第八章 散射.ppt

第八章散射 8 1散射现象的一般描述8 2分波法8 3玻恩近似 微观粒子的散射也可分为弹性散射和非弹性散射两种 弹性散射 碰撞前后粒子的性质和内部能级都不变 仅仅发生整体的动量和能量交换 非弹性散射 碰撞前后粒子的性质没变 但内部能级发生了跃迁 而当粒子被力场散射时 粒子的能量组成连续谱 在质心坐标系中 弹性散射过程相当于质量为m的粒子从远方入射 受势场V r 的作用而改变其运动方向 考虑一束粒子流沿着z轴方向向粒子A射来 A为散射中心 MA远远大于入射粒子的质量 碰撞后粒子A的运动可忽略 散射角 入射粒子受A的散射作用而偏离原来的运动方向与入射方向成夹角 单位时间内散射到面积元dS上的粒子数dn应与dS成正比 与dS到A点的距离的平方成反比 dn还应与入射粒子流强度N成正比 粒子流强度应为垂直于入射粒子流前进的方向取一单位面积S0 单位时间内穿过S0的粒子数就是入射粒子流强度N q 的量纲为 q 具有面积的量纲 因此称为微分散射截面 如果在垂直于粒子流的入射方向取面积q d 则单位时间内穿过该面积的粒子数等于dn 对所有方向积分 总的散射截面 散射理论的主要内容是建立微分散射截面q 与总截面Q的理论方法 从理论和实验的比较中研究散射作用势V r 的性质 作为散射过程的量子力学描述 设入射粒子流为平面波 表明每单位体积只入射一个粒子 入射波粒子的几率密度流为 取散射中心为坐标原点 用U r 表示入射粒子与散射中心之间的相互作用能 则体系的薛定谔方程 一般观察被散射的粒子都是远离散射中心的 所以只讨论r 时的 就足够了 当r U r 0 因此 波函数应由两部分构成 一部分是入射粒子的平面波 另一部分是描写散射粒子的球面散射波 远离散射中心处 散射波应取外向球面波的形式 该球面散射波是由散射中心向外传播的 我们只考虑弹性散射 所以散射波的能量守恒 即波矢k数值不变 由于f 只与角度有关 与r无关 取入射波的归一化常数A 1 则 f 称为散射振幅 是与角度相关的函数 散射的几率流密度为 表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数 故单位时间穿过面积dS的粒子数是 因为 N 可知微分散射截面为 8 2分波法 本节将介绍粒子受到中心力场的弹性散射时 从解方程求出散射截面的一种方法 在中心力场中 势能U r 只与粒子到散射中心的距离r有关 中心势场 与r的方向无关 方程为 取粒子入射方向并通过散射中心的轴为极轴 该轴为旋转对称轴 波函数 和散射振幅f都与 无关 由于 与 无关 m 0 其一般解可以写为 该展式中的每一项称为一个分波 Rl r Pl cos 是第l个分波 每一个分波都是方程的解 通常称l 0 1 2 的分波分别为s p d 分波 径向波函数满足方程 设 因为f只是 的函数 的渐近式也只与 有关 对于散射后的波 我们来求径向方程的渐近解 r V r 0 方程为 渐近解为 将入射平面波eikz按球面波展开公式 散射后的总波函数 散射波函数 等式两边的eikr应该相等 这就是散射振幅公式 微分散射截面为 总散射截面为 利用 Ql称为第l个分波的散射截面 0时 cos 1 Pl 1 1 f 0 的虚部为 而总的散射截面为 该公式称为光学定理 用分波法求散射截面的问题归结为计算相移 l 如果Q中的级数收敛的很快 我们只须计算前面几个分波的相移就可以得到足够精确的结果 反之 如果该级数收敛得很慢 要得到较好的结果需要算出许多个分波的相移 计算是很复杂的 近似求解 对产生散射的势场V r 的作用范围是以散射中心为球心 以a为半径的球内 当r a时 V r 可略去不计 散射只在r a的范围内发生 当r很小时 jl kr 随kr很快趋于零 l愈大 趋于零愈快 如果jl kr 的第一极大值在a之外 势场作用范围r a内jl kr 很小 则第l分波受到势场的影响很小 则散射所产生的相移 l很小 相移 l只要从l 0算到l ka就足够了 球面贝塞尔函数jl kr 的第一极大值位置在 特别是当ka 1时 只须计算 0就能很准确地计算散射截面 由此可见 分波法适用于低能散射的情况下 应用准经典近似进行估算 当动量的粒子的角动量L大于 粒子轨道与散射中心的距离大于a 即轨道在势场作用球之外 势场对粒子不产生散射 因为L l 所以受势场散射的条件是 例题1 如果只需考虑S波 l 0 及P波 l 1 的散射 试写出微分散射截面q 和散射角 的关系 并且 0 20 5 具体计算散射到 0 2 三个方向的粒子数相对比例 解 如略去l 2以上各分波的散射 根据 对 0 20 1 5 计算粒子数的相对比列 S波散射的角是各项同向的 虽然P波相移不足0 1弧度 但对角分布的影响却很大 方形势阱与势垒产生的散射低能粒子受球对称方形势阱的散射 入射粒子能量很小 求粒子的s波散射 质子和中子的低能散射可以近似地用这种方法处理 对低能散射 ka 1 在r 0处有限 所以 0 0 得到相移 总散射截面 在粒子能量很低 k 0 x 0 arctgx x 如果散射场不是势阱而是方形势垒 U 0 将k0换成ik0 k 0时 总散射截面 当U0 时 k0 经典情况下 总散射截面就是作为散射中心的硬球的最大截面面积 a2 量子力学中得到的截面是经典的4倍 8 3玻恩近似 书p278 量子跃迁 例 弹性散射 经验表明 在入射粒子的动能较大时 分波法需要计算很多分波 应用起来很不方便 如果入射粒子的动能比粒子与散射中心相互作用的势能大得多 势能U r 可看作微扰 以此来计算散射截面 体系的哈密顿量写为 取箱归一化的动量本征函数L 3 2eikr作为H0的本征函数 这种归一化描写在L3内有一个粒子 因为自由粒子的波函数为 波函数满足边界条件 在两个相对的箱壁上应取相同的值 箱内动量的本征值为 得到 箱中粒子动量的本征值为 每一组nx ny和nz都对应一个态 而在动量在 区间内的状态的数目为 用极坐标来表示 动量大小和方向在 状态数为 动量大小相同 但方向不同 以 m d m表示能量密度 状态数变为 高能粒子受到互作用势场的微扰后 使粒子从动量为 k的初态跃迁到 k 的末态 根据能量守恒 有 入射粒子流强度为N0 L 3 单位时间内散射到立体角d 内的粒子数为 另一方面 动量大小为 k 方向在立体角内的末态的态密度是 代入到单位时间内的跃迁几率公式中 得到单位时间内散射到立体角内的粒子数 单位时间内散射到立体角内的粒子数 归一化的箱中粒子的波函数 引进矢量K k k 例题 已知 解 由玻恩近似得到的微分散射截面 利用积分公式 求微分散射截面 得到 总散射截面 利用积分公式 几种特例讨论 1 V r r 为纯库仑势 这就是著名的卢瑟福散射公式 总散射截面为 发散主要来自小角度 2 高速