《大学物理电磁学》PPT课件.ppt

大学物理2电磁学部分电磁学研究的对象和内容 电磁学研究电荷和电流产生电场和磁场的规律 电磁场对电荷和电流的作用 电场和磁场的相互联系 电磁场对宏观物体的作用以及所引起的各种效应等 第八章真空中的静电场 8 1电荷库仑定律1 电荷摩擦起电现象带电带电体起电 使物体带电的过程 正电荷和负电荷 电荷之间存在相互作用力 同号电荷互相排斥 异号电荷互相吸引 近代物理认为 原子中的质子带正电荷 电子带负电荷 中子不带电荷 严格来讲 电荷并不是一个实体 而是某些基本粒子 如质子 电子 或带电体的一种属性 带电体所带电荷的多少用电荷量或电量表示 记为q 单位 库仑 C 质子或电子所带电荷量的绝对值为最小的电荷量 元电荷量 带电体 正负电荷量的代数和不为零 电中性 正负电荷量的代数和为零 在导体中 电荷可以从一个地方自由移动到另一个地方 在绝缘体或电介质中 电荷不能从一个地方移动到另一个地方 电荷守恒定律 在一个与外界没有电荷交换的系统内 正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变 2 库仑定律点电荷 忽略带电体的形状和大小 将所带总电荷量看成集中在一个几何点上 库仑定律 在真空中 两个静止点电荷之间相互作用力 常称为库仑力或静电力 的大小与这两个点电荷的电荷量q1和q2的乘积成正比 而与这两个点电荷之间的距离r12的平方成反比 作用力的方向沿着这两个点电荷的连线 同号电荷相斥 异号电荷相吸 其中称为真空介电常数或真空电容率 实验表明 两个静止点电荷之间的相互作用力是独立的 并不会因为第三个点电荷的存在而改变 静电力的叠加原理 当真空中有两个以上的点电荷同时存在时 作用在某个点电荷上的总静电力等于其他各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力的矢量和 8 2电场电场强度1 电场近代物理的观点认为 点电荷在其周围空间激发电场 该电场对处于其中的任何电荷都有作用力 该作用力称为电场 性 力 电荷电场电荷相对于观察者静止的电荷所产生的电场 称为静电场 分布随时间变化或运动电荷激发的电场为交变电场 交变的电场可以激发交变的磁场 交变的磁场又可以激发交变的电场 交变电磁场可以在空间传播 传播速度为光速 交变电磁场甚至可以脱离电荷或电流而存在 2 电场强度试探电荷 尺寸很小 电量q0很少的电荷 实验表明 在空间的同一点 尽管电量q0不同的试探电荷所受的作用力不同 但比值却相同 该比值反映了电场在该点的特性 将其定义为该点处的电场强度 简称场强 是一矢量 用表示 单位为 伏特 米 V m 空间不同的点具有不同的电场强度 故电场强度是空间坐标的函数 即电量为q的电荷处于电场中所受的电场力为 3 场强的计算 1 点电荷的场强 2 场强叠加原理如果电场是由n个点电荷q1 q2 qn共同激发的 根据静电力叠加原理 两边除以q0得 按场强的定义 就是 上式表明 点电荷组在空间任一点所激发的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点各自激发的场强的矢量和 这就是场强叠加原理 3 点电荷组的场强点电荷组各个点电荷在场点P处单独激发的场强分别为 按场强叠加原理 点电荷组在场点P处激发的总场强为 两个等量异号 相距很近的点电荷所组成的点电荷组称为电偶极子 称为电偶极矩 利用场强叠加原理可计算出电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任一点的场强分别为 4 连续分布电荷的场强在电荷连续分布的情形下 电荷元dq激发的元场强为 根据场强叠加原理 可用积分代替求和计算出总场强 线分布 电荷线密度 总场强面分布 电荷面密度 总场强体分布 电荷体密度 总场强 例 均匀带电直线线外任一点处的场强 电荷线密度 电荷元 元场强 在x轴和y轴的分量 投影 由几何关系可知 又有于是 积分得 矢量表达式为 场强的大小为 与x轴的夹角为 若直线为无限长 则 于是可见 无限长均匀带电直线线外某点的场强 方向垂直于直线 大小反比于该点到直线的距离 例 均匀带电圆盘轴线上一点的场强 电荷元 元场强 和大小相等 方向相反 两两互相抵消 总场强只有x分量 而 所以矢量表达式为 1 对无限大均匀带电圆盘 即 有这表明 在无限大均匀带电平面一侧 各点场强大小相等 方向都与带电平面垂直 这种大小相等方向相同的电场称为均匀电场或匀强电场 另一侧也是匀强电场 但电场方向相反 2 若x R 利用泰勒级数展开并忽略高次项可得 于是 相当于一个在圆盘圆心处 集中了圆盘所有电荷的点电荷所产生的场强 这表明当所考虑的场点到带电体的距离远大于带电体本身的尺寸时 带电体可看作是一个点电荷 已知电荷分布计算场强的一般步骤 先任取电荷元dq 写出dq在待求点处场强的矢量式 再选取适当的坐标系 将这场强分别投影到坐标轴上 然后进行积分 最后写出总场强的矢量表达式 并算出总场强的大小和方向角 在计算过程中 注意利用电荷分布的对称性 4 电力线电力线上每一点的切线方向与该点处的场强的方向相同 电力线的密疏与场强的大小相对应 静电场电力线的性质 1 电力线起自正电荷 或来自无限远处 终止于负电荷 或伸向无限远处 不会在没有电荷的地方中断 2 电力线不能形成闭合曲线 3 任何两条电力线不会相交 8 3高斯定理1 电场强度通量在均匀电场中取一面积为S且与电力线垂直的平面 乘积称为通过该面积S的电场强度通量 简称电通量或E通量 如果平面的法线单位矢量与成角 则电通量为 电通量取值可正可负 对一般曲面 取一小面元dS 其法线单位矢量为 则将称为面元矢量 通过该面元的电通量为 通过整个曲面的电通量为 若曲面是闭合曲面 则通过整个闭合曲面的电通量为 对闭合曲面 面元矢量通常取外法向方向 即自内向外的方向为面元矢量的正方向 这样 电力线从曲面之内向外穿出处电通量为正 反之 电力线从外部穿入曲面处电通量为负 2 高斯定理在静电场中 通过任一闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和除以真空介电常数 与闭合曲面外的电荷无关 1 通过以点电荷q为球心的同心球面的电通量都等于q 0 点电荷在以其自身为球心的球面上产生的场强为 通过该闭合球面的电通量为 2 通过包围点电荷q的任意闭合曲面的电通量都等于q 0 在由点电荷产生的电场中 通过面元dS的电通量为 其中dS 为dS在半径为r的球面上的投影 或dS 为dS的边缘与q点的连线在半径为r的球面上截出的面元 d 称为dS或dS 对q点所张的立体角 同一面元dS在不同半径的球面上截出的面元对q点所张的立体角相等 即有故通过dS dS 和dS0的电通量都相等 通过包围点电荷q的整个闭合曲面的电通量为 3 通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量恒为零 当点电荷q位于闭合曲面S之外时 由于dS1和dS2对q点所张的立体角相等 故通过dS1和dS2的电通量大小相等 但符号相反 通过dS1的电通量为负 通过dS2的电通量为正 代数和为零 通过闭合曲面S的电通量是通过一对对类似dS1和dS2的面元的电通量之和 显然恒等于零 4 多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和 设n个点电荷单独存在时产生的场强分别为 按场强叠加原理 总场强为 这时 通过电场中任一闭合曲面S的电通量为 设第1个到第k个点电荷位于闭合曲面S内 第k 1个到第n个点电荷位于闭合曲面S外 则 当电荷连续分布时 当闭合曲面内的净电荷为正时 表示有电力线从 q处发出并穿出闭合曲面 当闭合曲面内的净电荷为负时 表示有电力线穿入闭合曲面并汇集到 q处 当闭合曲面内的净电荷为零时 表示从某处穿入闭合曲面的电力线又从另一处穿出闭合曲面 所以 电力线起于正电荷 止于负电荷 不会在没有电荷处中断 闭合曲面外的电荷虽然对通过闭合曲面的总电通量没有贡献 但对闭合曲面上的场强却有贡献 会影响闭合曲面上场强的分布和大小 在电荷分布具有某种对称性 因而电场分布也具有一定的对称性时 用高斯定理可方便地求出场强的分布 3 高斯定理的应用例 均匀带电球壳产生的电场 对称性分析 电场强度方向沿矢径方向 同一球面上各点的电场强度的大小相同 因此 取一半径为r的同心球面作为高斯面 按高斯定理 于是在球内 r R 可得可见 均匀带电球壳内场强处处为零 在球外 r R 可得或可见 均匀带电球壳外的场强与将球壳所带电量集中于球心的点电荷产生的场强一样 例 无限长均匀带电圆柱体壳产生的电场 对称性分析 与圆柱轴线距离相等的各点 场强的大小相等 方向垂直柱面呈辐射状 取一半径为r 高度为h的共轴圆柱面作为高斯面 则通过圆柱两底面的电通量为零 按高斯定理有 在圆柱内 rR 可得于是 8 4静电场的环路定理电势1 静电场的环路定理试探电荷q0在点电荷q产生的电场中移动元位移 电场力对q0所作的功为 试探电荷q0从A点移动到B点 电场力所作的总功为 上式表明 在静止点电荷q产生的电场中 电场力对试探电荷q0所作的功与路径无关 只与起点和终点位置有关 若试探电荷q0在点电荷组产生的电场中移动 则其所受电场力为 从A点移动到B点 电场力所作的总功为 也与路径无关 对电荷连续分布的情形 不难得出相同的结论 这就是说 试探电荷在任何静电场中移动时 电场力所做的功只与试探电荷的大小以及路径的起点和终点的位置有关 而与路径无关 即静电场力为保守力 静电场为保守力场 考察试探电荷在静电场中绕闭合路径L移动一周回到原位置的过程中电场力所作的功 由于 故有称为静电场的环路定理 如果静电场的电力线可以形成闭合曲线 则沿该电力线的线积分 这与静电场的环路定理矛盾 故静电场的电力线不可能形成闭合曲线 2 电势既然静电力为保守力 作功与路径无关 静电场为保守力场 就可以引进一电势能函数W 它是试探电荷q0的电量和位置 坐标 的函数 定义为 其中WA和WB分别是A点和B点的电势能 而AAB则是试探电荷q0从A点移动到B点的过程中静电场力对试探电荷所作的功 常将无穷远点的电势能选定为零 即 于是即静电场中任一点的电势能等于将试探电荷从该点移到无穷远处电场力所作的功 电势能与试探电荷的电量有关 不能直接描述电场中某给定点处电场的性质 有鉴于此 定义另一标量函数 它只是位置 坐标 的函数 称为A点的电势 电位 按照定义可以看出 静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷放在该点处的电势能 也等于单位正电荷从该点经任意路径移到无穷远处电场力所作的功 电势的单位为伏特 符号 V 可取正值或负值 静电场中任意两点A和B的电势差 电位差或电压 为 可利用电势差来计算试探电荷q0从A点移到B点的过程中静电力所作的功 3 电势的计算1 点电荷电场的电势点电荷的电场P点的电势略去下标 可写为2 点电荷组电场的电势 电势叠加原理 在点电荷组的静电场中 某点的电势等于各个点电荷单独存在时在该点激发的电势的代数和 3 连续分布电荷电场的电势 8 5等势面电场强度与电势梯度的关系1 等势面电势值相等的各点连起来所构成的曲面称为等势面 点电荷电场的等势面是以点电荷为中心的一系列同心球面 等势面与电力线处处正交 电力线的方向指向电势降低的方向 设试探电荷q0在等势面上由P点移动一元位移到Q点 电场力所作的元功为 另一方面 由于P点和Q点的电势相同 故于是 所以 几种带电体的电力线和等势面 实线表示电力线 而虚线表示等势面 2 电场强度与电势梯度的关系P1点处电势沿任一方向的空间变化率为 其中为电势沿法线方向的空间变化率 取值最大 定义P1点处的电势梯度矢量为 即电势梯度的方向就是电势空间变化率最大的方向 电势梯度的大小就等于沿法线方向的电势空间变化率 P1点处电场强度的方向与法线方向相反 当单位正电荷从电势为V的P1点沿法线方向 移动到电势为V dV的P2点时 电场力对单位正电荷作的功为 于是写为矢量形式即静电场各点的场强等于该点的电势梯度的负值 在直角坐标系中 类似地 于是即梯度在直角坐标系中可写成 8 6带电粒子在静电场中的运动设质量为m 电量为q的带电粒子在场强为的静电场中运动 根据牛顿第二定律 其运动方程 忽略重力 为 下面只考虑带电粒子在匀强电场中的运动 分两种情况 1 带电粒子的初速度与匀强电场场强同向 在恒力的作用下 带电粒子将沿方向作匀加速直线运动 加速度的大小为 它移动路程S后速度的大小可由下式计算 而ES是路程S的起点与终点的电势差V 于是 这表明 带电粒子在静电场中行经电势差为V的两点后 其动能的增量为qV 实际上 由于静电场作功与路径无关 故不管沿什么路径 只要带电粒子在静电场中行经电势差为V的两点 电场力对其所作的功都是qV 而根据能量守恒定律 电场力所作的功将转换为带电粒子动能的增量 所以 上述结论适用于任何静电场 当带电粒子的初速时 上式成为根据这个原理 可实现对带电粒子的加速 如阴极射线管 X射线管 高能粒子加速器等 电子枪中 电子经加速极后的速率如 则 则 电子伏特 一个电子通过电势差为1V的区间 电场力对它所作的功 2 带电粒子的初速度与匀强电场场强垂直 此时 加速度垂直于初速方向 带电粒子将作抛物线运动 经时间t后 带电粒子在y轴方向的位移分量为 在x轴方向的位移分量为 以上两式中消去t得带电粒子的轨迹方程 示波管的偏转原理电子经过偏转板的时间 在t1时间内 电子在y方向的位移y1为 t1时刻电子y方向的速度分量为 电子通过距离所需时间为 在此时间内 电子在y轴方向的位移为 于是 电子束在荧光屏上产生的光点的位移为 即光点的偏转位移正比于偏转板上所加的电压 第九章静电场中的导体和电介质 9 1静电场中的导体1 导体的静电平衡当一带电体系中的电荷静止不动 从而电场分布不随时间变化时 我们称该带电体系达到了静电平衡 导体达到静电平衡的必要条件是 导体内场强处处为零 推论 静电平衡时 1 导体是个等势体 导体表面是个等势面 2 导体表面的场强垂直于导体表面 2 静电平衡时导体上的电荷分布 1 导体内无净电荷 当带电导体静电平衡时 导体内部处处没有净电荷存在 电荷只能分布于导体的表面上 2 面电荷密度与场强成正比 静电平衡时 带电导体表面附进的场强与该表面的电荷面密度成正比 3 孤立带电导体上电荷分布的规律 形状不规则的孤立带电导体静电平衡时 电荷在外表面的分布是不均匀的 与导体表面的曲率有关 在导体表面曲率较大 如尖锐凸出处 的地方 电荷面密度较大 而在导体表面曲率较小 如平坦或凹陷处 的地方 电荷面密度较小 尖端放电 带电体尖端处 电荷面密度很大 表面附近场强很强 使尖端表面附近的空气被电离击穿而产生放电现象 尖端放电的例子 避雷针 高压输电的电晕 9 2空腔导体内外的静电场1 空腔导体内外的静电场 1 如果空腔内没有其他带电体 则导体内以及空腔内表面上处处没有净电荷存在 电荷只分布于导体的外表面上 导体内和空腔内的场强处处为零 反证法 设空腔内表面上一部分带正电 另一部分带等量负电荷 则空腔内必定有电力线从正电荷出发终止于负电荷 取一闭合回路L L的一段沿电力线穿过空腔 另一段经导体内部返回起始点 即由于 而 所以 与静电场环路定理矛盾 既然空腔内表面没有电荷 则空腔内表面附近的电场为零 电力线既不能起 止于空腔的内表面 又不可能在空腔内有端点或形 成闭合曲线 故空腔内不可能有电力线和电场 范德格拉夫起电机原理 空腔导体内表面没有电荷用途 高压发生器带电粒子加速器当空腔导体处在外电场中时 空腔导体外的带电体 只会影响空腔导体外表面的电荷分布并改变空腔导体外的电场分布 而这些电荷重新分布的结果总是使导体内部和空腔内的总场强维持等于零 2 当空腔内有带电体时 空腔内表面上将出现与空腔内带电体等值异号的电荷 空腔内的电场由空腔内的带电体和空腔内表面上的电荷完全决定 与空腔导体外的带电体和空腔导体外表面的电荷分布无关 当空腔内的带电体处于不同位置时 空腔内表面的电荷分布也随之改变从而改变了空腔内的电场分布 但绝不会改变空腔导体外表面的电荷分布 因而也就绝不会改变空腔导体外电场的分布 空腔导体外表面的电荷将在空腔导体外产生电场 如果将空腔导体接地 则外表面的电荷被中和为零 此时 空腔内有带电体的空腔导体在导体外产生的电场为零 或者说 接地空腔导体空腔内的带电体不会影响空腔导体外的电场 2 静电屏蔽综上所述 在静电平衡状态下 空腔导体外面的带电体不会影 响空腔内部的电场分布 而接地的空腔导体 其空腔内的带电体也不会影响空腔导体外的电场分布 这种使导体空腔内的电场不受外界的影响或利用接地的空腔导体将腔内带电体对外界的影响隔绝的方法 称为静电屏蔽 静电屏蔽的应用 精密测量仪器的屏蔽 产生高压或脉冲设备的屏蔽 微弱信号传输线的屏蔽等 9 3电容器的电容1 孤立导体的电容理论和实验表明 对于具有一定大小和形状的孤立导体 其上所带的电量q与导体的电势V之比为一常数 称为孤立导体的电容 用C表示 单位为法拉 F 也常用微法 F 以及微微法 pF 2 电容器及其电容在空腔导体B的空腔内放一导体A 由此所组成的一对导体系称为电容器 导体A和导体B称为电容器的极板 让导体A带电q 则静电平衡时 导体B的内表面带电 q 设导体A的电势为VA 导体B的的电势为VB 由于空腔内的电场不受空腔外带电体的影响 故电势差不受其他带电体的影响 定义为电容器的电容 其值取决于两极板的大小 形状 相对位置及极板间介质的电容率 介电常数 几种常见的电容器 1 平行板电容器 其中S为平行板电容器极板的面积 d为两极板内表面的距离 2 圆柱形电容器设内外柱面的半径分别为RA和RB 两柱面分别带电 q 则两柱面间场强 两柱面间的电势差 于是 其中为圆柱形电容器的长度 单位长度的电容为 3 球形电容器由半径分别为RA和RB的两个同心金属球组成的球形电容器的电容为 令 可得孤立导体球的电容为 4 电介质电容器设电容器两极板间充满均匀电介质时的电容为C 两极板间为真空时的电容为C0 比值称为介质的相对电容率 相对介电常数 称为介质的电容率 介电常数 按填充的介质分类 有空气电容器 纸介电容器 云母电容器 陶瓷电容器 涤纶电容器 碳酸钡电容器和电解电容器等 除电容量外 电容器的另一重要参数是耐压 3 电容器的串联和并联 1 电容器的串联各个电容器两个极板所带的电量q相同 电势差分别为 于是可得 2 电容器的并联各个电容器两个极板间的电势差相同 电量分别为 于是可得 9 4电介质及其极化1 有极分子和无极分子按原子模型 原子由带正电的原子核以及核外的电子组成 原子的正电荷和负电荷中心重合在一起 故所有原子的电偶极矩均为零 当原子结合成分子后 分子中正电荷和负电荷的中心有可能不再重合 这一类的分子称为有极分子 如HCl H2O NH3等 设有极分子的正电荷中心和负电荷中心之间的距离为re 分子中全部正电荷或负电荷的总电荷量为q 则一个分子的等效电偶极矩为 由于分子的无规则热运动 各分子的电偶极矩方向是杂乱无章的 各分子的电偶极矩的矢量和为零 故宏观上电介质呈电中性 如果原子结合成 分子后 分子中正电荷和负电荷的中心仍然重合 则称为无极分子 如He N2 CH4等 显然 无论是微观上还是宏观上 无极分子的电偶极矩都为零 2 电介质的极化当无极分子电介质处在外电场中时 在电场力作用下分子中的正 负电荷中心将发生相对位移 形成一个沿电场方向的电偶极子 此时 在电介质的两个与外电场方向相垂直的表层 将分别出现正电荷和负电荷 这些电荷不能在电介质中自由移动 也不能离开电介质 故称为极化 束缚 电荷 在外电场作用下 在电介质中出现极化电荷的现象 称为电介质的极化 无极分子电介质在外电场的作 用下 其正 负电荷中心产生了相对位移而出现极化 这种极化称为位移极化 当有极分子电介质处在外电场中时 原来取向各异的各个分子电偶极子在外电场力矩的作用下 将转向外电场的方向 这样 大量分子电偶极矩的统计平均便在沿外电场方向出现一附加的电偶极矩 宏观上 则在电介质与外电场垂直的两表面上出现极化电荷 有极分子在外电场的作用下 其等效电偶极子转向外电场的方向而出现极化 这种极化称为取向极化 3 电极化强度为定量描述电介质内各点极化的强弱程度 定义 电介质内某点处单位体积内分子电偶极矩的矢量和为该点的电极化强度矢量 用表示 即 其单位为 C m2 显然 无极化时 越大 表示极化越强 若电介质内各点的电极化强度大小和方向都相同 则称为均匀极化 实验证明 对各向同性的电介质 有其中称为介质的电极化率 可以证明 各向同性均匀电介质 相同 的内部没有极化电荷 极化电荷只存在于电介质的表面 表面处 极化电荷面密度与电极化强度的关系为 9 5电介质中的静电场当介质处于由自由电荷激发的外电场中时 介质中便会出现极化电荷 极化电荷将激发一附加电场 而空间任一点的总场强就等于自由电荷激发的场强与极化电荷激发的场强的矢量叠加 在电介质外部 与原来的外电场相比 叠加后的合场强在有些地方增强了 在另一些地方却减弱了 而在电介质内部 由于极化电荷产生的电场与自由电荷产生的电场的方向总是相反的 故叠加后的合场强总是弱于原来的外电场 例 夹有电介质的平行板电容器介质内的合场强为 即于是 减为无介质时的 两极板间的电势差为 充满介质后的电容为 增大为无介质时的倍 由此可得介质的相对电容率 及电容率 由可得介质表面的极化电荷面密度为 9 6有电介质时的高斯定理电位移矢量1 有电介质时的高斯定理电位移矢量有电介质存在时 高斯定理可写成其中q0为高斯面内的自由电荷 而q 为高斯面内的极化电荷 以充满均匀电介质的平行板电容器为例 设平行板电容器的两极板所带自由电荷的面密度分别为 电介质极化后 在靠近电容器两极板的电介质的两表面分别产生极化电荷面密度为 作如图所示以S1和S2为上下底面的圆柱形高斯面 则考虑到代入上式可得 注意到 移项 方程两边同乘以 可得可定义电位移矢量 单位与相同 为C m2 则上式称为有电介质时的高斯定理 可表述为 通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷量的代数和 2 和三矢量之间的关系在各向同性介质中 于是 所以 如果电位移矢量具有某种对称性 则可以利用有介质时的高斯定理先求出电位移D 再用以上关系式求出电场强度E和极化强度P 9 8电荷间的相互作用能静电场的能量电荷间存在相互作用的电场力 当电荷之间的相对位置变化时 电场力要作功 而作功与变化的路径无关 这表示电荷间存在由它们的相对位置决定的相互作用能 即电势能 在静电场的建立过程中 伴随着电荷的迁移 外力必须克服电场力作功 按能量守恒定律 外力所作的功转化为静电场的能量 当电荷之间的相对位置变化时 由这些电荷激发的静电场也发生相应的变化 可以认为电荷间的相互作用能寓于由他们激发的静电场中 即电荷间相互作用能的变化等同于静电场能量的变化 1 点电荷间的相互作用能如图所示 按能量守恒定律 位于A B处的两个点电荷q1和q2之间的相互作用能W应等于两者由相隔无穷远移动到该位置的过程中外力克服电场力所作的功A 即 设先把q1移到A点 在此过程中 外力作功为零 然后再把q2移到B点 此过程中外力克服电场力所作的功为其中分别为q1在无穷远处和B处产生的电势 同理 如果先把q2移到B点 再把q1移到A点 同样可求出外力克服电场力所作的功为 由此可见 在电荷系统的形成过程中 外力所作的功与移动电荷的先后次序无关 于是 同理 可求出n个点电荷所组成的系统的相互作用能为 其中是除第i个点电荷外的所有其他点电荷在第i个点电荷所在处激发的电势 2 电荷连续分布时的静电能当电荷连续分布时 设想把许多电荷元dq从无穷远处移到其现在的位置 故只要将求和改为积分就可求出他们的静电能 体分布 dq dV 面分布 dq dS 线分布 dq dl 为电荷元所在处的电势 例 电容器的静电能设在某个时刻 电容器的两个极板已带电 两极板间的电势差为 此时 将电荷元dq从B极板移到A极板 外力 充电电源 所作的元功为 当电容器从充电到电荷量为时 外力所作的总功为 电容器的静电能应等于这个功 或将电容器看成连续的面电荷分布 则 2 静电场的能量在建立静电场的过程中 外力所作的功转化为静电场的能量 它分布在电场所占据的整个空间之中 以平行板电容器为例 设电容器极板的面积为S 两极板间的距离为d 当电容器上的电荷量为Q时 极板间的电势差为VAB Ed 注意到C S d 得由此可见 静电能可以用场强E来表示 而且和电场所占的体积V成正比 这表明电能定域在电场中 静电场的能量密度为 可以证明 上式是一个普遍适用的公式 任意带电系统所激发的电场中所储存的总能量为 9 9铁电体压电体永电体1 铁电体某些电介质 如钛酸钡陶瓷BaTiO3 的电容率并不是常数 而是随场强变化的 并且在撤去外电场后 还会留有剩余的极化 这种电介质称为铁电体 铁电体在电极化过程中显示出电滞回线 铁电体的相对电容率很大 最大可达到数千以上 故常用于制作电容器 在体积相当的情况下 铁电体电容器的电容量比使用其他介质电容器的电容量要大得多 还可利用电容率与电压的非线性关系制作非线性电容器 应用于振荡电路或倍频器中 2 压电体某些电介质 如石英晶体等 当发生机械形变 如伸长或压缩 时 会产生电极化现象 称为压电效应 压电效应的逆效应 即给电介质施加电场时 电介质会随之伸长或缩短的现象称为电致伸缩或逆压电效应 应用 石英晶体振荡器 石英晶体滤波器 声表面波滤波器 陶瓷蜂鸣器 超声波发生器 光相位调制 压力传感器 唱头 点火器 3 永电体某些电介质在经过初始极化后 能够长期保持高强度的极化状态 不再受外加电场的影响 这种电介质称为永电体 或驻极体 初始极化的方法有 热驻极法 电驻极法 光和磁驻极法等 应用 如振动传感器 驻极体麦克风等 第十章恒定电流和恒定电场 10 1电流和电流密度电流连续性方程1 电流和电流密度电荷的定向运动形成电流 产生电流的两个条件 1 存在可以自由移动的电荷 自由电荷 2 存在电场 在金属导体中 自由电荷为自由电子 习惯上 把正电荷的运动方向规定为电流的方向 在导体中 电流的方向总是沿着电场方向 从高电位处指向低电位处 电流的强弱用电流强度来描述 单位时间内通过导体任一横截面的电量 称为电流强度 用I表示 电流强度的单位为安培 A 电流强度只能描述导体中通过某一截面电流的整体特征 并不 能说明电流在截面上各点的分布情况 在许多实际情况下 导体不同部分的电流的大小和方向都不一样 形成一定的电流分布 为描述电流在空间的分布情况 引进电流密度矢量 其方向和该点的电流方向一致 大小等于通过该点垂直于电流方向的单位横截面的电流 其单位为 安培 平方米 A m2 导体中各点的有不同的量值和方向 这样在导体中形成了一个矢量场 称为电流场 与用电力线描绘电场的分布类似 可以用电流线来形象地描绘电流场 电流线上每一点的切线方向就是该点电流密度矢量的方向 电流线的密疏表示该处电流密度的大小 在导体中取一面元 其法线的单位矢量为 与该点电流密度矢量的夹角为 则该面元投影到垂直于方向的横截面内的面积为 流过该面元的元电流为 流过任意截面S的总电流为 2 电流连续性方程在导体内任取一闭合曲面S 则从该闭合曲面流出的电流为 它表示在单位时间内通过闭合曲面向外净流出的电荷量 按电荷守恒定律 应等于闭合曲面内单位时间电荷量的减少 即以上方程称为电流连续性方程 是电荷守恒定律的数学表述 其物理含义是 如果流进闭合曲面的电荷量多于流出闭合曲面的电荷量 则闭合曲面内的电荷量将增加 反之 如果流进闭合曲面的电荷量少于流出闭合曲面的电荷量 则闭合曲面内的电荷量将减少 10 2恒定电流和恒定电场电动势1 恒定电流和恒定电场如果导体内各点电流密度的大小和方向都不随时间改变 则称为恒定电流 要在导体内维持恒定电流 就必须在导体内建立一个不随时间变化的恒定电场 这就要求激发电场的电荷分布不随时间变化 空间各点都必须满足 即 上式称为电流恒定条件 它表明 电流分布恒定时 在导体内从任一闭合曲面流入的电荷量等于流出的电荷量 恒定电流的电流线不可能在任何地方中断 是既无起点又无终点的闭合曲线 推论 在一段没有分支的直流电路中 通过各截面的电流强度全部相等 2 导体内恒定电流的建立电源的电动势仅靠静电力不可能在导体内维持恒定电流 因为在静电力的作用下 正电荷只能从高电位处移到低电位处 而不能从低电位处移到高电位处 故无法形成闭合的电流线 因此 要维持恒定电流 必须有非静电力克服静电力做功 将正电荷源源不断地从低电位处移到高电位处 从而构成循环 提供非静电力的装置称为电源 如化学电池 发电机 太阳能电池 热电偶等 每个电源都有两个电极 电位高的电极称为正极 电位低的电极称为负极 通常把电源内部正负极间的电路称为内电路 而把电源外部正负极间的电路称为外电路 当内外电路连接成闭合回路时 正电荷由正极流出经外电路流入负极 再经内电路又流回正极构成循环 从能量转换的角度看 当正电荷由负极经内电路移到正极的过程中 电源消耗了其他形式的能量 克服静电力对正电荷作了功 所作的功转化成为正电荷的电势能 电源把单位正电荷从电源负极经电源内部移到正极所作的功定义为电源的电动势 电动势的单位与电势一样 为伏特 V 一个电源电动势的大小只取决于电源本身 而与外电路无关 如果用表示单位正电荷所受到的非静电力 并将其称为 非静电性场的场强 则电动势也可写为 更一般的公式为 10 3欧姆定律焦耳 楞次定律1 欧姆定律设电子的平均漂移速度为 在导体内作一轴线平行于 底面积为dS 长为的圆柱体 设该点单位体积内的电子数为n 则圆柱体内电子的电荷量为 在dt时间内 该圆柱体内的电子将全部穿过截面dS 故流过截面dS的电流为 该点的电流密度为 写为矢量形式 可以证明 参见P 187 188 在导体内有 于是即上式称为欧姆定律的微分形式 它表明导体内各点的电流密度与该点的电场强度方向相同 大小成正比 比例常数称为电导率 单位为 西门子 米 S m 考虑一段长为 横截面积为S的均匀细长载流导线 其两端的电势差为 即其中称为此段导线的电阻 这就是著名的欧姆定律 也称为欧姆定律的积分形式 电阻的倒数1 R G称为电导 电导率的倒数1 称为电阻率 电阻的单位为 欧姆 电导的单位 为 西门子 S 而电阻率的单位为 欧姆米 2 焦耳 楞次定律实验表明 电流通过导体时会放出热量 称为焦耳热 这可解释为 电子受电场力的作用而加速 其动能增加 这部分能量在电子与晶格碰撞时传给了晶格 使晶格的热运动加剧而温度升高 于是晶格就释放出焦耳热 电场力对一个电子作功的功率为 对单位体积内n个电子作功的功率 功率密度 为 即上式称为焦耳 楞次定律的微分形式 它表明 导体内任一点的热功率密度正比于该点场强的平方 也正比于电导率 将上述结果应用于前述载流细长导线 电流作功的功率为 即在时间t内 电流作的功或产生的热量为 这就是焦耳 楞次定律 或称焦耳 楞次定律的积分形式 功率的单位为 瓦特 W 而功或热量的单位为 焦耳 J 10 4一段含源电路的欧姆定律基尔霍夫定律1 一段含源电路的欧姆定律电荷在通过电源的内部 内电路 时 将受到静电力和非静电力的共同作用 因此 在电源内部 欧姆定律的微分形式应推广为 或 取从正极经电源内部到负极的积分路径 有 其中是电源的内电阻 VAC称为电源的端电压 电流从负极经电源内部流向正极 称为放电 电流从正极经电源内部流向负极 称为充电 故上式可写为 可见 处在放电状态时 电源的端电压小于电源的电动势 而处在充电状态时 电源的端电压大于电源的电动势 当外电路断开 I 0 或电源内阻可忽略 Ri 0 时 电源的端电压等于电源的电动势 一个实际的电源 可等效为一个内阻为零 电动势为 的理想电压源与一个阻值为Ri的电阻的串联 对一段含有电源的电路 显然有称为一段含源电路的欧姆定律 在一段含有电源的电路中 如果把A端和B端接在一起 则电阻R和电源连接成一闭合电路 此时 于是R Ri为闭合电路的总电阻 上式表明 闭合电路中的电流等于电源的电动势与总电阻之比 称为闭合电路的欧姆定律 在复杂电路中 电源和电阻串联而成的通路称为支路 三条或三条以上支路的连接点称为节点 可以写出不同支路上AB两点间的电位差为 其中Vi是各元件上的电位差 2 基尔霍夫定律 1 基尔霍夫第一定律作一闭合曲面S包围电路的节点 根据恒定电流条件有取流入节点的电流为负 流出节点的电流为正 则上式可写为 这就是基尔霍夫第一定律 节点电流定律 在任一节点处 流入节点的 电流和流出节点电流的代数和等于零 2 基尔霍夫第二定律任一闭合回路 都可看成是各支路的首尾相接 即前述一段复杂含源电路的A点和B点相接在一起 这样一来VAB VA VB 0 于是这就是基尔霍夫第二定律 回路电压定律 沿任一闭合回路绕行一周 电位差的代数和等于零 第十一章真空中的恒定磁场11 1磁感应强度磁场的高斯定理1 基本磁现象约在公元前600年 人类发现了磁石吸铁的现象 每个磁铁都有两个磁极 南极 S极 和北极 N极 同号磁极之间互相排斥 异号磁极之间互相吸引 磁力的大小与两磁极间距离的平方成反比 十一世纪时用于制作指南针 十九世纪发现电和磁之间的联系 安培提出分子电流假说 电流或运动的电荷会产生磁场 磁场对电流或运动的电荷存在作用力 磁场由磁感应强度矢量或磁场强度矢量描述 磁感应强度矢量或磁场强度矢量不随时间改变的磁场称为恒定磁场 恒定的电流产生恒定的磁场 2 磁感应强度电流 运动电荷 的周围存在磁场 引进磁感应强度矢量来定量描述磁场的分布 其大小为 其中Fm为运动试探电荷所受的最大磁力 q为运动试探电荷的电量 而v为运动试探电荷的速率 当运动试探电荷沿某特定方向 或其反方向 运动时 磁力为零 该特定方向中满足如图所示右手螺旋法则的方向就是该点磁感应强度矢量的方向 磁感应强度的单位是 特斯拉 T 也常用高斯 Gs 1T 104Gs地球磁场的数量大约为10 4T 大型电磁铁的磁场可达2T 而某些原子核附近的磁场可高达104T 3 磁场的高斯定理与电力线类似 可定义磁感应线来描绘磁场的分布 磁感应线上任一点的切线方向与该点处的磁场方向一致 磁感应线的密疏正比于该处磁感应强度的大小 实验表明 磁感应线为闭合曲线 磁感应线的环绕方向与电流的方向遵从右手螺旋法则 在磁场中取一曲面S 称为通过该曲面的磁通量 磁通量的单位为 韦伯 Wb 若S为闭合曲面 由于磁感应线为闭合曲线 故有上式称为磁场的高斯定理 可表述为 穿过任意闭合曲面的磁通量等于零 它表明磁场是一个无源场和有旋场 11 2毕奥 萨伐尔定律及其应用1 毕奥 萨伐尔定律将任意形状的线电流分割成无穷多小段电流的集合 各小段电流称为电流元 用矢量表示 电流元在距离为r的场点P处激发的磁感应强度为 上式称为毕奥 萨伐尔定律 其中 称为真空磁导率 任意形状的线电流在P处所激发的总磁感应强度等于各段电流元在P处激发的磁感应强度的矢量叠加 2 毕奥 萨伐尔定律的应用例1 载流长直导线的磁场 已知直导线通有电流I 场点P到直导线的距离为d 到直导线两个端点的连线与P点到直导线的垂线的夹角分别为和 根据毕奥 萨伐尔定律 电流元Idl在P处产生的磁感应强度为 其方向垂直于屏幕向内 直导线上各电流元在P处产生的磁感应强度方向相同 也是垂直于屏幕向内 故P处磁感应强度的大小由用标量积分求得 由几何关系可知 代入上式得对无限长直导线 例2 载流圆线圈轴线上的磁场 半径为R的圆线圈载有电流I P点到圆心的距离为 任一电流元在P点产生的磁场可分解为和两个分量 由于对称性 互相抵销 故由几何关系知 于是其中为线圈的面积 在圆心O处 可得 在远离线圈处 轴线上的磁场近似为引入称为载流线圈的磁矩 则若线圈有N匝 则其磁矩为 例3 载流直螺线管内部的磁场 单位长度有n匝 半径为R的螺线管载有电流I 螺线管内轴线上某点的磁场可看成很多载流圆线圈在该点产生的磁场的叠加 结果为 对无限长螺线管 于是可以证明 载流无限长螺线管内部的磁场是均匀的 外部的磁场为零 11 4安培环路定理由于磁感应线为闭合曲线 故磁感应强度沿任一闭合路径L的积分 环流 将不等于零 安培环路定理 磁感应强度矢量沿任何闭合环路的线积分 等于穿过这闭合环路的所有电流的代数和乘以真空磁导率 即上式中 当积分的绕行方向与电流流向满足右手螺旋法则时 电流取正 反之电流取负 如图所示 I1取正 而I2取负 以下用长直载流导线的磁场为特例进行证明 1 环路包围电流a 环路在垂直于直导线的平面内b 环路不在垂直于直导线的平面内可将环路上每一线元分解为在垂直于直导线平面内的分矢量和垂直于此平面 平行于直导线 的分矢量 于是 2 环路不包围电流从O点作环路的两条切线OP与OQ 切点P和Q把环路分割为L1和L2两部分 此时3 环路包围多个电流按磁场叠加原理 于是当电流分布具有某种对称性时 利用安培环路定理计算磁场较为简单 例 载流螺绕环内的磁场磁场几乎全部集中在螺绕环内 环外磁场接近于零 由于对称性 环内的磁感应线都是一些同心圆 同一条磁感应线上各点磁感应强度大小相等 方向处处沿圆的切线方向 并与环面平行 选择过P点的磁感应线为安培环路 则按照安培环路定理于是其中N是螺绕环的总匝数 当螺绕环的截面积很小 时 管内各点磁场大小相等 可取圆环平均长度 则环内各点的磁感应强度大小为与无限长载流直螺线管内部的磁场相同 11 6带电粒子在磁场中所受作用力及其运动1 洛伦兹力实验表明 当电量为q的带电粒子以速度在磁场中运动时 其所受的磁力为称为洛伦兹力 洛伦兹力的大小为 可见 当带电粒子沿磁场方向运动时 所受磁力为零 当带电粒子的运动方向与磁场方向垂直时 所受磁力最大 洛伦兹力的方向总垂直于带电粒子的运动方向 故洛伦兹力对运动带电粒子所作的功恒为零 故不会改变带电粒子的速率 只会使带电粒子的运动方向发生偏转 2 带电粒子在磁场中的运动a 带电粒子在均匀磁场中的运动1 若带电粒子的初速度平行于 带电粒子受力为零 保持匀速直线运动 2 若带电粒子的初速度垂直于 所受的洛伦兹力起着向心力的作用 带电粒子将作匀速圆周运动 其运动的圆形轨道的半径为 运动一周所需的时间 周期 为 该运动特性可应用于磁偏转 3 若带电粒子的初速度与斜交角 则带电粒子的运动轨迹为一螺旋线 螺旋线的半径为 螺距为 该运动特性可应用于磁聚焦 测量带电粒子的荷质比 b 带电粒子在非均匀磁场中的运动带电粒子作螺旋线运动 但螺旋的半径随着B的增大而不断的减小 沿螺旋轴线方向的速率也在减小 该原理可应用于等离子体的磁约束装置 电子显微镜中的电子透镜等 3 带电粒子在电场和磁场中的运动及应用如果带电粒子所处的空间同时存在电场和磁场 则带电粒子将同时受库仑力和洛伦兹力的作用 根据牛顿第二定律 带电粒子的运动方程为 可应用于磁聚焦 荷质比测定 回旋加速器 质谱仪等 4 霍尔效应把一载流导体薄板放在磁场中 并使薄板平面垂直于磁场方向 此时在薄板的上下两侧面之间会出现微弱电势差 这一现象称为霍尔效应 该电势差称为霍尔电势差 霍尔电势差的大小为霍尔效应可解释为导体中的载流子在洛伦兹力作用下发生横向漂移的结果 经微观分析可得利用霍尔效应可以测量磁感应强度 导体材料中载流子的浓度 还可判定载流子的正负 如用于p型或n型半导体材料的判定和空穴或电子浓度的测定 11 8磁场对载流导线的作用1 安培定律放置在磁场中的载流导线会受到磁力的作用 常把该磁力称为安培力 安培力是作用在各个自由电子上洛伦兹力的宏观表现 每个自由电子所受的洛伦兹力为 长为dl的一小段导线中的自由电子数目为 该小段导线中全部电子所受的洛伦兹合力为 电子所受的洛伦兹合力通过碰撞传递给了该小段导线 所以 电流元处在磁感应强度为的磁场中所受的安培力为上式称为安培定律 一段任意形状的载流导线所受的安培力等于作用在它各段电流元上安培力的矢量和 即例 均匀磁场中一段长直载流导线所受的安培力 设直导线长 置于磁感应强度为的均匀磁场中 导线与的夹角为 在这种情况下 作用在各电流元上的安培力的方向都相同 均沿z轴正方向 故 2 磁场对载流线圈的作用考虑一边长分别为和的长方形平面载流线圈放置在磁感应强度为的磁场中 线圈平面与磁场方向的夹角为 对边AB CD与磁场垂直 根据安培定律 导线BC和AD所受的磁力分别为和这两个力大小相等 方向相反 作用在同一直线上 故相互抵销 导线AB和CD所受的磁力分别为和它们大小相等 方向相反 但不是作用在同一直线上 对线圈产生了力矩的作用 该力矩的大小为 设线圈法线方向与磁场方向的夹角为 则如果线圈有N匝 则可写成矢量式 事实上 上式对于在匀强磁场中的任意形状平面载流线圈均成立 当 即线圈平面与磁场方向平行时 线圈所受的磁力矩最大 当 即线圈平面与磁场方向垂直时 线圈所受的磁力矩为零 是线圈的稳定平衡位置 而当 虽然线圈所受的磁力矩也为零 但该位置是线圈的非稳定平衡位置 在均匀磁场中的平面载流线圈只发生转动 而不会发生平动 上述原理可应用于电动机 动圈式电表和电流计 在非均匀磁场中的平面载流线圈既会发生转动 也会发生平动 11 10磁力的功当处在磁场中的载流导线或载流线圈受磁力或磁力矩作用改变位置或方位时 磁力就做了功 1 载流导线在磁场中运动时磁力所做的功导线AB所受磁力为 导线从AB位置移到位置的过程中 磁力所做的功为 当导线在初始位置AB和终了位置时 通过回路的磁通量分别为 磁通量的增量为 所以 磁力所做的功为 2 载流线圈在磁场中转动时磁力所做的功当载流线圈转过时 磁力矩所作的功为 在载流线圈从转到的过程中时 磁力矩所作的功为 第十二章磁介质中的磁场 12 1磁介质顺磁质和抗磁质的磁化1 磁介质将某些物质置于磁场中 如果这些物质与磁场发生相互作用 结果产生了一附加的磁场 则称这些物质为磁介质 这个过程称为磁化 这时 空间任一点的磁感应强度等于和的矢量和 即磁化后介质内的磁介质称为顺磁质 如锰 铬 铂 氮等 磁化后介质内的磁介质称为抗磁质 如铜 金 硫 氯等 磁化后介质内的磁介质称为铁磁质 如铁 镍 铁氧体等 2 分子电流和分子磁矩分子或原子中电子的绕核运动和自旋运动可分别等效为轨道电流和自旋电流 合称分子电流 轨道电流和自旋电流所对应的磁矩分别称为轨道磁矩和自旋磁矩 合称分子磁矩 用表示 分子或原子中的电子绕核高速旋转具有角动量 其方向与轨道磁矩的方向相反 在外磁场中 电子因存在轨道磁矩而受到磁力矩的作用 结果使电子的角动量产生了以外磁场方向为轴线的进动 进动的方向与的方向遵从右手螺旋法则 进动的结果相当于产生了一个总与方向相反的附加磁矩 2 抗磁质的磁化在抗磁质中 每个分子或原子中电子的轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和 固有磁矩 等于零 但电子轨道运动角动量的进动产生了一个与外磁场方向相反的附加磁矩 故宏观上表现为抗磁性 3 顺磁质的磁化在顺磁质中 每个分子或原子的固有磁矩不为零 无外磁场时 由于分子无规则的热运动 各个分子或原子固有磁矩的指向杂乱无章 所有分子或原子固有磁矩的矢量和为零 故宏观上并不显示出 磁性 加上外磁场后 每个分子或原子的固有磁矩在力矩的作用下向外场方向转动一定的角度 宏观上便表现为顺磁性 实际上 任何磁介质都具有抗磁性 但在顺磁质内 通常抗磁性比顺磁性弱得多 可以忽略掉 12 2磁化强度磁化电流1 磁化强度为表征磁介质磁化的程度 定义单位体积内分子磁矩的矢量和为磁化强度矢量 其单位为 安培 米 A m 对顺磁质 可以忽略 对抗磁质 没有磁介质的地方 2 磁化电流磁化了的磁介质所激发的附加磁场可看成是磁化了的磁介质内出现