复变函数PPT第01章复数与复变函数.pdf

第一章 复数与复变函数 第一节复数及其代数运算第一节复数及其代数运算 复数的概念复数的概念 复数的代数运算复数的代数运算 共轭复数共轭复数 复变函数的出发点是复数复变函数的出发点是复数 同学们在中学代数中 已经学习过复数 同学们在中学代数中 已经学习过复数 数的基本定义及结论数的基本定义及结论 在这里回顾一下在这里回顾一下 1 复数的概念 为了便于以后讨论 复数的概念 为了便于以后讨论 我们把有关复 形如 我们把有关复 形如 yixz 的数称为复数的数称为复数 其中 其中yx 1 i 称为虚单位称为虚单位 yx及及 z的实部和虚部的实部和虚部 分别记做 分别记做ReIm xzyz 及 为任意实数为任意实数 虚单位 分别称为 虚单位 分别称为 0Im z如果那么把看作实数如果那么把看作实数 记做记做z Rezz 如果如果 0Im z 那么称为虚数那么称为虚数 z如果如果 0Im z而而 0Re z 那么称为纯虚数那么称为纯虚数 z 记做记做 Imziz 复数的基本定义 2121 yyxx 且 设有两个复数 且 设有两个复数 111 yixz 222 yixz 如果如果 2 复数相等的概念复数相等的概念 则有则有 CR 21 zz 那么这两个复数称为相等那么这两个复数称为相等 记做 全体复数所组成的集合记做 记做 全体复数所组成的集合记做C 3 复数的四则运算及其满足的运算规律复数的四则运算及其满足的运算规律 222111 biazbiaz 任取两个复数任取两个复数则有则有 21 zz 2121 bbiaa 2211 biabia 21z z 2211 biabia 12212121 babaibbaa 复数的基本定义 1 2 z z z 22 11 b ia b ia 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 ba baba i ba bbaa 当时 当时 0 2 z 的复数为的复数为 z1除以除以 z2的商 称满足 的商 称满足 21 z zz zxiy 记作 记作 1 2 z z z 类似于实数类似于实数 复数的运算也满足的交换律 结 合律和分配律 复数的运算也满足的交换律 结 合律和分配律 复数的基本定义 如果两复数的实部相等而虚部互为相反数 则 这两个复数称为共轭复数 如果两复数的实部相等而虚部互为相反数 则 这两个复数称为共轭复数 与共轭的复数记做与共轭的复数记做 zxiy z 322 Re Imzzz zziz 4 共轭复数共轭复数 则有则有 zxiy 1212 1 zzzz 1 212 z zz z 22 4 Re Im zzzz 2 zz 11 2 22 0 zz z zz 定义定义 性质性质 非负实数非负实数 复数的基本定义 1 2 z z z 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 ba baba i ba bbaa 1122 2222 aibaib aibaib 12 22 z z z z 复数的基本定义 第二节复数的几何表示第二节复数的几何表示 复数的点表示复数的点表示 复球面与无穷远点复球面与无穷远点 复数的指数形式复数的指数形式 复数的向量表示和三角形式复数的向量表示和三角形式 yixz yx 2 RC 2 Ryxyixz 映射映射 这是集与平面之间的一个双射这是集与平面之间的一个双射 一一映射一一映射 C 2 R 把看作表示复数把看作表示复数 于是于是yix 2 Ryx 点 并把它称为 点 并把它称为 yix x o y x y yx yixz 复数的点表示 这时平面就称为复平面这时平面就称为复平面 2 RC 虚轴虚轴 z 复平面有时按照表复平面有时按照表C 示复数的字母用而称为 平面示复数的字母用而称为 平面 平面等等平面等等 L wzz w x o y x y yx yix 上半平面上半平面 下半平面下半平面 左半平面左半平面 实轴实轴 右半平面右半平面 实轴实轴 复数可以用复平面上的点表示复数可以用复平面上的点表示 复数的点表示 yxoz ozz 复数可以用复平面上的以原点复数可以用复平面上的以原点O为起点为起点 z 为终点的向量表示为终点的向量表示 x o y x y yx yixz 这样这样 我们可以把复数也叫做向量我们可以把复数也叫做向量 z z 复数的向量表示和三角表示 x o y 2 z 2 z 1 z 11 ozz 22 ozz zzz 21 oz 21 ozoz zzz 21 2121 zzzz 12z zoz zzz 21 21 zz 2121 zzzz 复数加复数加 减减 法的几何意义法的几何意义 12 zzz 12 zzz 复数的向量表示和三角表示 向量的长度称为复数的模向量的长度称为复数的模 yixz z 记作记作 22 zrxy zz 0 定义定义1 可见可见 xzyz zxy 2 22 zzzxy x y yx y x o yixz 复数的向量表示和三角表示 当时当时 0 z以以x 轴正向为始边轴正向为始边 以为终边以为终边oz 的角的角 弧度弧度 称为的辐角称为的辐角 z 记做记做 zArg则有则有 2rg zkA k为任意整数为任意整数 y x o yixz yx y x o yixz yx 复数的向量表示和三角表示 y x o 2arg z 0arg2 z x y arctan x y arctan zx iy yixz y x o yixz 复数的向量表示和三角表示 z y x o y x o y x o z z z z z y x o z 2 2 0 0 z 综上综上 对对 都有 都有 22 02 20 y x o z 复数的向量表示和三角表示 zarg 2arg0 z zarg2 x y x y zarctanarg zarg x y arctan y x o yixz 它叫做它叫做z的辐角的主值的辐角的主值 复数的向量表示和三角表示 y x o yixz yx zArgizArgrzsincos 的三角表示式的三角表示式z zArgry zArgrx sin cos 有了复数的三角表示式有了复数的三角表示式 我们来考察一下复数的 乘 我们来考察一下复数的 乘 除除 法法 2222 sincoszArgizArgrz 1111 sincoszArgizArgrz 设有两个不等于零的复数设有两个不等于零的复数z1 及及z2 则可令则可令 复数的向量表示和三角表示 由除法定义得由除法定义得 2 1 2 1 z z z z 1 1 1212 22 cossin zz ArgzArgziArgzArgz zz 21 2 1 ArgzArgz z z Arg 由此得 由此得 当时当时 1 z cossincossin n i n in 棣莫弗公式棣莫弗公式 表示的任一值表示的任一值 Argz 复数的向量表示和三角表示 y x o 1 z 1 2 z 2 2 21z z y x o z iz 复数乘积和商的几何意义复数乘积和商的几何意义 复数的向量表示和三角表示 1 Ex 试用复数表示圆的方程试用复数表示圆的方程 00 22 adcybxyxa 是实常数其中是实常数其中dcba iyxz 令令则有则有 22 zzzz xy i z zyx 22 代入方程中代入方程中 整理后得整理后得 0 dzzzaz 2 1 icb 其中其中 解解 复数的向量表示和三角表示 1212 zzzz 2 Ex设设z1 及及z2是两个复数是两个复数 求证求证 Re2 21 2 2 2 1 2 21 zzzzzz 证明证明证明证明 2 121212 zzzzzz 1 1221221 z zz zz zz z 22 1212 2Rezzz z 22 121 212 zzz zz z 复数的向量表示和三角表示 CN N 北极北极 P C U C C称为扩充复数集称为扩充复数集 扩充复平面扩充复平面 称为复球面称为复球面 N 无穷远点或无穷大无穷远点或无穷大 y x Oz S 南极 在三维空间中 南极 在三维空间中 作一球面使之与复平面切于原 点 作一球面使之与复平面切于原 点z 0 复球面与无穷远点 设为有限复数设为有限复数 对于复数对于复数 实部和虚部以及辐角的概念都没 有意义 实部和虚部以及辐角的概念都没 有意义 至于它的模至于它的模 则约定为则约定为 而 对于有限平面上的任意复数 而 对于有限平面上的任意复数z 0 0 0 没有意义以及运算没有意义以及运算 都有都有 z 运算运算 那么那么 00 0 0 复球面与无穷远点 小节复数表示 第三节第三节第三节第三节复数的乘幂和方根复数的乘幂和方根复数的乘幂和方根复数的乘幂和方根 复数的乘幂复数的乘幂 复数的方根复数的方根 一 复数的乘幂一 复数的乘幂一 复数的乘幂一 复数的乘幂 cossin nn zznArgzinArgz 当当n 是正整数时是正整数时 当当n 0 时时 此公式也成立此公式也成立 定义定义 n n z z 1 于是于是 cossin nn zznArgzinArgz 因此对于任意整数因此对于任意整数n cossin nn zznArgzinArgz 复数的乘幂 二 复数的方根二 复数的方根二 复数的方根二 复数的方根 乘幂的逆运算乘幂的逆运算乘幂的逆运算 已知非零复数 乘幂的逆运算 已知非零复数z 记作记作 n z cossin zri cossin i 令 令 得到得到 方程的根称为方程的根称为z 的的n 次次z n 根根 cossincossin n ninri 下面求复数下面求复数 故故 2012 n r nkk L 复数的乘幂 2 1 0 2 L k n k n r 于是于是 22 cossin nn kk zri nn 1 2 1 0 nkL 非零复数非零复数z 的的n 次根有次根有n 个值个值 满足下列条件满足下列条件 可见可见 1 它们的模相等 它们的模相等 2 相邻的两个数的辐角差相等 且均为相邻的两个数的辐角差相等 且均为2 n 复数的乘幂 z 的的n 个个n次根是以原点为中心次根是以原点为中心 以为半径的 圆的内接正 以为半径的 圆的内接正n边形的边形的n个顶点个顶点 n r O x y 1 8 10 1 27 44 cossin kk ik L 0 1 3 4 5 6 7 例例1 求求 8 1 复数的乘幂 解解 84 22 44 12 44 0 1 2 3 cossin kk ii k 例例2 求求 4 1 i 解解 12 44 cossinii 复数的乘幂 O x y 8 0 2 1616 cossini 8 1 99 2 1616 cossini 8 2 1717 2 1616 cossini 8 3 2525 2 1616 cossini 0 1 2 3 10 i 复数的乘幂 第四节区域第四节区域 复平面上的点集复平面上的点集 区域曲线区域曲线 一 复平面上的点集一 复平面上的点集一 复平面上的点集一 复平面上的点集 C已经讲过了已经讲过了 现在我们把它平行地拿到复平面中现在我们把它平行地拿到复平面中 关于平面的基本拓扑知识 在高等数学中关于平面的基本拓扑知识 在高等数学中 2 R yxz 2 RC 2 RC 复平面上的点集 0 zzzzC 称为的邻域 称为的邻域 0 点集点集 z 1 Def 1 Def o x 0 z y 0 0 zC 设设 记作记作 0 U z 复平面上的点集 2 Def 2 Def 0 0 zzzzC 点集 如果 如果使得使得 0 U zD 0 那么那么 z 就称为点集就称为点集D的内点的内点 它属于它属于 D D D 0 z D DC 设点集设点集z0 为为D 中任意一点中任意一点 复平面上的点集 记作记作 D 0 U zCD 0 如果 如果4 Def 4 Def 0 U zD I D 0 z那么称为的边界 点 那么称为的边界 点 D D D D 集集的全部边界点所组成的集的全部边界点所组成的集 称为 称为 的边界的边界 DD D 0 z 0 z D D 中的点不一定属于中的点不一定属于D D 复平面上的点集 5 Def5 Def如果点集如果点集D中的点全部是中的点全部是D 的内点的内点 那么点集那么点集D 称为开集称为开集 DD 0 z 0 z D 复平面上的点集 6 Def6 Def如果使得 如果使得 0 0 DU 那么点集那么点集D 称为有界集称为有界集 否则点集否则点集D 称为无界集称为无界集 D o x y o x y 复平面上的点集 0 R 7 Def在扩充复平面上 在扩充复平面上 C 称为的一个邻域称为的一个邻域 zzR zC 集 集 R O x y zR 复平面上的点集 二 区域二 区域 1 Def1 DefD复平面上具有下列性质的点集复平面上具有下列性质的点集 C 称为区域称为区域 1 是开集 是开集 D DD 2 中任意两个有限点可以用完全含于的 折线连接 中任意两个有限点可以用完全含于的 折线连接 连通性连通性 区域就是连通的开集区域就是连通的开集区域就是连通的开集区域就是连通的开集 D D 区域 D 区域及其边界组成的集称为闭区域 区域及其边界组成的集称为闭区域 2 Def 2 Def 记作记作 D r o x y rz 有界闭区域有界闭区域 D D 有界闭区域有界闭区域 有界区域有界区域 区域 3 Def bta tyy txx L L x y o yx iyxz tyitxzL t tx设及是实变数的两个函数 设及是实变数的两个函数 ty 在上连续 在上连续 ba 则由复数方程则由复数方程 btatyitxz L所决定的点集 称为平面上的一条连续曲线所决定的点集 称为平面上的一条连续曲线 z btatzzL 简记为简记为 z a z b 区域 21 tztz 1 t 2 t ba 如果对上任意不同两点及 同时是的端点 我们有 如果对上任意不同两点及 同时是的端点 我们有 ba 称为一条简单曲线 称为一条简单曲线 btatzz 但不 那么 如果还有 则该曲线称为 但不 那么 如果还有 则该曲线称为 或若尔当闭曲线或若尔当闭曲线 一条简单闭曲线 一条简单闭曲线 bzaz 尔当曲线 或若 尔当曲线 或若 z a z b z a z b z a z b 区域 4 Def4 Def btatyitxz 设简单连续曲线的参数方程为设简单连续曲线的参数方程为L 有限条光滑曲线相衔接构成一条分段光滑曲线有限条光滑曲线相衔接构成一条分段光滑曲线 x y o L x y o yx iyxz 曲线曲线曲线称为曲线称为光滑光滑光滑则光滑则L 又在又在 a 连续且不全为零存在及 连续且不全为零存在及tytx 上上b 区域 外区域外区域 内区域 内区域 外区域 内区域 内区域 外区域 若尔当闭曲线若尔当闭曲线 若尔当定理若尔当定理任一条若尔当闭曲线把整个复平面 分成两个没有公共点的区域 一个有界的称为它的内 区域 一个无界的称为它的外区域 这两个区域都以 已给的若尔当闭曲线作为边界 任一条若尔当闭曲线把整个复平面 分成两个没有公共点的区域 一个有界的称为它的内 区域 一个无界的称为它的外区域 这两个区域都以 已给的若尔当闭曲线作为边界 区域 设设D 是复平面上一区域是复平面上一区域 如果在其中 任作一条简单闭曲线 而曲线的内部总属于 如果在其中 任作一条简单闭曲线 而曲线的内部总属于D 那 么 那 么D 称为单连通区域称为单连通区域 否则称为多连通区域否则称为多连通区域 D 5 Def5 Def 区域 第五节复变函数第五节复变函数 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性 复变函数的概念 复变函数的极限 复变函数的连续性 复变函数的概念 复变函数的极限 复变函数的连续性 zf 记做 记做 的值关于函数是的值关于函数是fz 如果有一个对应 法则 如果有一个对应 法则 f 设是复平面上的一个点集 设是复平面上的一个点集 CE 使得使得CivuEiyxz 和它对 应 函数 和它对 应 函数 则称为在上确定的则称为在上确定的复变数函数复变数函数复变数函数 或简称复变复变数函数 或简称复变 f E zfzzff 或记做也可记做函数 或记做也可记做函数 1 1 1 1 复变函数的定义复变函数的定义复变函数的定义复变函数的定义 f Ef zzEE 函数的值域函数的值域 复变函数的概念 yxvvyxuu 这里这里 zf iyxfivu yxvvyxuu ixyyx2 22 2iyx 2 22 xyvyxu 2 z 例例 等价于等价于 即一个复变函数等价于两个实二元函数即一个复变函数等价于两个实二元函数 zf 可借助于实二元函数中相应的理论可借助于实二元函数中相应的理论 讨论一个复变函数的极限及其分析性质讨论一个复变函数的极限及其分析性质 f z 复变函数的概念 zf iyxfivu o y x z E u v o Ef z zE zf 0 z 0 的的原原象象 0 2 2 2 2 复变函数的几何意义复变函数的几何意义复变函数的几何意义复变函数的几何意义 面上的点集面上的点集 E 复变函数复变函数把把 平面上的点集平面上的点集映成映成 平平 zf z E 函数函数 也称为从也称为从到到的的一个映射一个映射 fE E 0 z 的象的象 复变函数的概念 f Ef zzEE 函数 是从到的双射函数 是从到的双射fE E 1Ex 设有函数设有函数 2 z 试问它把 平面上的下 列图形分别映成平面上的什么图形 试问它把 平面上的下 列图形分别映成平面上的什么图形 z 102 4 r 202 0 4 r 22 34 xy 复变函数的概念 o y x o v u 2 z 4i i zre 令则由令则由 2 z 得到得到 2 220 1 2 r k k L 04 2 解 把 平面上的图形 解 把 平面上的图形 1 映成平面上的图形 映成平面上的图形 z 2 z 故故 z 1 i e 复变函数的概念 o y x o v u 2 z 24 2 z 复变函数的概念 o y x o v u 2 z z 3 22 zxiy uiv 令则由令则由 2 z 得到得到 22 2 uxy vxy 4 u 把 平面上的图形把 平面上的图形 3 映成平面上的图形映成平面上的图形 z 2 z 故故 4 22 4xy 4u 复变函数的概念 2Ex 设有函数设有函数 1 z 试问它把 平面上的下 列曲线分别映成平面上的什么曲线 试问它把 平面上的下 列曲线分别映成平面上的什么曲线 z 22 14 xy 2 2 211 xy 3 3 3 3 关于复变函数作几点说明关于复变函数作几点说明关于复变函数作几点说明关于复变函数作几点说明 复变函数的定义在形式上与实一元函数的定 义几乎完全一致 复变函数的定义在形式上与实一元函数的定 义几乎完全一致 但反映的实质却不相同但反映的实质却不相同 复变函数 反映 平面上点集与 平面上点集的对应关系 复变函数 反映 平面上点集与 平面上点集的对应关系 z 需要需要 1 复变函数的概念 两个平面来表示两个平面来表示 而实一元函数反映两个实轴上点集 之间的对应关系 而实一元函数反映两个实轴上点集 之间的对应关系 只需用一个平面上的一条曲线就可 以直观地表示 只需用一个平面上的一条曲线就可 以直观地表示 显然要简单得多显然要简单得多 复变函数的极限 连续 导数 沿曲线积分等 定义在形式上与实一元函数中相应的定义几乎 完全一致 复变函数的极限 连续 导数 沿曲线积分等 定义在形式上与实一元函数中相应的定义几乎 完全一致 2 zf zxiy uiv 时相当于两时相当于两 个实二元函数个