高考数学总复习测评课件7.ppt

第六单元平面向量与复数 知识体系 第四节数系的扩充与复数的引入 基础梳理 1 复数的概念及分类 1 概念 形如a bi a b r 的数叫复数 其中a b分别为它的和 实数 若a bi为实数 则 2 分类 虚数 若a bi为虚数 则 纯虚数 若a bi为纯虚数 则 3 相等复数 a bi c dia c b d a b c d r 实部 虚部 b 0 b 0 a 0 b 0 2 复数的加 减 乘 除运算法则设则 1 加法 a bi c di a c b d i 2 减法 z1 z2 a bi c di 3 乘法 z1 z2 a bi c di 4 乘方 zm zn zm n zm n zmn z1 z2 n zn1 zn2 a c b d i ac bd bc ad i 5 除法 3 复平面的概念建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 叫做实轴 叫做虚轴 实轴上的点都表示 除原点外 虚轴上的点都表示 复数集c和复平面内组成的集合是一一对应的 复数集c与复平面内所有以为起点的向量组成的集合也是一一对应的 x轴 y轴 实数 纯虚数 有序实数对 a b 原点 4 共轭复数把相等 的两个复数叫做互为共轭复数 复数z a bi a b r 的共轭复数记作 实部 虚部互为相反数 4 共轭复数把实部相等 虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数 复数z a bi a b r 的共轭复数记作 即 a bi a b r 5 复数的模向量oz的模叫做复数z a bi a b r 的模 或绝对值 记作 z 或 a bi 即6 复平面内两点间距离公式两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 设复数z1 z2在复平面内的对应点分别为z1 z2 d为点z1和z2的距离 则d z2z1 典例分析 题型一复数的概念 例1 已知复数z m2 1 i m 3 i 6i 则当m为何实数时 复数z是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 5 对应点在第三象限 分析复数z a bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值 解z m2 3m m2 m 6 i m m 3 m 2 m 3 i 1 当m 2或m 3时 z为实数 2 当m 2且m 3时 z为虚数 3 当m 0时 z为纯虚数 4 当m 3时 z 0 当m 0 3 时 z对应的点在第三象限 学后反思利用复数的有关概念求解 使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法 也是化归思想的重要表现 举一反三1 已知复数 试添加a b的条件 使之满足下列要求 1 使复数z为纯叙述的充要条件 2 使复数z为纯虚数的一个充分必不要条件 解析 1 由已知得 所以 z为纯虚数的充要条件是a b 且a o 2 由 1 得 条件a b o和a b 0都可以作为z为纯虚数的充分不必要条件 题型二复数代数形式的运算 例2 计算 分析 熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和等运算结果 能使运算更加便捷 解原式 学后反思在进行复数代数形式的运算时 要注意形式上的特点 寻找更简便的方法 举一反三2 求7 24i的平方根 解析 设平方根为x yi x y r 则故7 24i的平方根为4 3i或 4 3i 题型三复数集上的代数方程 例3 14分 已知1 i是方程x2 bx c 0的一个根 b c r 1 求b c的值 2 试证明1 i也是方程的根 分析把方程的根代入方程 用复数相等的充要条件求解 解 1 因为1 i是方程x2 bx c 0的根 1 i 2 b 1 i c 0 即 b c 2 b i 0 2 所以b c的值分别为b 2 c 2 6 2 证明 因为方程x2 2x 2 0 把1 i代入方程左边 得x2 2x 2 1 i 2 2 1 i 2 0即方程成立 1 i也是方程的根 学后反思 1 对于实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 当b2 4ac 0时 在复数集上有两个共轭虚根 根与系数的关系在复数集上仍成立 2 对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解 举一反三3 已知关于x的方程x2 2 i x a 3i 0有一实根 且a为实数 求a的值及方程的这个实根 解析设实根为x0 则x20 2 i x0 a 3i 0 整理得x20 2x0 a 3 x0 i 0 解得 故a 3 方程的实根为3 易错警示 例 m取何实数值时 复数 1 是实数 2 是虚数 3 是纯虚数 错解 1 当时 即m 2或m 5时 z是实数 2 当时 即m 5且m 2时 z是虚数 3 当即时 z是纯虚数 错解分析本题出错的原因是漏掉了m2 25在分母上这一条件 m 5在整个问题的解决中是个易错之处 应引起注意 正解 1 当即m 2 当m 2时 z是实数 2 当 当m 5且m 2时 z是虚数 3 当即时 z是纯虚数 考点演练 10 若z 1 i 2 则z的虚部是 解析 由 答案 1 11 已知复数在复平面内对应的点在第三象限 求实数x的取值