高三数学高考（理）第一轮复习精品课件：第13单元 推理与证明 新人教A版.ppt

第十三单元推理与证明 第十三单元 知识框架 第十三单元 考试说明 1 合情推理与演绎推理 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 2 直接证明与间接证明 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 第十三单元 考试说明 3 数学归纳法了解数学归纳原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 第十三单元 命题趋势 推理与证明是数学的基础思维过程 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式 推理一般包括合情推理与演绎推理 在解决问题的过程中 合情推理具有猜测结论和发现结论 探索和提供思路的作用 有利于创新意识的培养 证明包括直接证明与间接证明 其中数学归纳法是将无穷的归纳过程 根据归纳原理转化为有限的特殊 直接验证和演绎推理相结合 的过程 要很好地掌握其原理并灵活运用 推理与证明问题综合了函数 方程 不等式 第十三单元 命题趋势 解析几何与立体几何等多个知识点 需要采用多种数学方法才能解决问题 如 函数与方程思想 化归思想 分类讨论思想等 是对思维品质和逻辑推理能力 表述能力的全面考查 可以弥补选择题与填空题等客观题的不足 是提高区分度 增强选拔功能的重要题型 因此在最近几年的高考试题中 推理与证明问题正在成为一个热点题型 近几年新课标地区的高考对这部分知识的命题有如下特点 1 降低了对数学归纳法的要求 加强了对合情推理的考查 尤其是加强了对合情推理下的类比推理的考查 第十三单元 命题趋势 2 以小题为主 一般以选择题 填空题的形式出现 多数为基础题 难度属中档偏下 主要考查学生的观察 归纳 类比以及逻辑推理能力 3 演绎推理在高考中虽然很少刻意去考查 但实际上对推理的考查可以说是无处不在 特别是综合应用各种证明方法对各种数学问题进行的分析 判断遍布在试卷的始终 第十三单元 命题趋势 4 预测2011年高考对本部分的考查将有下列趋势 1 合情推理以及探究性问题的考查仍将为高考的重点和热点之一 2 数学归纳法仍将会在解答题的某一小题上出现 不会单独命制一道大题 3 将会以这部分知识为切入点 加强对学生逆向思维能力及创新能力的考查 这类题目将会以新定义或信息迁移的题目类型出现 第十三单元 使用建议 1 在复习本单元时 要重视对合情推理的训练 加强合情推理与演绎推理的综合应用 本单元是培养学生良好思维习惯 学习和运用数学思想方法 形成数学能力的重要一环 要站在思想方法的高度 对多年以来所学习的数学知识和数学方法做较为系统的梳理和提升 务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识 2 高考对演绎推理的考查多与函数 方程 不等式 立体几何 解析几何等内容相联系 在复习时要注意各类知识间的融合 第十三单元 使用建议 3 数学归纳法的训练重点要放在数列及不等式问题上 归纳 猜想 证明要加强训练 同时还应加强对反证法的训练 基于以上认识 本单元在题目的配置上加强了合情推理 以小题为主 注重了对数学结论的分析和对探究性问题的研究 本单元共4讲 每讲建议1课时完成 45分钟单元能力训练卷建议1课时完成 共约需5课时 第64讲 合情推理与演绎推理 第64讲 知识梳理 合情推理 演绎推理 归纳推理 类比推理 部分对象 所有对象 第64讲 知识梳理 第64讲 知识梳理 大前提 小前提 结论 第64讲 知识梳理 第64讲 要点探究 探究点1归纳推理 思路 利用函数解析式计算各和式的值 并注意观察各和式中的两自变量值间的关系 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 点评 归纳分为完全归纳和不完全归纳 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对科学的发现是十分有用的 观察 实验 对有限的资料作归纳整理 提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一 1 归纳推理具有以下特点 归纳是依据特殊现象推断出一般现象 因而由归纳所得出的结论超越了前提所包含的范围 归纳的前提是特殊的情况 所以归纳是立足于观察 经验或实验的基础之上的 2 归纳推理的一般步骤是 通过观察个别情况发现某些相同本质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 当然 归纳推理所得结论未必正确 有待进一步证明 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 探究点2类比推理 图64 3 第64讲 要点探究 思路 将平面类比到空间 从方法的类比入手 第64讲 要点探究 点评 1 一般地 类比对象的确定可以从以下两个方面来思考 从形式上去思考 如由条件的相似去类比结论的相似 由命题结论的相似类比推理方法的相似 从内容上去思考 形与形类比 数与数类比 数与形类比 式与式类比 数与式类比 运算类比 低维与高维类比 有限与无限类比 抽象与具体类比 2 几何中的类比猜想比较广泛 常常将三维空间中的对象进行类比 二维平面中的对象与一维中的对象进行类比 如 点与线类比 线与面类比 面与体类比 平面角与空间角类比等等 第64讲 要点探究 3 在进行类比推理时 不仅要注意形式的类比 还要注意方法的类比 且要注意以下两点 找两类对象的对应元素 如 三角形对应三棱锥 圆对应球 面积对应体积 平面上的角对应空间角等等 找对应元素的对应关系 如 两条边 直线 垂直对应线面垂直或面面垂直 边相等对应面积相等 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 答案 第64讲 要点探究 探究点3演绎推理 思路 分清所证问题的大前提 正确利用平面几何的有关性质 严格按三段论加以论证 第64讲 要点探究 图64 4 第64讲 要点探究 点评 数学的推理证明主要是通过演绎推理来进行的 一个复杂的数学命题的证明往往是由多个 三段论 构成的 只不过在平时的证明中我们大多数情况下都省略了大前提 演绎推理的主要形式是 三段论 其一般模式为 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情况 3 结论 根据一般原理对特殊情况作出的判断 在应用三段论推理来证明问题时 首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提 在演绎推理中 只要前提和推理形式是正确的 结论必定是正确的 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 思路 此题的大前提是隐含的 需要经过思考才能得到 从分式的性质中寻找s值的变化规律 解析 因a b c d e都为正数 故分子越大或分母越小时 s的值越大 而在分子都增加1的前提下 分母越小时 s的值增长越多 0 c d e b a 所以c增大1个单位会使得s的值增加最多 答案 c 第64讲 要点探究 探究点4综合应用 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 第64讲 要点探究 第64讲 规律总结 第64讲 规律总结 第64讲 规律总结 第65讲 直接证明与间接证明 第65讲 知识梳理 第65讲 知识梳理 第65讲 知识梳理 第65讲 要点探究 探究点1综合法 思路 本题因为有三项分式 不主张用分析法 而采用综合法证明 综合法证明不等式时 要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用 这里可从去分母的角度去运用基本不等式 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 点评 综合法也是中学数学证明中常用的一种方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列的中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 简言之 综合法是一种由因索果的证明方法 其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 探究点2分析法 思路 本题主要考查用分析法证明不等式及分析问题 解决问题的能力 可先令x y为具体的值 确定出常数c 再给出一般证明 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 点评 当要证的不等式较复杂 两端差异难以消除或者已知条件信息量太少 已知与待证间的联系不明显时 一般可采用分析法 分析法是步步寻求不等式成立的充分条件 而实际操作时往往是先从要证的不等式出发 寻找使不等式成立的必要条件 再考虑这个必要条件是否充分 这种 逆求 过程 能培养发散思维能力 也是分析问题 解决问题时常用的思维方法 有时也将分析法与综合法混合使用 也可叫分析综合法 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 探究点3反证法 思路 1 利用单调性定义 2 用反证法 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 点评 反证法不是运用论据从正面证明某一命题 而利用间接方法去证明 先假设一个要证明的命题的否命题 使它和原命题形成一对互否命题 相互矛盾的命题 再以否命题为前提 进行正确的充分条件的假言推理 得出一个假判断 再根据排中律 得出与否命题相反的原命题是真判断 适宜用反证法证明的包括以下几类 证明 结论是否定 的命题 证明某些元素 不存在 或不具有某性质等 它的结论反面是肯定判断 宜用反证法 第65讲 要点探究 证明 结论是无限的 命题 如 证明元素的个数是 无限的 直线或平面间的交点 无限多 数的 无限表示 其否定是有限的 借助反证法易证明 证明 唯一性 命题 如要证 方程只有一个解 交点只有一个 垂线或平行线只有一条 结论涉及唯一 其反例是 多一个 可用反证法 证明 至多 至少 命题 证明一些定理的逆命题 第65讲 要点探究 有些定理逆命题的证明比较困难 如果应用反证法则大多转化为证明原命题的逆否命题成立 由于原命题成立 根据原命题与逆否命题等价 用反证法比较容易完成 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 探究点4综合应用 第65讲 要点探究 思路 对于 1 可用不等式的基本性质加以证明 对于 2 要用零点存在性定理进行证明 3 可根据一元二次方程根与系数的关系 韦达定理 及不等式的性质证明 第65讲 要点探究 第65讲 要点探究 点评 本题综合考查了不等式的性质 函数的零点 一元二次方程根与系数的关系以及不等式的证明 是一个较为综合的题目 不等式作为一种工具 经常与函数和方程结合在一起 可以用不等式去研究函数和方程 同时也经常利用函数和方程的理论来研究不等式 如根的分布问题 恒成立问题 解析几何中的参数取值范围等问题 第65讲 要点探究 第65讲 规律总结 第65讲 规律总结 第65讲 规律总结 第66讲 数学归纳法 第66讲 知识梳理 正整数n 使命题成立的最小正整数 n0 n0 n k 1 从n0开始的正整数n k k n0 k n 第66讲 要点探究 探究点1利用数学归纳法证明等式 第66讲 要点探究 思路 用类比法得出结论 数学归纳法证明 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 点评 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题 关键在于弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 难点在于寻求等式当n k和n k 1时的联系 第66讲 要点探究 探究点2用数学归纳法证明整除问题 思路 首先在f k 1 中分析出含有f k 的表达式作为第一项 为了使两边恒等 用多减少加的方法把f k 1 中的其余项拆为第二项 而第二项也具有命题的性质 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 点评 在利用数学归纳法证明时 关键是第二步 若第二步不能用上归纳假设 则这一步的证明一定是错误的 本题的证明关键是 凑项 即采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 探究点3用数学归纳法证明不等式 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 思路 对于 1 可依据数学归纳法步骤证明 对于 2 要依据数学归纳法的证明原理 讨论an 1 an恒成立求解a1的取值范围 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 第66讲 要点探究 探究点4用数学归纳法证明与正整数有关的综合性问题 第66讲 要点探究 思路 1 由递推关系求出p2的坐标 由两点式写出直线p1p2的方程 猜想pn与p1p2的位置关系 然后用数学归纳法给予证明 第66讲 要点探究 第