第三章 地球重力场.ppt

第三章地球重力场及地球形状的基本理论 地球及其运动的基本概念地球重力场的基本理论高程系统关于测定垂线偏差和大地水准面差距的基本概念 本章要求 通过学习地球重力场的基本知识 理解地球的形状大小 地球的高程系统 1 地球的基本形状地球的实际形状很不规则 从总体情况看 地球的形状可用大地体来描述 旋转椭球 三轴椭球 梨形 体等 方便起见 通常用旋转椭球来表达地球形状 a b 地球的物理性质 引力参数 圈层参数 物理场及天文性质 3 1 地球及其运动的基本概念 一 地球概说 2 地球大气大气厚度 2000 3000km 大气质量 3 9 1021克从地面由低到高可分为 对流层 平流层 中层 电离层 热层 外层 散逸层 对流层 海平面以上40 50km 气温随高度增加而降低 空气对流 运动显著 湿度大 天气多变 平流层 对流层以上50 55km 气温不受地面影响 空气水平运动 水汽含量极少 中层 平流层以上80 85km 气温随高度增加而迅速下降 空气对流 电离层 中层顶部到800km的高空 温度随高度增加而急剧上升 大部分空气被电离 对电磁波的传播影响较大 外层 电离层一上 空气十分稀薄 受地球引力小 1 地球自转地球自转的线速度 2 地球公转 地球公转遵循开普勒三定律和万有引力定律 开普勒三大行星定律a 行星运行的轨道是一个椭圆 而该椭圆的一个焦点与太阳的质心相重合 二 地球运动概说 b 行星质心与太阳质心间的距离向量 在相同的时间内所扫过的面积相等 即面积 速度 s t 常数 c 行星运动周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为常量 牛顿万有引力定律 宇宙中任意两个质点都彼此互相吸引 引力的大小与它们的质量的乘积成正比 与它们的距离平方成反比 是在开普勒三定律基础上推导来的 其包含了开普勒三定律 3 地球基本参数 1 几何参数长半径 a 6378 164km扁率 1 298 257 2 物理参数自转速度 7 29211515 10 5rad s二阶带球谐系数 J2 1082 64 10 6地心引力常数 GM 398603km3 s2 二 引力与离心力 1 地球重力为F与P的和向量 3 2 地球重力场的基本理论 一 地球重力场研究的意义 3 离心力 2 引力FM为地球质量 m为质点质量 f为万有引力常数 r为质点到地心的距离 三 引力位和离心力位1 位函数 位函数 通俗地讲 即在一个参考坐标系中 位函数表示被作用点的位能大小 借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的 位函数的性质位函是标量函数 可对各分量求和 也可对某个质体进行积分 V V Q 其对三个坐标方向的一阶导数的数值等于作用力在该方向上的分力大小 2 引力位 质点M的引力位对于质量为M的球体表面附近一点m 其引力为 若两质点间的距离在力的方向有一个微分变量dr 则必做功 用V表示引力位能 此功必等于位能的减少 对上式积分 则得位能 引力位或位函数 取质点m的质量为单位质量则有 此函数则为质点M的引力位或引力位函数 地球的引力位函数地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体 dmi 位函数 dVi 之和 对整个地球而言 则有 引力位函数的偏导数与引力 加速度根据牛顿力学第二定律 上式表明 引力位梯度在数值上等于单位质点受r处质体M吸引而形成的加速度值 单位质点所受引力在数值上就等于加速度 此定理可扩展至三维坐标系中 若设加速度的模a a x a y a z 为a与各坐标轴之间的夹角 则ax acos a x ay acos a y az acos a z 空间直角坐标系中 引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度 或引力 向量的负值 引力位的物理意义引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差 在某一位置处 质点的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点所做功 假设无穷远处V 0 引力位符号的习惯用法地球物理 大地测量学 由于位函数是一个标量 符号正负不影响计算 故因此教材相应定理在描述时 存在一个符号上的差别见书上P58 59 本课程后续内容采用作为引力位表达函数 3 离心力位 质点M的离心力位m绕M旋转所受离心力 若两质点间的距离在力的方向有一个微分变量dr 则必做功 用Q表示离心力位能 此功必等于位能的减少 对上式积分 则得离心力位能 离心力位或位函数 取质点m的质量为单位质量则有 此函数则为质点M的离心力位或位函数 由于为标量 去掉负号 上式表明 坐标对时间的二阶导数就是单位质点的离心加速度 离心加速度即向心加速度 指向圆心 但此处与前一种推导方法相差一个负号 离心力位函数的另一种推导 由加速度求离心力位 故离心力位公式 离心力位Q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向量的负值 离心力位函数的特性 1 其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量的负值 2 其二阶导数为布阿桑算子 四 重力位1 重力位位函数是标函数 重力是引力和离心力的合力 则重力位就是引力位和离心力位之和 W V Q 2 重力位的特性 1 重力位对三坐标标求偏导则得重力分量或重力加速度分量 对任意方向的偏导数等于重力g在该方向的分力 g l 为重力g与l的夹角 重力单位 由于对单位质点 作用在它上面的重力值等于其重力加速度 故采用加速度单位作为重力量纲 即伽 cm s2 当g与l相垂直时 即 g l 900dw 0 有W 常数 当取不同常数时 就得到一簇曲面 称重力等位面 也就是水准面 有无数个 其中 完全静止的海水面所形成的重力等位面 称大地水准面 当g与l夹角为0时 即 g l 00 则有dw gdla 若dW 0 必有dl 0 说明水准面之间不相交和相切 b 若dW C 由于各处重力g不同 因而各处的dl也不同 说明水准面之间不平行 2 调和函数 谐函数 二阶偏导数之和为零 满足拉普拉斯方程的函数 上式又称拉普拉斯方程 V又称拉普拉斯算子 表明原函数可展开为球谐函数 引力位函数是调和函数 因为 故引力位函数可展开成谐函数 重力位函数不是调和函数 谐函数 因其二阶导数不为零 不满足拉普拉斯方程 对地球外部点有 对地球内部点有 性能指标 LaCoste RombergG型重力仪 美国 其测量精度为40微伽 特点 精度高 观测时间短 体积小重量轻 3 2kg 观测成果计算简单 五 地球的正常重力位和正常重力学习思路 推导地球某点的地球重力计算公式 返过来 将地面点至地心距离表达为重力及其它地球物理参数 得到地球形状 作为建立高程系统的基础1 地球重力位计算的复杂性形状不规则 质量密度分极其不均匀 因而无法用以下重力位公式精确求得其重力 2 正常椭球 一个形状和质量分布规则 接近于实际地球的旋转椭球 它产生的重力场称为正常重力场 正常重力场的等位面称为正常水准面 因为正常椭球面是一个正常水准面 所以正常椭球又称水准椭球 正常 地球 椭球是一个假想的球体 是一个理想化的椭球体 正常重力位U 近似的地球重力位 是一个函数简单 不涉及地球形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位 扰动位T 地球实际重力位W与正常重力位U之差 T W U根据扰动位T可求出大地水准面与正常水准面之差 便可最终解决地球重力位和形状的问题 3 勒让德多项式 将 x2 1 n按二项式定理展开有 P65 1 勒让德多项式 递推公式 令x cos 则有 2 缔合 伴随 勒让德多项式 其中 n表示阶 K表示次 当K 0时即为勒让德多项式 令x cos 则有 4 地球引力位的数学表达式 1 用地球惯性矩表达引力位的数学表达式 X y z 矩的概念 物理量 质体的K阶矩定义为 零阶矩 一阶矩 质体对三个坐标面的一阶矩分别等于质体质心的三个坐标与质体质量的乘积 二阶矩 质体对坐标原点的转动惯量 惯性矩 质体对三个坐标面的转动惯量为 质体对三个坐标轴的转动惯量为 对于坐标面的转动惯量与对于坐标轴的转动惯量之间的关系为 空间点S的坐标 x y z 地面质点dm的坐标 xm ym zm 则有地球 质体 在S的引力位为 再将 代入 按 R r 合并集项得 引力位函数 有 用级数展开 再代入 将 勒让德多项式 讨论前三项 以前三项作为引力位计算的近似值 可见 V0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位 先看v0 再讨论v1 为R r之间的夹角 上式两边同除以地球质量M 又因为 为地球质心坐标 以地球质心为坐标系的原点 故有 x0 0y0 0z0 0因而v1 0 最后看v2 将 代入下式 用A B C表示质点M对x y z轴的转动惯量 用D E F表示惯性 离心力矩 即 若用球面坐标表示 作如下变换 则 仿此推求Vi 代入下式 便可得地球引力位的计算式 地球引力位的计算式 取前三项 根据全球重力测量和卫星大地测量的结果 可以确定地球的总质量和地球的平均密度 配合天文测量结果 可以求出地球绕其自转轴的转动惯量 2 用球谐函数表达地球引力位 则第n阶地球引力位公式为 球谐函数 a 主球函数 勒让德多项式Pn cos 称为n阶主球函数 或带球函数 b 缔合球函数 cosK PKn cos 及sinK PKn cos 称为缔合球函数 其中 则用球谐函数表示的第n阶地球引力位公式为 由上述可得用球谐函数表示的地球引力位公式 其中球谐系数An AnK BnK称为斯托克司常数 当n 2时 是二阶矩A B C D E的函数 进一步相关知识可参考 物理大地测量 5 地球正常重力位 则重力位公式为 取前三项 作为正常重力位表达式 又物理学知 令 则有 设赤道半径为ae 赤道上重力为ge 一般被吸引点离地面很近 可认为r ae 将赤道上重力ge用引力fM ae2代替 令 那么正常重力位公式可写成如下形式 如果取 可得 6 正常位水准面方程式 令U U0即 由正常重力位公式 知 当U 常数时 便确定了一个水准面 我们将赤道上一点的重力作为常数 此时 因而可得 则可得正常位水准面方程式 又 这是一个旋转椭球的方程式 其表面是一个水准面 所以又称水准椭球 也称正常椭球 到此 我们可知 通过研究地球的重力 便可确定地球的形状与大小 7 正常重力公式 我们知道 位函数在某方向的导数就是该方向力 加速度 的分量 那么重力位函数在铅垂方向的导数就是重力加速度 类似重力位W 正常重力位U也有下式 n为正常水准面法线 若忽略n与r的方向差异 则有 表示正常重力 1 正常重力公式 2 赤道上的正常重力与两极的重力公式 时 可得两极上的正常重力 当 克莱罗定律 重力扁率为 略去二次项可得 b 顾及扁率级的正常重力公式 经整理得 其中 a 重力扁率 3 几种常用的正常重力公式 伽 c 顾及扁率平方的正常重力公式 d 闭合形式的正常重力公式 索密里安公式 斯托克斯方法求得 4 高出椭球面H米的正常重力公式 设水准椭球为均质圆球 R其半径 则地心对地面高H的质点的引力为 地心对大地水准面上的点的引力为 两式相咸得 设地球平均正常重力为 由于H R 可将 1 H R 2用级数展开 取到二次项 可得 将地球平均正常重力和平均半径代入上式 可得 若不考虑二次项 则有 于是 可得高出椭球面H米的正常重力公式 8 正常重力场参数 根据上述关系 参数之间可相互推求 1 七个正常重力参数 2 地球大地基准常数 正常椭球的基本参数 称为地球大地基准常数 或正常椭球的基本参数 3 WGS 84地球椭球大地基准及其导出量 六 水准面 大地水准面 似大地水准面 地球椭球 1 水准面 重力等位面 具有几何性质与物理性质 1 无数个 2 复杂形状 不规则闭合 与铅垂线正交的曲面 3 水准面彼此不平行 不相交 4 每个水准面对应唯一的位能W 常数 物体在水准面上移动重力不做功 2 大地水准面 与平均海水面重合 不受潮汐 风浪及大气压影响 并延伸到大陆下面处处与铅垂线垂直的水准面 1 一个特定的重力等位面 唯一 2 其几何性质和物理性都很不规则 尚未能具体确定 因而只能用一个平均海水面代替它 大地水准面 1 与重力线垂直 是重力等位面2 通过平均海水面 2 椭球旋转椭球三轴椭球3 正常椭球 水准椭球 等位椭球 大地水准面的规则形状 一般采用水准椭球 旋转椭球 实际上 质量与地球质量相同 自转速度与地球自转速度相同的规则物体都可作为正常椭球 目前都采用水准椭球作为正常椭球 又称等位椭球 5 总地球椭球 几何上讲 1 中心与地球质心重合 短轴与地球短轴重合 起始子午面与起始天文子午面重合 质量与地球的质量相同 2 4个基本参数ae fM J2 3 与大地体最密合 要满足全球范围内与大地水准面的差距N的平方和最小 物理上讲 与大地体最为密切的正常椭球 6 参考椭球 大小与定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球 1 与本地区的大地水准面密合 表现在椭球面与本地区的大地水准面最接近及同点的法线和垂线最接近 2 定位定向大小都与总椭球不同 3 不同地区的参考椭球都不同 一 引言 3 3 高程系统 1 多值性 同一点的高程 经不同路线的观测值不同 2 不闭合性 即便水准测量没有误差 水准环线高程闭合差也不为零 为解决多值问题 必须引进高程系统 通常有以下三种 正高 正常高 力高高程系统 如图 过O B两点的水准确性面位能差是唯一的 由于水准面上各点的重力不同 水准面是不平行的 即两个等位面的间距是处处不同的 水准面的不平行性及其对高程的影响 二 正高系统 以大地水准面为高程基准面 地面点沿铅垂线到大地水准面的距离 它不随路线不同而异 则 B点的正高为 为大地水准面上C点到B点的平均重力 不能精确 式中 测定 因而正高也不能精确求得 三 正常高系统 其中 g由沿水准路线的重力测量得到 dh是水准测量的高差 正常重力公式计算得来 正常高可以精确求得 不随水准路线而异 是唯一的 我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统 1 定义 2 正常高高差的实际计算公式 正常高 高差 计算公式推导 为正常重力位不平行引起的高差改正 为重力异常引起的高差改正 又因为 所以有正常高计算公式 两点的正常高高差计算公式为 是水准测量测得的高差 第二项为正常位水准面不 其中 平行改正数 第一 二项之和称为概略高程 第三项为重力异常改正项 令 则有 可见 正常高不是地面点到大地水准面的距离 由地面点沿铅垂线向下量取正常高得到的曲面不是等位面 因而不是水准面 这个面与大地水准面极为接近 称之为似大地水准面 3 正高和正常高的差异 在山区 二者差异不超过4m 平原地区不超过0 5m 海面上两者相等 四 力高和地区力高高程系统 1 正高和正常高的缺陷性 可见 等位面不是等高面 这给某些大型工程 特别是大型水库建设的测量工作带来不便 为了解决这一矛盾 采作力高高程系统 2 力高高程系统 用纬度45 处的正常重力 45 代替 m建立的高程系统 其定义式为 用测区平均纬度处的正常重力 代替 m建立的高程系统 目的是为了使力高更接近于本地区的正常高数值 其定义式为 3 地区力高高程系统 4 力高和正常高的差异 五 我国国家的高程基准 大地水准面为水准测量的高程基准面 大地水准面与平均海水面不同 平均海水面高 大地水准面高 海面地形由于大地水准面高的确定精度 低于水准测量的精度 各国通过验潮确定一个起始高程点 作为高程基准点 不同高程起算点构成不同的系统 它们之间的高程相差可能达到米级 1 水准测量的高程基准面 局部高程基准主要采用验潮方法 我国先后采用过的验潮站有 吴淞 达门 青岛 大连等青岛验潮站的优势 位置适中 半日潮有规律 不在江河入海 海面开阔 无岛礁 海底平坦 水深10米以上 全球高程基准的统一 采用精密重力测量 确定精确的大地水准面模型 采用卫星测量确定各点精确的大地高 进而在统一的框架确定精确的正高或正常高 青岛验潮资料确定的大地水准面引测到稳固的基准点 作为全国水准测量的起算点 称为高程原点 高程原点的组成 主点 原点参考点和副点 1956国家高程基准 的原点高程 72 289m 1985国家高程基准 的原点高程 72 260m 2 水准原点 3 我国的高程系统 1 1956年黄海高程系统采用1950至1956年7月的潮汐资料推求的平均海水面2 1985黄海高程系统采用1950至1979年的潮汐资料推求的平均海水面 从1988年1月1日启用 1956年黄海高程系统 与 1985年黄海高程系统 相差2 9厘米的固定常数 H85 H56 0 029m 3 4关于测定垂线偏差和大地水准面差距的基本概念 1 关于测定垂线偏差的基本概念 1 基本概念垂线偏差 地面点重力方向与该点相应椭球面上的法线之间的夹角 用 表示 子午 南北 分量为 卯酉 东西 分量为 天文经度 包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角 天文纬度 测站垂线的与赤道面的夹角 天文方位角 包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角 天文天顶距 测站垂线与观测方向的夹角 2 球面三角定理 1 球面正弦定理 2 球面边余弦定理 3 球面角余弦定理 4 球面半角和差定理 5 球面半边和差定理 6 球面余切定理 7 边的正弦与相邻角余弦乘积定理 8 角的正弦与相邻边余弦乘积定理 3 拉普拉斯方程 1 垂线偏差在任意垂直面上的投影分量 如图 ZM任意方向 大地方位角为A 该方向垂线偏差分量为 A 直角三角形 ZZ2Z1 ZQZ1都是微小三角形 可认为是平面三角形 则有 以测站为中心作单位半径的辅助球 ZO为法线 Z1O为垂线 为垂线偏差 为其在卯酉圈上 东西方向 的分量 为其在子午圈上 南北方向 的分量 2 卯酉圈分量 与子午圈分量 的计算 在球面直角三角形 Z1Z2P中利用球面正弦定理可得 在球面直角三角形 Z1Z2P中利用球面余切定理可得 即 可见 通过垂线偏差把天文坐标和大地坐标联系起来 从而实现两种坐标的转换 3 天文天顶距Z0与大地天顶距Z的归算公式 由半边差公式有 4 拉普拉斯方程 天文方位角的归算公式由半角和公式有 4 利用坐标转换公式推导拉普拉斯方程 如图所示 xyz为大地站心坐标系 x1y1z1为天文站心坐标系 两者的关系为 1 天文和大地坐标系分别与原点在站心 坐标轴与三维空间直角坐标系指向相同的坐标系的关系如下 由上面第一式代入第二式得 略去高次项 整理得 并得出Laplace方程 顾及天文站心系 x1 y1 z1 与大地站心系 x y z 的关系 和天顶距 方位角和站心坐标的关系 将第二式代入第一式 得 将sin sinZ1 cos cosZ1在A Z处展开为级数式 并取前两项有 2 由第三式 得 由第一式或第二式 顾及上式 并略去高次项得 代入式 并略去二次以上的项 得 2 如果椭球短轴不平行与地轴 大地起始子午面不平行大地起始子午面 则还要考虑三个旋转角的影响 此时 大地经纬度和方位角与天文经纬度和方位角的关系可推广为 5 测定垂线偏差的基本方法 1 天文大地测量方法在天文大地点上 测定其大地坐标 L B 和其天文坐标 利用下式便可计算该点的垂线偏差 某点的垂线偏差等于在该点处大地水准面与参考椭球面的夹角 它在某一个方向的分量等于该方向上大地水准面与参考椭 球面的夹角 如图GPS基线AB 为大地水准面与参考椭球面的夹角 D为A B两点距离 为其高程异常 基线方向垂线偏差分量计算公式为 1 2 GPS测量方法 当A B相距不远时 垂线偏差可认为是呈线性变化 那么有 设 A B 则有 只要测出基线长D