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抛物线及其标准方程 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 椭圆 思考 是什么 双曲线 0 e 1 e 1 图8 19 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 抛物线的定义 抛物线的标准方程 如图8 20 建立直角坐标系xoy 使x轴经过点f且垂直于直线l 垂足为k 并使原点与线段kf的中点重合 设 kf 0 那么焦点f的坐标为 准线l的方程为x 抛物线的标准方程 设点m x y 是抛物线上任意一点 点m到l的距离为d 由抛物线的定义 抛物线就是集合p m mf d 转化出关于x y的等式化简得抛物线的方程 方程 叫做抛物线的标准方程 它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上 坐标是 它的准线方程是x 设 kf 0 m x y 是抛物线上任意一点 点m到l的距离为d 由抛物线的定义 抛物线就是集合p m mf d 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 求它的标准方程 例题 1 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点是f 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y x2 4y 练习 已知抛物线的方程是x2 4y 0 求它的焦点坐标和准线方程 例题 解 把抛物线的方程x2 4y 0化为标准方程 x2 4y 所以p 2 焦点坐标是 0 1 准线方程是y 1 2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 f 0 2 y 2 练习 f 5 0 x 5 变式训练 a y2 4x 1 选择题 1 准线方程为x 2的抛物线的标准方程是 b y2 8x d y2 8x c y2 4x 2 抛物线x2 y 0的焦点位于 a x轴的负半轴上 b x轴的正半轴上 d y轴的正半轴上 c y轴的负半轴上 b c 2 填空题 1 焦点在直线3x 4y 12 0上的抛物线的标准方程为 经过点 8 8 的抛物线的标准方程为 y2 16x或x2 12x y2 8x或x2 8y 1 解 设直线与x轴 y轴交于点f1 f2 将y 0或x 0分别代入直线方程可解得f1 4 0 f2 0 3 故所求抛物线方程为 y2 16x或x2 12y 2 解 因为点 8 8 在第二象限 所以抛物线开口向上或者开口向左 设抛物线方程为y2 2p1x或x2 2p2y 由x 8时 y 8得 p1 4 p2 4 所以 所求抛物线方程为 y2 8x或x2 8y 1 抛物线的定义 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 小
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