几何画板(GSP)辅助几何教学的应用研究.doc

几何画板（GSP）辅助几何教学的应用研究西北师范大学2003级教育硕士 黄先明第一部分 绪论一、问题的提出1、素质教育和教学改革的需要全日制义务教育国家数学课程标准在基本理念中指出：“特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，把现代技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并积极主动的参与到数学活动中去。” 1从开始倡导素质教育到现在，如何真正、切实的实施素质教育，一直是广大教育工作者孜孜以求的问题。步入二十一世纪的今天，科学技术高速发展，作为高科技成果之一的计算机已逐渐走入千家万户。计算机辅助教学手段的使用，已成为教育现代化的一个重要标志，它对加速大规模发展教育事业，提高教育教学质量有着重要意义。2、教育现代化发展的需要著名数学教育家G波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门试验性的归纳科学。” 2要想提高学生的数学能力和素养，在教学中，就应当充分体现这两个侧面。我们现在的中学生仍在学习着2300年以前欧几里德留给后人的古老几何。一向以抽象和推理严谨著称的欧氏几何，困扰着一代又一代的中学生，但至今还没有别的什么课程能取代它的地位。拿着粉笔、直尺、圆规等传统教具的数学教师绞尽脑汁，时刻想着如何为学生“解困”，但传统的教具、教法毕竟有一定的局限性。多媒体技术的发展，几何画板（The Geometers Sketchpad缩写为GSP）软件的出现，打破了传统的尺规教学方法，为数学教学，特别是为几何教学注入了无限的活力。3、时代发展的需要一直以来，人们都承认传统欧氏几何对人类分析归纳、直觉洞察、逻辑推理乃至人的素养的培养和熏陶起着不可低估的作用。但是，随着时代的变迁，我们发现传统欧氏几何也是屡次数学教育改革最为关注和争议的焦点之一，新课程标准的制订及新教材中就传统欧氏几何在中学的地位及内容的取舍等等。作为拥有深厚“双基”和欧氏几何教学传统的中国，在教学改革全面实施的今天，面对新老教学观念、方法、手段、模式冲击与融合的数学教师该何去何从？碍于资讯落后的一线教师怎样去选择？虽然相当数量的一线教师在用几何画板进行数学教学实践，但又该怎样从教育学、心理学理论高度认识和挖掘几何画板的教学价值功能？为什么要用？怎样去用？何时用？等等，对这些问题都缺乏系统论述和深入剖析。4、新课程改革的需要2001年7月教育部颁发的国家基础教育课程改革纲要（试行）明确提出，“大力推进信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发展信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”信息技术能引起教学模式的变革，带来教学方法的改变，使新的学习方式的实现成为可能。但必须将信息技术与学科的教学进行有机融合，使知识技能、过程方法、情感态度、与价值观的整合在课堂教学中得以实现，创造出一种真正意义上促进人与人交流、合作以及基于新技术的教和学的方式。5、数学课堂教学实际的需要数学课程标准明确指出：“数学教学要通过再现知识的形成过程，使学生获取新的信息，利用原有的数学知识进行加工、整合、重组，从而获取新知识。” 3在这一过程中，学生逐渐形成了学习数学的情感，有了学习数学的亲身体验，沿着数学发现的活动轨迹，从生活中的具体问题逐渐过渡到数学问题，从感性认识逐渐过渡到理性认识，使认知结构从较低水平变成较高水平，更重要的是，通过这一过程，使学生感悟到学习数学的方法。几何画板作为一个“虚拟的数学实验室”，在重演知识形成过程中，使得教学形象生动，学生感知鲜明，印象深刻；使书本上抽象的理论，具体化、形象化，便于学生理解。几何画板是师生共同探索几何学奥秘的强有力的工具。4 二、研究的目的和意义1、有利于利用课堂主阵地有效地实施素质教育和培养学生创新精神和实践能力。当今社会正处在一个改革开放的时代，创新型人才的培养是素质教育的一项重要任务。不断进取，不断创新，是现代社会新人的基本精神。数学学习过程实质上是一种再创造过程，数学中对定理、结论以及解题方法的探索，都需要学生具有创新思维和开拓精神，同时也正是通过这种数学活动过程培养了学生的开拓、创新精神。在数学教学中教师应该大胆地让学生进行探索、猜想，特别是课堂教学中，杜绝教师“中心主义”，允许学生发表不同的见解，甚至是错误的想法。5几何画板辅助几何教学不是直接将现成的结论教给学生，而是根据数学思想发展脉络，创造问题情境，充分利用实验手段，设计系列问题，增加辅助环节，从直观、想象到发现、猜想，然后给出证明，从而使学生亲历几何学知识的建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方式、方法，能够培养学生的创新精神和实践能力，提高学生的几何学素养。因此，几何画板辅助几何教学是激发学生创新思维的源泉。2、有利于培养中学生的几何学习兴趣、有利于培养学生自主意识和合作精神。在目前形势下，几何教学往往过分强调形式化的逻辑推导和形式化的结果，而对几何发现过程的展示和几何直观性的背景注意较少，从而给学生学习几何带来困难，导致学生越来越害怕学习几何，使学生丧失了学习几何的兴趣。而几何画板辅助几何教学课改变了传统的几何教学模式，使得严谨单调、枯燥无味的课堂变得活跃丰富、轻松有趣起来，学生可以动手做、画、量，可以用眼观察、比较，可以互相交流、大胆发表自己的见解，可以运用计算器、电脑动态的实验研究问题，能够激发学生学习几何的欲望和培养学生学习几何的兴趣，并且在学习过程中，培养学生的自主学习意识和合作精神，培养学生严谨的治学态度和勇于探索的科学精神，促进了学生的全面发展。3、有利于为广大的中学数学教师积极参与课堂教学改革、尝试几何实验课的教学提供丰富的实践经验和理论依据。从教师的角度来看，用实验的方式教授几何是对传统教学方式的有益补偿。学生的几何学习是一个不断摸索的过程，教师应当为学生提供一种探索环境。教学中，对学生在解决问题时提出意外的猜想，教师应能够给予建设性的回答。所以教师的教学思想应该有所更新，从“讲授知识”的权威模式向以“激励学习”为特色的顾问模式转变。6开展几何实验课的研究能够帮助教师积极投入到素质教育的课堂改革中去，探索一种新的几何教学模式，为更多的数学教师上好几何实验课提供丰富的实践经验和理论依据。三、研究的现状为了大致把握当前基于GSP的数学教学发展态势，本人阅读了专门论及GSP的教学论文30余篇作为分析对象，期望管中窥豹能见一斑，概括内容如下：(1)GSP的一般经验介绍推广：如它的优特点、使用体会等。(2)GSP的特殊课例的技术、教学层面制作方法及GSP的一些高级功能开发技巧。(3)总结如何结合GSP开展素质教育、创新教育的经验体会，并探讨如何利用GSP作为教与学的认知平台开展数学实验和探究性教学等。(4)如何自觉接受并运用建构主义教学理论开展GSP辅助数学教学。(5)GSP辅助数学教学误区分析及相应对策等。可以看出几何画板辅助数学教学转化为文字叙述时总显得有点力不从心和不尽人意，也看出相关论文除了不系统、缺乏实证性研究外，还有以下问题涉猎不深或存在不足：(1)对GSP的优、特点讲的多，而对其性能缺陷以及可能造成的教学困难没有提及，比如学生把做不出来的问题求教于GSP怎么办？更进一步地说，教材中的哪些内容更适宜用GSP教学？(2)一般认为学生比以前更喜欢学数学了，但是这种“喜欢”排除因学习方式的变换而“喜新厌旧”以外，有多少是发自内心的真正的喜欢数学？果真如此，怎样将之转化为对数学的持久的内在兴趣？GSP有很强的娱乐和丰富的表现功能，怎样克服技术崇拜防止“人机对话”代替“人际对话”发展学生的积极的数学情感进而开成正确的数学观？(3)GSP是21世纪的动态几何，制作色彩斑斓而又富于数学意义的几何图形是它的拿手好戏，而一贯以来数学美在中学教学渗透中困难重重，怎样结合GSP渗诱几何学美育？(4)GSP一般总能抽象问题形象化，静态问题动态化，代数问题解析化，但总是视觉的，这会不会影响学生的想象力和数学抽象能力的发展？鉴于多媒体教学的缺点之一是容易跳过数学思维过程，教师又该怎样结合学生的认知发展心理寻求教学切入点和呈现方式？(5)我们固然反对好的数学课就是把数学课贴上信息技术的标签，但是传统教学方式己经难以胜任信息时代的挑战也是不争的事实。那么，就GSP而言，应该怎样实现传统教法和新的教育技术手段的整合，达成教学的最优化？(6)怎样结合GSP等软件平台培养学生创新意识改善动手能力开展创新教育？基于GSP的探究式学习及具体的数学实验该怎样去实施运作？新型的教师、学生、教材、计算机的四元关系如何去界定？怎样去评价一节GSP辅助几何教学课？第二部分 研究的理论依据一、建构主义认知理论建构主义认知理论认为，学习不应被看成是对于教师所授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有知识和经验为基础的主动建构活动，即学生能积极主动地构造意义。7建构主义学习理论强调以学生为中心，不仅要求学生由外部刺激的被动者转变为信息加工的主体、知识意义的主动建构者，而且要求教师要由知识的传授者转变为学生主动建构意义的合作者、指导者、促进者。这就意味着教师应当在教学过程中彻底摒弃以教师为中心、强调知识传授、把学生当作知识灌输对象的传统教学模式，而采用新的教学模式：就是以学生为中心，在整个教学过程中由教师起组织者、指导者、帮助者和促进者的作用，利用情境、协作、交流等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和创造精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的。几何画板辅助几何教学这种教学形式能够为学生提供一个主动学习，积极建构新的认知结构的学习环境，使教学中心由教师变为学生，教学形式由灌输变为主动建构，应该说是适应素质教育要求的新的几何教学模式。二、数学“再创造”学习理论荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”。“再创造”理论认为教师不必把各种概念、法则、性质、公理、定理灌输给学生，而是应该创造适合的条件，提供很多作为知识载体的具体情境，让学生在实践活动中，自己“再创造”出各种数学知识。8也就是说每个人都应该在数学学习过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。几何画板辅助几何教学借助现代技术和手段设计出“再创造”的教学环境，使学生学习几何的过程似乎置身于一个“几何学实验室”之中，学生可以观察并尝试错误，可以进行发现并作出猜想；也可以做实验，并进行测量、分类；或是设计算法，通过运算检验；或是提出假说，借助逻辑推理加以证明，或提出反例予以否定，等等。这种实验是一种能够使学生亲身经历几何学“再创造”过程的教学形式，能够使学生通过体验牢固掌握所学的几何知识，并且能够使学生在具体的环境中养成运用知识解决问题的习惯，克服学习几何而不用几何的弊端。三、发现式教学理论美国认知学派心理学家S布鲁纳提出的发现式教学理论强调把人当作主动参加知识获得过程的人。人的认识过程是对进入感官的事物主动地进行选择、转换、储存和应用，得以向环境学习，并适应环境，以致改造环境。布鲁纳说：“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法。”发现式教学模式，要求学生利用教师和教材提供的某些材料，去发现应得的结论或规律。9几何画板辅助几何教学模式的目标在于：通过GSP利用几何学知识发展学生的探究思维能力，让学生根据已知条件探究未知结论，从动态的演变中发现事物发展变化的规律性，并培养学生的科学态度和独创精神，掌握科学研究的方法。四、行为主义学习理论行为主义学习理论认为，只有将教学内容分解为一系列小的教学单元，在强化的帮助下对教学单元的内容进行学习，才能使强化的频率被最大限度地提高，将出错带来的消极反应降低到最小限度。10在斯金纳条件反射实验的基础上，根据刺激（提问）反应（回答）强化（确认）的原理，制订几何画板辅助几何教学的基本原则，并成为课件设计的理论基础。把“强化”看作是教学的核心，认为只有通过强化，才能形成最佳的学习环境，才能增强学生的学习动力。五、现代教育技术理论现代教育技术就是运用现代教育理论和现代信息技术，通过对教与学过程和教与学资源的设计、开发、利用、评价和管理，以实现教学优化的理论与实践。现代教育技术集多种媒体功能和网络功能于一体，将文字、数据、图形、声音、动画等信息有机地相结合，交互地传递。它既能通过人机交互去主动地发现、探索、思考，又能充分发挥网络技术的特长，实现人与人之间的互动交流，从而提高学生的创新能力和认知能力。第三部分 研究工作一、研究对象我从工作到现在一直从事中学数学教学工作，我所在的学校是一所独立初级中学，无论是平时的上课还是指导学生，深感几何的学习困扰着学生，我校学生的数学成绩普遍较低，数学成绩成为他们升入高一级学校的决定性因素，而几何的学习水平又是关键。我作为学校教研室主任，有必要，有义务，有责任为他们排忧解难，一是职责所在，二是为培养学生的几何学习兴趣和数学教师积极参与课堂教学改革、尝试几何实验课的教学提供丰富的实践经验和理论依据问题做点脚踏实地的工作。因此，我选取我教的班级初三（2）（5）两个班为研究对象进行研究。二、研究的主要内容首先需要声明的是，我的论文题目是“应用研究”，应用研究的特点是结果不易归纳为普遍结论，而且它是一种通过广泛地去发现事物的新现象再进行分析总结的过程。所以，我的论文研究内容比较广泛。但由于时间的限制，不可能做太深入的工作，这其实也是应用研究工作的难度所在。“几何画板辅助几何教学”即指将几何画板技术融入到几何教学之中，实现几何画板技术系统与几何教与学各要素融合的信息化教学方法。具体地说就是把几何画板软件作为教育的工具和手段，把几何教学内容作为载体，使前者渗透，融合到后者的教育教学活动中去，达到优化后者的功效，从而改进教学内容的呈现方式，学生的学习方式，教师的教学方式和师生互动方式，提高学生的层次和效率。我的主要研究方向是：1、几何画板辅助几何教学的应用研究，目标是总结出其中的影响因素。2、在教学应用中发现问题，提出改进的方法。3、用教学实例证明几何画板辅助几何教学的效果。4、几何画板辅助几何教学的功能5、几何画板辅助几何教学的学生和老师问卷调查研究。研究重点是：本课题旨在通过实验研究，努力探索几何画板辅助几何教学的设计和一般操作问题，摸索出一种适应素质教育要求、培养学生创新能力和探索精神、突出学生主体、激发学生求知欲和好奇心、鼓励学生独立学习的新型的几何教学形式。研究难点是：本课题研究涉及教育学、心理学、几何学、信息技术等方面的科学知识，受本人知识范围制约，必然在上述学科领域存在一定的缺陷，这势必会影响到研究的质量。此外，研究时间不够充足，研究对象的计算机程度等这些问题的客观存在必然会给研究带来一定的困难，也会影响到研究成果的水平。研究的创新点是：在理论研究的基础上，突出实证研究，与研究性学习相结合是本研究的创新之所在。三、研究方法1、文献资料法：在研究初期，通过查阅文献资料，了解国内此项研究的最新动态和相关课题情况，收集与课题研究相关的理论资料；在研究整个过程中，注意本课题研究的文献资料的收集，如读书摘记、实验后记、实验数据等第一手资料，以便对文献资料整理分析，找到理论依据。2、问卷调查法。在研究初期运用这种方法对几何画板的应用、学校硬件设施、教师使用计算机情况和学生使用计算机的情况做了一个简单的统计。在研究末期，及时收集几何画板辅助几何教学课的教学设计及操作研究的反馈信息。了解学生对此有何感受，任课教师对此有何想法？等等。3、实验法：通过该课题的研究，逐步完成对几何画板辅助几何教学的设计要素、特点、策略及影响课堂教学的主要因素的研究，了解几何教学效果的情况，以进一步完善教学设计及操作技术。4、观察法。对有代表性的个案进行追踪观察。5、访问法。了解教师和学生在几何画板辅助几何教学中的所思所想和情绪反应；了解他们在几何画板辅助几何教学应用中所经历过的事情和他们行为的意义，获得比较广阔、整体性的视野，从多重角度对应用的过程进行比较深入细致的分析。在我设计的访谈中，对于教师我采用了个别、半开放的访谈方式，这样既可以使受访者不会受到他人的影响，又可以就我研究的焦点获得相关的信息。对于学生我选择了焦点团体访谈法，我的抽样方法是从实验班的105名学生中选出成绩好、中、差的学生各四名，让他们就相同的问题进行讨论，观察他们对几何画板辅助几何教学中的一些问题的不同角度的看法。四、研究的过程及步骤我的研究过程主要分为两个阶段1、第一阶段：(1)查阅相关文献，了解国内外研究动向及成果，从实际的教学改革和教学的需要入手进行选题和开题报告的定稿。(2)为了搞好研究，学习有关教学理论、学习理论以及教学设计的基本理论原理和方法，几何画板平台的使用。(3)确定研究目标；准备硬件设备,建设教学试验环境。2、第二阶段：(1)进行各项研究，撰写相关论文。进行问卷调查，个案访问，收集材料等。(2)开展教学设计、讲授、观摩、拍摄、评析、交流、记录等教学研究活动，对于每节试验课，都要求做好教学设计，注重教学模式、教学内容与教学方法的改革，做好教学效果的测量与分析。收集教学过程中，教师和学生等各方面的数据，对教学过程进行跟踪，根据上课中出现的问题，有针对性地修改教学设计，根据上课实录研究课堂教学中出现的一般操作问题。由于时间和精力的限制，我只做了部分工作。第四部分 研究资料一、几何画板与几何教学1、几何画板简介几何画板软件是美国Key Curriculum Press公司研制的优秀教育软件。它是全国中小学计算机教育研究中心推广使用的软件之一。它适用于数学的平面几何、解析几何、射影几何等教学，它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，显示或构造出其它较为复杂图形。几何画板是人民教育出版社和全国中小学计算机教育研究中心于1995年联合从美国引进的工具平台类优秀教学软件。该软件功能强大，能方便地用动态方式表现对象之间的关系，教师利用该工具平台既可根据自己的教学需要编制与开发课件，又可便于学生进行主动探索，是一个适用于几何教学的软件，它给人们提供了一个观察几何图形的内在关系，探索几何图形奥妙的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。自1996年全国中小学计算机教育研究中心推出几何画板的汉化版以来，很快受到数学教师的欢迎。由于几何画板既能创设情境又能让学生主动参与，所以能有效地激发学生的学习兴趣，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变成对数学喜爱并乐意学数学。让学生通过做“数学实验”去主动发现、主动探索，不仅使学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运算能力得到较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维。11几何画板可以为做“数学实验”提供理想的环境。用画板几分钟就能实现动画效果，还能动态测量线段的长度和角的大小，通过拖动鼠标可轻而易举地改变图形的形状，因此完全可以利用画板让学生作数学实验。这样，就可用新型教学结构取代主要靠教师讲授、板书的灌输式教学结构。由于教学过程主要是让学生自己做实验，所以教师在备课时考虑的主要不是讲什么、怎样讲，而是如何创设符合教学内容要求的情境，如何指导学生做实验，如何组织学生进行协作学习和交流。这样，教师就要由课堂的主宰、知识的灌输者转变为教学活动的组织者、学习情境的创设者、学生实验过程的指导者和意义建构的帮助者。在以往的数学教学中，往往只强调“定理证明”这一个教学环节（逻辑思维过程），而不太考虑学生们直接的感性经验和直觉思维，致使学生难以理解几何的概念与几何的逻辑。几何画板则可以帮助学生从动态中去观察、探索和发现对象之间的数量变化关系与空间结构关系，因而能充当数学实验中的有效工具，使学生通过计算机从“听数学”转变为“做数学”。例如，为了让学生较深刻地理解两个直角三角形全等的条件，可以让学生利用几何画板做一次这样的数学实验：在该实验中，学生可通过任意改变线段的长短和通过鼠标拖动端点来观察两个三角形的形态变化，学生从中可以直观而自然地概括出直角三角形全等的判定公理，并不需要由教师像传统教学中那样作滔滔不绝的讲解，而学生对该定理的理解与掌握反而比传统教学要深刻得多。通过上面例子可以清楚地看到，基于几何画板的教学活动进程完全遵循一种新型教学结构，其特点就是在教师的指导下，或在教师所创设情境的帮助下，由学生主动进行探索式、发现式学习，也就是既发挥教师主导作用又充分体现学生主体作用的“主导主体结构”。大量的数学教学实践证明，这种结构与传统的以教师为中心的结构相比，不论是教学的质量还是效率都有显著的提高，这充分体现了新型教学结构的优越性。由于这种结构的实施离不开几何画板，所以这等于是实践对信息技术与课程整合的有效性所作出的有力证明，换句话说，实践表明以计算机为核心的信息技术与各学科教学进程的有机结合对于教学的深化改革确实具有决定性的意义。2、几何画板的教学应用特点和其他同类软件相比，几何画板有如下几个优势，使得他成为数学、物理教学中的强有力的工具。动态性：用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系或图形的基本性质都保持不变。如：我们可以先在画板上任取三个点，然后用线段把它们连起来。这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图形的形状就会发行变化，但仍然保持是三角形。再进一步，我们还可以分别构造出三角形的三条中线。这时再拉动其中任一点时，三角形的形状同样会发生变化，但三条中线的性质永远保持不变。这样我们就可以在图形的变化中观察到不变的规律：任意三角形的三条中线交于一点。形象性：上课时，当老师说“在平面上任取一点”时，在黑板上画出的点却永远是固定的。所谓“任意一点”在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。而几何画板就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。所以，可以把几何画板看成是一块“动态的黑板”。几何画板的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所不可能做到的，真正体现了计算机教学的优势。操作简单：一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在几何画板中，一切都要借助于几何关系来表现，因此用它设计软件最关键的是“把握几何关系”，而这正是老师们所擅长的；但同时这也是它的局限性：它只适用于能够用几何模型来描述的内容例如几何问题、部分物理、天文问题等。制作课件的速度非常快。一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师制作一个难度适中的课件只需5-10分钟。正是由于上述优势，使得几何画板教学逐渐成为教育改革的重要方向之一，成为21世纪的动态几何。3、几何画板的教学设计作用动画显示图形变化过程，吸引学生注意力，让学生的思维随着跳跃起来例：我在教初二几何课讲到勾股定理时，学生在学习相似三角形时就对它有了一些了解，甚至有的学生已经会用它进行简单的计算，但对其真正的来历以及证明方法不甚了解。针对这一情况，在讲这一知识点时，我预先利用几何画板做了一个课件，形象、直观的表现出勾股定理的不同证明方法及证明技巧。利用作图工具做一个直角三角形，设三边长分别为a、b、c，分别以三边长为边长做正方形，求三个不同正方形面积。(如图)图操作：变换a、b、c的长度，学生观察讨论，得结论：在直角三角形中，斜边平方等于两直角边平方和。变换AGD度数，学生观察思考没有直角三角形条件有无上述结论。结论：只有在直角三角形条件下结论才成立。动画展示不同证法：拼图法：做八个两直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和个边长分别为a、b、c的正方形。拼出如下两个正方形；（如图）图在讲授这一课时动态的定理证明过程深深地吸引了学生，学生们通过这一动态证明过程加深了对定理证明这一难点的理解，并且有个别学生还发现其他证法，这是我所没有预想到的。这堂利用几何画板的数学实验课，不仅达到了教学的目的，还使学生通过对高科技成果感到惊叹，而树立起远大的人生目标，一节课师生都感到轻松愉快，尤其提高了学困生的学习积极性。几何画板具有三角板、圆规等教具的功能，可以让复杂的几何图形跳起来。利用几何画板开阔解题思路、培养思维能力，提高数学素质由于几何画板不用编程，界面操作简单明了，还可以即兴操作，这样既开拓了学生的思路，毫无保留地实现学生的想法，又提高了学生学习数学的兴趣。我们还可以利用几何画板与学生展开讨论问题，探求未知的结论，培养提高思维能力，提高数学素质的目的。如对“轴对称”概念的讲授，教师可以先利用几何画板制作一只会飞的蝴蝶，这只蝴蝶既能吸引学生的注意力，又能够让同学们根据蝴蝶的两只翅膀在运动中不断重合的现象很快就理解“轴对称”的定义，并受此现象的启发还能举出不少轴对称的其他实例。这时再在屏幕上显示出成轴对称的两个三角形，并利用几何画板的动画和隐藏功能，时而让两个对称的三角形动起来，使之出现不同情况的对称图形；时而隐去或显示一些线段及延长线。在这种形象化的情境教学中，学生们一点不觉得枯燥，相反在老师的指导和启发下他们会始终兴趣盎然地认真观察、主动思考，并逐一找出对称点与对称轴之间、对称线段与对称轴之间的关系，在此基础上学生们就很自然地发现轴对称的三个基本性质并理解相应的定理，从而实现了对知识意义的主动建构。利用几何画板辅助几何教学调动了全体学生的学习积极性，充分发挥了学生的主体性，使素质教育落到了课堂上。 帮助教师创造直接的动态形象信息，培养学生的创新思维几何是在不断变化的几何图形中，研究不变的规律。12学生从实际的事物观察到图形，从这儿开始要过渡到一些实际看不到，需要经过想象讨论才能得到的图形，传统的教学手段因缺少适合的动态形象信息手段，使得教师往往需要用更多的语言造出“形象化”效果，还需要学生根据教师语言和文字信息，想象出动态形象信息，这种想象能力是中学阶段通过多学科教学逐渐培养形成的能力，不是初中生已具备的能力，所以作为教师的我们应尽可能为学生创造更直接的动态形象信息。在传统的教学手段下，所作的图形是静态的，缺乏动感，这样会掩盖极其重要的几何规律，不能被直观地观察到。另外几何中的各种关系和规律，又是在变化过程中被发现和掌握的。而传统的教学没有变化过程，不能把数量关系和空间关系联系起来，从而不利于规律的发现。以上这些教学中的种种问题用几何画板便可以一一得到解决。教师和学生使用几何画板后，还可以帮助我们发现新的命题，例如：东北育才学校的一名学生利用几何画板发现了推广的蝴蝶定理。几何画板是一个优秀的教育教学平台软件，它功能强大，能动态表现相关对象的关系，适宜教师根据教学的需要自编课件，并应用于教学，从而优化课堂教学结构，提高教学质量，相信它必将对几何教学产生巨大影响。我们应借助于这一软件及其他优秀教学软件，优化和深化中学的课堂教学改革，全面贯彻素质教育思想。4、几何画板的教学设计案例课题角平分线的性质（二）目的掌握角平分线的性质定理。掌握中线、高在特殊三角形中也有类似的性质。使学生进行联系的学习、深刻认识角平分线的性质定理。培养学生的类比、联系的思维能力，及实验的探索能力。工具几何画板4.5年级初二（上）教学过程 利用几何画板任作一个角BAC。 问题1：角平分线上的点到角两边的距离有什么关系？ 操作1： 作任意一个角BAC；作BAC的角平分线；在BAC的角平分线上任取一点P，过点P，作PMAB，PNBC，垂足分别为M、N。（如图1）。 探索1：分别度量线段PM、PN的长，得到 PM=_ _，PN_ _。拖动点P，观察上述数据分别变为PM=_ _，PN_ _。通过不断拖动点P，你发现_ 。 结论1：角平分线上的点到角两边的距离_。 问题2：三角形三条角平分线的交点到三角形三边有什么关系？操作2：作任意三角形ABC；作ABC的三条角平分线AD、BE、CF。交点为O；作OGBC，OHAC，OJAB，垂足为G、H、J；度量AB、AC、BC的长。 探索2：度量线段OG、OH、OJ的长，得到：OG_，OH_，OJ_；拖动点C，使ACBC，度量线段OG、OH、OJ的长，得到：OG_，OH_，OJ_；拖动点B、C，使ABBCAB，度量线段OG、OH、OJ的长，得到OG_，OH_，OJ_；通过不断改变ABC的形状，你发现OG、OH、OJ之间有什么关系？答：_。教学过程结论2：任意三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离_。请证明结论2。问题3：三角形三条中线的交点到三角形三边的距离有什么关系？操作3：作任意三角形ABC；作ABC的三条中线AD、BE、CF。交点为O；作OGBC，OHAC，OJAB，垂足为G、H、J；度量AB、AC、BC的长。探索3：度量线段OG、OH、OJ的长，得到：OG_，OH_，OJ_；拖动点C，使ACBC，度量线段OG、OH、OJ的长，得到OG_，OH_，OJ_。此时，OG与OH有什么关系？CF是ABC的中线，也是ACB的_；拖动点B、C，使ABBCAB，度量线段OG、OH、OJ的长，得到：OG_，OH_，OJ_。此时，OG、OH、OJ有什么关系？AD、BE、CF是ABC的中线，也是_；通过不断改变ABC的形状，你发现OG、OH、OJ之间的关系分几种情况？答：_。结论3：三角形三条中线的交点到三角形三边的距离分三种情况（1）_ _。（2）_ _。（3）_ _。其本质是_ _。课后探索三角形三条高线的交点到三角形三边的距离有什么关系？请仿照上面的方法进行实验探索。总结通过本次实验，你学到了哪些知识和技能？答： 。 二、几何画板课件的设计1、几何画板与几何课程整合几何的精髓是什么?几何就是在不断变化的几何图形中，研究不变的几何规律。在过去的几何教学中，使用常规作图工具(如纸、笔、圆规和直尺)，手工绘制的图形都是静态的，容易掩盖了极其重要的几何规律。而且遇到图形的拆分、变式图形的给出、轨迹、对称等课题往往感到力不从心，画图不方便，不能满足教学需要。而计算机在处理图形和数据方面具有传统作图方式所没有的巨大优势，可以很好地处理“动态地保持几何关系”的问题。利用几何画板可以对几何教学做如下几方面改革：用图形创设情境几何画板可以用各种方法创设富有启发性的教学情境，如用语言、图形和动画。事实表明用图形配合语言比单纯用语言更能吸引学生，如有动画效果更佳。引入计算机的好处在于不仅能方便地产生几何教学需要的动画，而且这种动画还可以随心所欲地通过鼠标按钮现场加以控制，这使学生多了几分好奇。在这种气氛中，教师可以提出一个又一个问题吸引学生思考讨论。例1：“你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？”学生在思考之后，很快就可以给出答案，但是要说明理由时就有点困难了。于是我就用一个红色的三角形“旋转”，两种不同颜色的三角形“平移”,很快地演示了一遍，很明显，在直观的运动中，发现这四个小三角形都是全等的，动态效果中的几何画板，为我们解决了一个要证明半天的难题。这样不仅节省了时间，而且给学生以直观的证明。从而，很快地引入“三角形的中位线的定义”，有利于教学活动的顺利开展。让动态图形说话数学语言是数学思维的载体，也是数学交流的工具。由于数学思维具有严谨与抽象的特性，数学语言具有严谨、精炼、形式化和符号化的特点。13几何用定义、公理、定理的形式描述图形性质，而许多初学者对此并不习惯。在课上通过几何语言表达的意思他们往往不全理解或产生误解，几何语言的障碍成了交流与理解的障碍。这使不少学生视几何为枯燥难懂的天书，感到几何难懂。因此，几何需要图形站起来讲话，让图形作为学生理解的基础。在一定意义上，几何图形本身就是一种语言，一种图形语言，它比由数学符号组成的符号语言，用定义、定理形式出现的数学语言更直接，对直观具体的图形的观察研究应先于定义定理的表述。14脱离对图形的深刻理解，那些死记硬背的定义定理就变得空洞无物，没有一点生命力。当然，教学实际当中让图形站出来说话，教师要在给出常规图形之后给出变式图形。利用几何画板可以很好的表现任意，而且可以动态地保持几何关系，可以在变化的图形中揭示恒定不变的几何规律。例2：在图右中，随意拖动四顶点，屏幕上的度量值随之改变，但不变的是对角之和相等，可以很形象地揭示了圆内接四边形的对角互补。促进发现的环境当前教学中应对学生“发现”和“创新”意识的培养予以充分的重视，要增强学生的自信心、主动发现和创新的意识，要给他们一个促进发现的机会与环境。15关于发现与创新，一般认为要提出或解决前人没有提出或解决的问题。其实对于中学生，我们认为不在于这个问题前人是否提出或解决过，而在于它对于学生本人是否新颖，他们是否有不依赖于教师独立提出和解决问题的意识。在这方面计算机与黑板相比，突出优势是为学生提供了利于发现的理想环境。这主要是因为计算机具备交互功能和一定的智能性。通过以上的内容可以知道，可以通过鼠标控制图形的变化，同时可以及时动态地对线段、角、弧等几何量进行测量和计算，从而发现规律。这是刻度尺、量角器等工具很难做到的。例3：圆幂定理的发现式教学设计如图1，用鼠标拖动P点在圆内任意移动，指导学生猜测变化中的不变关系，并通过测量加以验证。问学生发现了什么?怎样叙述? 如图2，用鼠标拖动P点在圆外任意移动，图1中的关系是否依然成立?又该怎样叙述?归结图1和图2，发现了什么共同点?怎样叙述?数学实验室一般人认为，数学是思维科学并非实验科学，其特点是逻辑和计算，于是，研究数学一张纸一只笔足矣，实验对数学来说没什么必要!其实，获得数学知识的过程同样离不开反复的实验与观察，既而是对实验观察资料的思考：归纳、类比、联想、猜想单凭逻辑推理是发现不了数学的。16与物理、化学所不同的是，数学更多需要的实验对象不是实物，而是思维的材料，是数和图形。实验的方法借助数字的计算、符号的演算和图形的绘制。著名数学家欧拉称得上是实验专家，对于一个猜想，他会想方设法证明，如果找不到证明，他将会做大量的实验或加以验证或找出反例。著名的蒲丰“投针问题”就是用“投针”实验的方法求得圆周率的。但过去多数的数学实验是借助于一只笔，几张纸完成的，那时没有数学实验室的提法。随着科学技术的进步以及人们面临数学问题的复杂性，许多数学实验靠手工完成不仅困难甚至根本不可能。这时计算机显示了超凡的威力。它的快速计算和绘制图形的功能得到了数学家的青睐。任意改变参数，计算机能迅速显示结果，许多应用数学问题一下子获得了突破性进展。例如困扰了数学家多年的“地图四色”问题得到了机器证明。一些新的数学分支的研究借助于计算机诞生了，如开创了20世纪数学重要阶段的分形几何学等。计算机成了数学家不可缺少的工具，成了他们离不开的数学实验室。那么，几何教学是否需要这样的实验室，几何画板又能否成为学生学几何的实验室呢?面对几何教学的现状，我认为有这种必要性和可能性。让学生用背定义、背定理的方法学几何，根本不符合学生的心理特点与认知规律。过去有一些数学教育家提出实验几何的构想，让孩子通过实验经历一下发现的过程。然而限于技术手段，实验几何实施起来有一定困难，主要困难是画图与测量。现在借助于几何画板，这些困难得到很大程度上的克服，画图与测量变得相对容易。教师只需考虑如何在这种环境下组织教学，至多是利用这些平台做一些二次开发。可以说计算机技术的突飞猛进给数学研究和数学教学提供了理想的实验室。人们可以在计算机上验证自己的数学猜想，通过改变有关的参数或改变图形进行数学实验，提出和发现新问题，这对于几何教学改革的影响很可能是深远的。2、几何画板在教学中的应用举例几何画板不同于一般的软件如PowerPoint，Authorware、Flash等，它没有色彩鲜艳的画面,也不能插入音乐,教学内容的导入导出缺少变化，它画面洁白简单，朴素无华。但几何画板在几何教学应用中的针对性很强，利用几何画板可以引导学生探索几何奥秘，在动态地保持几何关系的基础上，可以发现恒定不变的几何规律。凡运用过多媒体进行过数学教学的教师都知道：并不是所有的数学课都需要计算机辅助教学，一个合适的课题必需满足两个标准：一是计算机辅助与其它手段相比更优越，二是能够弥补传统教学的不足以及能对教学过程起到真正的辅助作用。17而使用几何画板制作课件，我认为在上述基础上更倾向于函数图象和初中的平面几何问题。1 用几何画板帮助学生辨析概念几何画板是一个教学工具，给数学教学提供了现代化的教学手段。以往不容易讲清楚的教学概念适当使用几何画板，可能容易使学生理解，从而提高了教学效果。对于许多采用发生式定义的几何概念，用传统的教学方法很难清晰地描述出它们的成过程。而采用几何画板的动态功能就能弥补这样的不足，从而给学生一个深刻而又清晰的几何概念。如教学圆的概念时，利用几何画板画出一条线段后，将其中一个端点标记为中心，并追踪的这个端点时，它就会绕着标记中心（即圆心）作圆周运动，并留下清晰的图形，这个图形就是圆。当用点的轨迹来定义圆时，可以在平面上任取一定点（作为圆心），再作一线段（定长）。以定点和定长作一个圆，并在圆上任取一动点，设置动点绕着圆周慢速“动画”一次，并追综动点。接着隐藏圆，并计算出动点到定点的距离。当双击动画按钮时，动点绕着定点运动一周，并留下轨迹圆。在动点运动的过程中，可以看到动、定点之间的距离始终不变。还可以改变定长，重复演示。以上直观的演示，不但给学生一个清晰的圆的形成过程，而且学生对圆的概念理解得透彻，记得牢。解析几何中有些概念容易混淆，需要辨析。椭圆的离心角（下图以OA为终边的角）与旋转角（椭圆的半径与x轴的正半轴所成的角）是学生容易混淆的两个概念。几何画板能动态地显示这两角的关系。如下图，当您缓慢拖动主动点A绕着点O转动时，左上角显示出这两个角的大小都在改变。可以十分清楚地看出：在第一象限时，XOM；当A拖动到y轴的正向时，=XOM=90o；继续拖动XOM(A在第二象限)；当A拖动到y轴的负向时，=XOM=180o；不必继续，一个高二的学生自然知道：与XOM有四次“相等”，其他都不等；可以用椭圆离心角的范围来表示椭圆弧。2 数形结合，变抽象为具体，加深对知识的理解数学家华罗庚说过：“数缺少形时少直觉，形缺少数时难入微”。“数形结合”是学习数学的重要方法，用图形解释抽象的数学现象形象、直观。18在数学的学习过程中，有些知识太抽象，使学生只记住一些理论、符号、公式，而对具体事实及事物的本质特征没有完全感知，使感性与理性脱节。在立体几何教学中尤为明显，对于线面、面面等的相互关系及一些空间常见的几何体如柱、锥、球等的认识肤浅，我们可以做出一些相应的动画，让学生充分感受它们。几何中“数”与“形”的关系是几何中的重要内容。几何图形的许多计算往往离不开特定的“形”，而图形之间又通过“数”建立起特定的“形”。19由于几何画板能够在动态的情况下保持图形的性质并且能够实时地显示出图形的数量，所以它能够准确地体现几何图形的“数”、“形”关系。如，两圆的位置关系和两圆的圆心距之间的关系通过两圆的位置的移动和圆心距之间的变化，能够很好体现二者的关系。例如在讲授“球的体积公式”时，可以利用几何画板将“分点无限增加”的细分过程，；用动态图形鲜明、生动、形象地展示在屏幕上，学生可以清晰地看到：随着分点的不断增加，小棱锥的底面积之和就接近球的表面积，小棱锥的体积之和就接近球的体积的事实。使运动直观化，深化数学思想在解析几何教学中，点的运动变化是重点，传统的“粉笔加黑板”的教学手段难以“动态处理”，学生难以形成良好的运动观，在这些内容中，应该充分利用计算机技术，将数形结合起来，使动点的运动过程活生生的展现在学生面前，使学生从观察动点的变化过程中发现规律。几何画板中的动画、追踪轨迹等功能就恰好填补了探索动点运动规律的空白，为轨迹教学提供了有效的手段。例如在解析几何“曲线方程”的教学中，学生看到了引起动点运动的原因，看到了“动点”真的动了起来了，看到了轨迹形成的过程。再比如对于圆锥曲线的第二定义教学，可以借助几何画板来分别演示当离心率0e1时的曲线变化情况。如下图：当您拖动点A时，离心率e会随之变化，当e取大于1、等于1、小于1时，双击“动画”按钮可分别得到双曲线、抛物线、椭圆三种不同曲线。使学生们不仅知道了事物的来龙去脉，还在理解中进行了归纳和记忆。进行题组教学，优化解题过程，使学生印象深刻几何画板因其操作简便能即时改变题目进行变式练习，把一些类似但又不相同的题目同时进行教学，通过对比教学，达到较好的教学效果。例如：以四边形各边的中点为顶点的四边形称为中点四形，求证任意四边形的中点四边形是平四边形。如右图：在几何画板里，拖动点四边形的顶点A，改变四边形的形状和大小，从图形上面的度量值都可以得到，四边形的两组对边都相等。从而可以得到任意四边形的中点四边形是平行四边形。在上图中，改变AC和BD的长度，使AC=BD，则可得到对角线相等的中点四边形是菱形。在任意四边形的中点四边形的图形中，改变AC和BF的位置