 0 m n都是正整数 且m n 即同底数幂相 除 底数不变 指数相减 在应用时需要注意以下几点 法则使用的前提条件是 同底数幂相除 而且0不能做除数 所以法则中a 0 任何不等于0的数的0次幂等于1 即 0 1 0 aa 如100 1 2 5 0 1 则00无意义 任何不等于0的数的 p次幂 p是正整数 等于这个数的p的次幂的倒数 即 p p a a 1 a 0 p是正 整数 而0 1 0 3都是无意义的 当a 0时 a p的值一定是正的 当a 0时 a p的值可能是正也可能是负的 如 4 1 2 1 2 2 2 8 1 2 1 2 3 3 运算要注意运算顺序 2 整式的除法 1 单项式除法单项式 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的 指数作为商的一个因式 2 多项式除以单项式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以单项式 再把所得的商相加 特点特点 把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式 所得商的项数与原多项式的项数相同所得商的项数与原多项式的项数相同 另外还要另外还要 特别注意符号 特别注意符号 第四节 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多项式因式分解 也叫做把这个多项式分 解因式 因式分解与整式乘法是互逆关系 因式分解与整式乘法的区别和联系 1 整式乘法是把几个整式相乘 化为一个多项式 2 因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘 分解因式的一般方法 1 提公共因式法 如果一个多项式的各项含有公因式 那么就可以把这个公因式提出来 从而将多项式化成两个因式乘积 的形式 这种分解因式的方法叫做提公因式法 如 cbaacab 概念内涵 1 因式分解的最后结果应当是 因式分解的最后结果应当是 积积 2 公因式可能是单项式 公因式可能是单项式 也可能是多项式 也可能是多项式 3 提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律 即 提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律 即 cbammcmbma 易错点点评 易错点点评 1 注意项的符号与幂指数是否搞错 注意项的符号与幂指数是否搞错 2 公因式是否提 公因式是否提 干净干净 3 多项式中某一项恰为公因式 提出后 括号中这一项为 多项式中某一项恰为公因式 提出后 括号中这一项为 1 不漏掉 不漏掉 2 运用公式法 如果把乘法公式反过来 就可以用来把某些多项式分解因式 这种分解因式的方法叫做运用公式法 主要公式 1 平方差公式 22 bababa 2 完全平方公式 222 2bababa 222 2bababa 易错点点评 易错点点评 因式分解要分解到底 如因式分解要分解到底 如 222244 yxyxyx 就没有分解到底 就没有分解到底 运用公式法 1 平方差公式 应是二项式或视作二项式的多项式 二项式的每项 不含符号 都是一个单项式 或多项式 的平方 二项是异号 2 完全平方公式 应是三项式 其中两项同号 且各为一整式的平方 还有一项可正负 且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍 因式分解的思路与解题步骤 1 先看各项有没有公因式 若有 则先提取公因式 2 再看能否使用公式法 3 用分组分解法 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的 4 因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积 否则不是因式分解 5 因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止 第五节 补充 1 分组分解法 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法 如 nmbanmbnmabnbmanam 概念内涵 分组分解法的关键是如何分组分组分解法的关键是如何分组 要尝试通过分组后是否有公因式可提要尝试通过分组后是否有公因式可提 并且可继续分解并且可继续分解 分组后是否可分组后是否可 利用公式法继续分解因式 利用公式法继续分解因式 注意 分组时要注意符号的变化 注意 分组时要注意符号的变化 2 十字相乘法 对于二次三项式cbxax 2 将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积 21 aaa 21 ccc 且满足 1221 cacab 往往写成 c 2 a 2 c 1 a 1 的形式 将二次三项式进行分解 如 2211 2 cxacxacbxax 二次三项式qpxx 2 的分解 abqbap 2 bxaxqpxx 规律内涵 把把qpxx 2 分解因式时分解因式时 如果常数项如果常数项 q 是正数是正数 那么把它分解成两个同号因数那么把它分解成两个同号因数 它们的符号与一次项它们的符号与一次项 系数系数 p 的符号相同 的符号相同 如果常数项如果常数项 q 是负数是负数 那么把它分解成两个异号因数那么把它分解成两个异号因数 其中绝对值较大的因数与一次项系数其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相的符号相 同 对于分解的两个因数 还要看它们的和是不是等于一次项系数同 对于分解的两个因数 还要看它们的和是不是等于一次项系数 p 易错点点评 易错点点评 1 十字相乘法在对系数分解时易出错 十字相乘法在对系数分解时易出错 2 分解的结果与原式不等 这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确 分解的结果与原式不等 这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确 第十五章第十五章 分式分式 知识点一 分式的定义知识点一 分式的定义 一般地 如果 A B 表示两个整式 并且 B 中含有字母 那么式子 B A 叫做分式 A 为分子 B 为分母 知识点二 与分式有关的条件知识点二 与分式有关的条件 分式有意义 分母不为 0 0B 分式无意义 分母为 0 0B b a 1 1 分式值为 0 分子为 0 且分母不为 0 0 0 B A 分式值为正或大于 0 分子分母同号 0 0 B A 或 0 0 B A 分式值为负或小于 0 分子分母异号 0 0 B A 或 0 0 B A 分式值为 1 分子分母值相等 A B 分式值为 1 分子分母值互为相反数 A B 0 经典例题经典例题 1 代数式 1 4 x 是 A 单项式B 多项式C 分式D 整式 2 在 2 x 1 3 xy 3 5 ax 2 4 xy 中 分式的个数为 A 1B 2C 3D 4 3 当a是任何有理数时 下列式子中一定有意义的是 A 1a a B 2 1a a C 2 1 1 a a D 2 1 1 a a 4 当1x 时 分式 1 1 x x 1 22 x x 2 1 1 x x 3 1 1x 中 有意义的是 A B C D 5 使分式 84 83 x x 的值为 0 则x等于 A 3 8 B 1 2 C 8 3 D 1 2 6 若分式 2 2 1 2 x xx 的值为 0 则x的值是 A 1 或 1B 1C 1D 2 7 当x时 分式 1 1 x x 的值为正数 8 当x时 分式 1 1 x x 的值为负数 9 当x 时 分式 1 32 x x 的值为 1 知识点三 分式的基本性质知识点三 分式的基本性质 1 分式的分子和分母同乘 或除以 一个不等于 0 的整式 分式的值不变 字母表示 CB C A B A CB C A B A 其中 A B C 是整式 C 0 拓展 分式的符号法则 分式的分子 分母与分式本身的符号 改变其中任何两个 分式的值不变 即 BB A BB AAA 注意 在应用分式的基本性质时 要注意 C 0 这个限制条件和隐含条件 B 0 经典例题经典例题 1 把分式 a ab 的分子 分母都扩大 2 倍 那么分式的值 A 不变B 扩大 2 倍C 缩小 2 倍D 扩大 4 倍 2 下列各式正确的是 A 1 1 axa bxb B 2 2 yy xx C nna mma 0a D nna mma 3 下列各式的变式不正确的是 A 22 33yy B 66 yy xx C 33 44 xx yy D 88 33 xx yy 知识点四 分式的约分知识点四 分式的约分 定义 根据分式的基本性质 把一个分式的分子与分母的公因式约去 叫做分式的约分 步骤 把分式分子分母因式分解 然后约去分子与分母的公因式 注意 分式的分子与分母为单项式时可直接约分 约去分子 分母系数的最大公约数 然后约去分子分母 相同因式的最低次幂 分子分母若为多项式 约分时先对分子分母进行因式分解 再约分 知识点四 最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时 叫做最简分式 经典例题经典例题 1 约分 2 2 2 20 ab a b 2 2 9 69 x xx 2 化简 2 2 9 3 m mm 的结果是 A 3 m m B 3 m m C 3 m m D m m 3 知识点五 分式的通分知识点五 分式的通分 第四节分式的通分 根据分式的基本性质 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式 叫做分式的通分 第五节分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定 最简公分母的定义 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母 这样的公分母叫做最简公分母 确定最简公分母的一般步骤 取各分母系数的最小公倍数 单独出现的字母 或含有字母的式子 的幂的因式连同它的指数作为一个因式 相同字母 或含有字母的式子 的幂的因式取指数最大的 保证凡出现的字母 或含有字母的式子 为底的幂的因式都要取 注意 分式的分母为多项式时 一般应先因式分解 经典例题经典例题 1 分式 2 2 3 c a b 4 4 a b c 2 5 2 b ac 的最简公分母是 A 12abcB 12abc C 242 24a b cD 242 12a b c 2 通分 222 693 xyz aba bcabc 知识点六知识点六 分式的四则运算与分式的乘方分式的四则运算与分式的乘方 1分式的乘除法法则 分式乘分式 用分子的积作为积的分子 分母的积作为积的分母 式子表示为 db ca d c b a 分式除以分式 把除式的分子 分母颠倒位置后 与被除式相乘 式子表示为 cc b dad b a d c b a 2分式的乘方 把分子 分母分别乘方 式子 n n n b a b a 3分式的加减法则 同分母分式加减法 分母不变 把分子相加减 式子表示为 c ba c b c a 异分母分式加减法 先通分 化为同分母的分式 然后再加减 式子表示为 bd bcad d c b a 整式与分式加减法 可以把整式当作一个整数 整式前面是负号 要加括号 看作是分母为 1 的分式 再通分 4分式的加 减 乘 除 乘方的混合运算的运算顺序 先乘方 再乘除 后加减 同级运算中 谁在前先算谁 有括号的先算括号里面的 也要注意灵活 提 高解题质量 注意 在运算过程中 要明确每一步变形的目的和依据 注意