北京市2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：数列.doc

北京市2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练数列一、选择、填空题1、（2018北京高考）设是等差数列，且，则的通项公式为 。2、（2017北京高考）若等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a4=b4=8，则=_3、（2016北京高考）已知为等差数列，为其前项和，若，则_.4、（朝阳区2018届高三3月综合练习（一模）等比数列满足如下条件：；数列的前项和 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 5、（东城区2018届高三5月综合练习（二模）设等比数列的公比，前n项和为Sn，则=_6、（丰台区2018届高三5月综合练习（二模）已知等比数列中，则数列的前5项和 7、（海淀区2018届高三上学期期末考试）已知公差为的等差数列中，成等比数列，则的前100项的和为 8、（石景山区2018届高三3月统一测试（一模）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为_9、（西城区2018届高三4月统一测试（一模）设等差数列的前项和为若，则_；_10、（海淀区2018届高三上学期期中考试）已知数列满足，则（）（A）（B）（C）（D）11、（2018顺义区二模）已知为等差数列，为其前项和，若，则_.12、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知等差数列的前n项和为若，则= ， 13、（朝阳区2017届高三上学期期中）各项均为正数的等比数列的前项和为.若，则 ， 14、（丰台区2017届高三上学期期末）在等比数列中，9，则等于（A）9（B）72（C）9或72（D） 9或7215、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列的前项和，则_.二、解答题1、（2017北京高考）设an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n,b2a2n,bnann(n=1,2,3,)，其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数（）若an=n，bn=2n1，求c1,c2,c3的值，并证明cn是等差数列；（）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列。2、（2016北京高考） 设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则的元素个数不小于 -.3、（东城区2018届高三5月综合练习（二模）设均是正整数，数列满足：，（I）若，写出的值；（II）若，为给定的正奇数，求证：若为奇数，则；若为偶数，则；（III）在（II）的条件下，求证：存在正整数，使得.4、（丰台区2018届高三5月综合练习（二模）已知数列的前项和为，当时， 其中，是数列的前项中的数对的个数，是数列的前项中的数对的个数（）若，求，的值；（）若为常数，求的取值范围；（）若数列有最大项，写出的取值范围（结论不要求证明）5、（海淀区2018届高三上学期期末考试）无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数n，为前n项中等于的项的个数.（）若，请写出数列的前7项；（）求证：对于任意正整数M，必存在，使得；（）求证：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.6、（石景山区2018届高三3月统一测试（一模）对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.（）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；（）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；（）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.7、（西城区2018届高三4月统一测试（一模）数列：满足：记的前项和为，并规定定义集合，（）对数列：，求集合；（）若集合，证明：；（）给定正整数对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值8、（海淀区2018届高三上学期期中考试）已知是等比数列，满足，数列满足，且是公差为2的等差数列（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和9、（海淀区2018届高三上学期期中考试）若数列：，（）中（）且对任意的恒成立，则称数列为“数列”（）若数列，为“数列”，写出所有可能的，；（）若“数列”：，中，求的最大值；（）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，记，其中表示，这个数中最大的数，求的最小值10、（2018顺义区二模）已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“陪伴数列”.（）写出数列的“陪伴数列”；（）若的“陪伴数列”是.试证明：成等差数列.（）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明：.11、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列. （）求数列的通项公式； （）设数列的前项和为，求证:.12、（东城区2017届高三上学期期末）已知是等比数列，满足，数列是首项为，公差为的等差数列（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和13、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，且.（）求数列的通项公式；（）求取得最小值时的值.参考答案：一、选择、填空题1、2、13、64、5、6、1217、50508、9、， 10、D11、1812、13、，14、D15、24二、解答题1、解：（），.当时，所以关于单调递减.所以.所以对任意，于是，所以是等差数列.（）设数列和的公差分别为，则.所以 当时，取正整数，则当时，因此.此时，是等差数列.当时，对任意，此时，是等差数列.当时，当时，有.所以 对任意正数，取正整数，故当时，.2、如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.3、解：（I）1或12. 4分（II）当时，为奇数，成立，为偶数，.假设当时，若为奇数，则，若为偶数，则.那么当时，若是奇数，则是偶数，；若是偶数，.此时若是奇数，则满足，若是偶数，满足.即时结论也成立.综上，若为奇数，则；若为偶数，则. 9分（III）由（II）知，中总存在相等的两项.不妨设是相等两项中角标最小的两项，下证.假设.若，由知和均是由和除以2得到，即有，与的最小性矛盾；若，由知和均是由和加上得到，即有，与的最小性矛盾；综上，则.即若，是正奇数，则存在正整数，使得. 13分4、解：（）因为， 所以 ，所以 1分因为 ，所以 2分因为 ，所以 4分所以 ，（）当 时， 5分当 时，因为 ，所以 ，所以 因为 ，所以 ，所以 7分当 时，因为 ，所以 ，所以 因为 ，所以 ，所以 9分所以 时，为常数的必要条件是 当时，因为当 时，都有 ，所以当 符合题意，同理 和也都符合题意 10分所以的取值范围是 （）或 13分5、（）若，则数列的前7项为2，1，1，2，2，3，1 3分（）证法一假设存在正整数，使得对任意的，. 由题意，故数列多有个不同的取值5分 考虑数列的前项： ， 其中至少有项的取值相同，不妨设 此时有：，矛盾. 故对于任意的正整数，必存在，使得. 8分（）证法二假设存在正整数，使得对任意的，. 由题意，故数列多有个不同的取值5分 对任意的正整数，数列中至多有项的值为，事实上若数列中至少有项的值为，其项为 此时有：，矛盾. 故数列至多有项，这与数列有无穷多项矛盾。故对于任意的正整数，必存在，使得.8分（）充分性：若，则数列的项依次为， ，特别地，数列的通项公式为，即故对任意的（1）若为偶数，则（2）若为奇数，则综上，恒成立，特别地，取有当时，恒有成立（10分） 必要性： 方法一假设存在（），使得“存在，当时，恒有成立”则数列的前项为 ， 后面的项顺次为 ，故对任意的，对任意的，取，其中表示不超过的最大整数，则 ，令，则，此时，有，这与矛盾，故若存在，当时，恒有成立，必有 13分方法二 若存在，当时，恒成立，记.由第（2）问的结论可知：存在，使得（由s的定义知）不妨设是数列中第一个大于等于的项，即均小于等于s. 则.因为，所以，即且为正整数，所以.记，由数列的定义可知，在中恰有t项等于1.假设，则可设，其中，考虑这t个1的前一项，即，因为它们均为不超过s的正整数，且，所以中一定存在两项相等，将其记为a，则数列中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设不成立，所以，即必要性得证！13分 综上，“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.6、解：（）所有可能的数列为； 3分（）由题意知数列中. 又，所以 4分所以，即（） 8分（）当时，由得，又 所以，不满足题意；当时，由题意知数列中，又当时此时，而，所以等式成立；当时此时，而，所以等式成立；当，得，此时数列为. 当时，而，所以不存在满足题意的数列.综上数列依次为. 13分7、解：（）因为 ， 2分所以 3分（）由集合的定义知 ，且是使得成立的最小的k，所以 . 5分又因为 ，所以 6分 所以 8分（）因为，所以非空设集合 ，不妨设，则由（）可知 ，同理 ，且 所以 因为 ，所以的元素个数 11分 取常数数列：，并令， 则 ，适合题意，且 ，其元素个数恰为综上，的元素个数的最小值为 13分8、解：（）设数列的公比为，则2分解得，3分所以，5分令，则7分9分（）13分9、解：（），或 3分（）的最大值为，理由如下 4分一方面，注意到：对任意的，令，则且（），故对任意的恒成立（）当，时，注意到，得（）此时即，解得：，故 7分另一方面，取（），则对任意的，故数列为“数列”，此时，即符合题意综上，的最大值为65 9分（）的最小值为，证明如下： 10分当（，）时，一方面： 由（）式，此时有：故 13分另一方面，当，时，取，则，且此时综上，的最小值为14分10、（）解：. 3分（）证明：对于数列及其“陪伴数列”，因为 ， 将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，相加得 即 故所以成