专题十 概率统计.doc

专题十 概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法在义务教育的基础上，统计一章进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法；概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用概率为统计学的发展提供了理论基础101 概 率【知识要点】1事件与基本事件空间随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用表示2频率与概率频率：在相同的条件S下，重复n次试验，观察某个事件A是否出现，称n次试验中事件A的出现次数m为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率概率：一般的，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记做P(A)显然有0P(A)1不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间3互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A或B至少有一个发生构成的事件C称为事件A与B的并，记做CAB互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件互斥事件加法公式：如果事件A、B互斥，则事件AB发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P(AB)P(A)P(B)如果A1，A2，An两两互斥，那么事件A1A2An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件A的对立事件记作，满足P()1P(A)概率的一般加法公式(选学)：事件A和B同时发生构成的事件D，称为事件A与B的交(积)，记作DAB在古典概型中，P(AB)P(A)P(B)P(AB)4古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n个基本事件为A1，A2，An，则有P(A1A2An)1且.概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n()，随机事件A包含的基本事件数为n(A)，则p(A)，即.5几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A理解为区域的一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型几何概型的特点：(1)无限性，一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等几何概型中事件A的概率定义：，其中表示区域的几何度量，A表示子区域A的几何度量随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力【复习要求】1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；2了解两个互斥事件的概率加法公式；3理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；4了解随机数的意义，了解几何概型的意义【例题分析】例1 国家射击队的某队员射击一次，命中710环的概率如下表：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该队员射击一次，(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P(A)1P()求解解：设事件“射击一次，命中k环”为事件Ak(kN，k10)，则事件Ak彼此互斥(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，则P(A)P(A10)P(A9)0.60；(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B，则P(B)P(A10)P(A9)P(A8)0.78；(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B的对立事件，则P()1P(B)0.22【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式求解解：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)由18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)事件M由6个基本事件组成，因而.(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件由3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得.【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算33218本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A1只有一种可能，故所求概率为.例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；(2)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用两个计数原理计数做第二问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球”，“第一次摸到不是红球，第二次摸到红球”，“前两次摸到不是红球，第三次摸到红球”，显然三个事件是互斥事件解：(1)从袋中依次摸出2个球共有9872种结果，第一次摸出黑球且第二次摸出白球共有3412种结果，所求概率为.(2)设“第i次时第一次摸出红球”为事件Ai(i1、2、3)，Ai彼此互斥，则P(A1)，,所述概率为P2P(A1)P(A2)P(A3).【评析】利用古典概率求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是_(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去则两人能会面的概率是_(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为_【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解解：(1)本题可转化为：“在长为6m的线段上随机取点，恰好落在2m到4m间的概率为多少？”易求得P；(2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少？”，解得P(A)；(3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少？”解得P【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域；把随机事件A转化为与之对应的区域A；利用概率公式P(A)计算常用的几何度量包括：长度、面积、体积例5 设有关于x的一元二次方程x22axb20(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率(2)若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a、b在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解解：设事件A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab(1)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3，0b2构成事件A的区域为(a，b)| 0a3，0b2，ab所以所求的概率为【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型例6 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(B)A0.35B0.25C0.20D0.15【分析】本题的20组模拟数中，恰好两次命中(即含有两个14)的有5组：191 271 932 812 393，所得概率为0.25【评析】利用随机数模拟实验可以节约大量的人力物力利用计算机模拟求概率实质上是利用统计结果近似，需要大量实验本题若按照独立事件求得概率为0.288，与统计结果有差距，要正确理解这一差距的原因练习101一、选择题1下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的 ( )A频率就是概率B频率是客观存在的，与试验次数无关C随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D概率是随机的，在试验前不能确定2从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )A至少有一个白球，都是白球B至少有一个白球，至少有一个红球C恰有一个白球，恰有两个白球D至少有一个白球，都是红球3一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )ABCD4电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 ( )ABCD二、填空题5甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次则至少出现一个5点或6点的概率是_；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为_6一个袋中装有3个红球和n个白球，从中任取三个，已知取出的球至少有一个是白球的概率为，则n的值为_7在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率_8已知一组抛物线，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中任取的一个数从这些抛物线中任取两条，它们在x1处的切线平行的概率是_三、解答题9已知集合A4，2，0，1，3，5，在平面直角坐标系中点M(x，y)的坐标满足xA，yA计算：(1)点M恰在第二象限的概率；(2)点M不在x轴上的概率；(3)点M恰好落在区域上的概率10甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率11已知袋中有编号19的小球各一个，它们的大小相同，从中任取三个(不放回)，(1)恰好有一球编号是3的倍数的概率；(2)至少有一球编号是3的倍数的概率；(3)三个小球编号之和是3的倍数的概率专题十 统计概率练习101一、选择题1C 2C 3D 4C二、填空题5 64 7 8三、解答题9解：(1)点M的横坐标为负，有2种选法，纵坐标为正，有3种选法，共6种选法所述概率为；(2)只需点M的纵坐标不为0，所以点M的取法有30种，所求概率为；(3)符合题意的点M有(5，5)，所求概率为.10解：(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.(2)设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么,所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.11解：(1)设恰好有一球编号是3的倍数的概率为P(A)，则；(2)设3个小球的编号都不是3的倍数的概率为P(B)，则，所求概率为；(3)3个小球编号之和为3的倍数的有(1，2，3)(1，2，6)(1，3，5)(2，3，4)(1，2，9)(1，3，8)(1，4，7)(1，5，6)(2，3，7)(2，4，6)(3，4，5)(1，4，10)(1，5，9)(1，6，8)(2，3，10)(2，4，9)(2，5，8)(2，6，7)(3，4，8)(3，5，7)(4，5，6)(1，7，10)(1，8，9)(2，6，10)(2，7，9)(3，5，10)(3，6，9)(3，7，8)(4，5，9)(4，6，8)(5，6，7)(2，9，10)(3，8，10)(4，7，10)(4，8，9)(5，6，10)(5，7，9)(6，7，8)(5，9，10)(6，8，10)(7，8，9)(8，9，10)共42组所求概率为.102 统 计【知识要点】1随机抽样总体、个体、样本：把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素称为个体，从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本随机抽样：抽样时，保证每一个个体都可能被抽到，且每个个体被抽到的机会均等，满足这样条件的抽样为随机抽样简单随机抽样：从元素个数为N的总体中，不放回的抽取容量为n的样本，如果每一次抽样时，总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫简单随机抽样系统抽样：当总体个数很大时，可将总体分成均匀的若干部分，然后按照预先制定的规则从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样的方式叫做系统抽样分层抽样：当总体由有明显差异的几部分组成时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样三种抽样方法的比较：类别共同点各自特点联系适用简单随机抽样(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体个数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成2用样本的频率分布估计总体的频率分布常用频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图等统计图表来表示样本数据，观察样本数据的特征，从而估计总体的分布情况频率分布(表)直方图的画法步骤：(1)计算极差(用样本数据的最大值减去最小值)；(2)决定组数与组距(组数组距极差)；(3)决定分点；(4)列频率分布表；(5)绘制频率分布直方图易见直方图中各个小长方形面积等于相应各组的频率，所有小长方形面积之和等于1频率分布折线图：连结频率分布直方图各个长方形上边的中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：随着样本容量的增加，分组的组距不断缩小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律茎叶图：茎指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数在样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好它的突出优点是：统计图中没有原始数据的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；茎叶图可随时记录，方便表示3用样本的数字特征估计总体的数字特征样本数据的平均数：如果有n个数x1，x2，xn，那么叫做这n个数的平均数标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，其中.方差：标准差的平方s2叫做方差.4两个变量间的关系散点图：两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做散点图线性相关：若两个变量的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动，则这两个变量可近似看成具有线性相关关系回归直线方程：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心一条直线附近，则这条直线叫做这些数据点的回归直线方程，记作bxa，其中称b为回归系数最小二乘法：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数组(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，求得，这时离差最小，所求回归直线方程是这种求回归直线的方法称为最小二乘法【复习要求】1会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法；2了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点；3理解样本数据标准差的意义和作用，会计算样本数据平均数、标准差，并给出合理解释；4会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程【例题分析】例1 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组(15号，610号，196200号)若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是_，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_人【分析】由已知系统抽样的组距为5，所以相邻组间的号码相差5；由饼形图可知200名职工中，50岁以上人数；4050岁人数；40岁以下人数235，总样本为40人，分层抽样抽取每层人数比例为235解：37；20【评析】系统抽样的特征是等距，也就是只要在一组内选定号码，其余各组的号码随之选定，所选相邻号码的间隔为组距分层抽样的特征是按比例抽取，也就是每一层所选人数占总选出人数的比例与每层人数占总人数的比例相等抽样是统计分析的重要部分，最常用的抽样方法是简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，抽样时每个个体被抽到的可能性相等简单随机抽样常用抽签法和随机数表法例2 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命(h)100，200)200，300)300，400)400，500)500，600)个数(个)2030804030(1)列出频率分布表：(2)画出频率分布直方图；(3)估计电子元件寿命在100，400)以内的概率；(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率【分析】按要求列表、绘图，并用样本的分布估计总体的分布解：(1)频率分布表：寿命(h)频数频率100，200)200.10200，300)300.15300，400)800.40400，500)400.20寿命(h)频数频率500，600)300.15合计2001.00(2)(3)P0.100.150.400.65(4)P10.650.35【评析】频率分布表和频率分布直方图是用统计的方法对样本数据加以概括和总结列频数分布表时，要区分频数和频率的意义，画频率分布直方图时要注意横、纵坐标代表的意义和单位频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，常用样本数据落在某个范围的频率估计总体落在这个范围的概率频率分布直方图中众数是最高矩形中点的横坐标，中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标例3 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：_；_【分析】抽样数据比较分散，很难观察数据的分布特征，通过茎叶图展现了样本数据的分布通过茎叶图可观察出平均数、众数、中位数，数据分布的对称性等，由于茎叶图保留了原始数据，还可计算平均数、方差、标准差解：(可任选两个作答)(1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；(2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中)(3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm；(4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)，甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，其分布较均匀【评析】茎叶图是统计图表的一种，它具有统计图表的一般功能：通过样本的数据分布推断总体的分布，通过样本的数字特征估计总体的数字特征本题中的统计结论是指用样本的特征估计总体特征得到的结论例4 图甲是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、Am(如A2表示身高(单位：cm)在150，155)内的学生人数)图乙是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图现要统计身高在160180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是_图甲 图乙【分析】条形图的横坐标是身高，纵坐标为每个身高区间内的人数条形图没有提供具体的数据信息程序框图的算法含义是统计160，180)内学生人数，即求A4A5A6A7的和解：i8或i7【评析】设计算法利用计算机完成数据的统计工作，是实际统计工作中经常应用的除了可以完成计数工作外，还可排序、求最值，利用公式进行各种计算等将算法和统计一起考查是新课程的一个特色例5 甲、乙两位运动员在相同的条件下分别射击10次，记录各次命中环数如下：甲：8，8，6，8，6，5，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，6，8，6，8，7(1)分别计算他们射击环数的平均数及标准差；(2)判断他们射击水平谁高，谁的射击情况更稳定？【分析】平均数、标准差分别反映了两个选手的射击水平和稳定程度，平均数越高说明选手射击水平越高，标准差越小说明选手发挥越稳定解：(1)甲的平均数为7.1，标准差为1.758；乙的平均数为7.1，标准差为1.136(2)从平均值上看，两人的水平相当；从标准差上看，乙的情况更稳定【评析】平均数反映的是平均水平的高低，方差和标准差反映的是数据的离散程度如果样本数据中每个数都增加数a，则它的平均数也增加a，但是它的标准差不变，因为数据的离散程度没有变化由于方差与原始数据的单位不同，而且可能夸大了偏离程度，实际解决问题中常采用标准差例6 假定关于某设备的使用年限x和所支出费用y(万元)，有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0(1)请画出上表数据的散点图；(2)根据上表数据，用最小二乘法求出线性回归方程；(3)估计使用10年时，维修费用是多少？【分析】利用描点法画出散点图，再用公式求得回归直线方程，取x10求得结果解：(1)散点图如右图；(2)y0.081.23x；(3)12.38【评析】判断两个变量有无相关关系时，散点图直观简便，这是一道应用问题，通过回归直线方程分析使用年限和维修费用的关系例7 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)(1)A类工人和B类工人各抽查多少工人？(2)从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2表1：生产能力分组100，110)110，120)120，130)130，140)140，150)人数48x53表2：生产能力分组110，120)120，130)130，140)140，150)人数6y3618(1)先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)图1 A类工人生产能力的频率分布直方图 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图(2)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)【分析】第一问考查分层抽样，第二问考查频率分布直方图的画法和作用，同时考查样本平均数的求法解：(1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名(2)由48x5325，得x5；6y361875，得y15频率分布直方图如下：A类工人生产能力的频率分布直方图B类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小,.A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1【评析】本题是一道综合应用题，通过语言叙述和图表给出信息频率分布直方图反映了数据分布的情况，在学习中要深入理解练习102一、选择题1某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是 ( )A简单随机抽样法B抽签法C随机数表法D分层抽样法2从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，若采用系统抽样法，则抽样间隔为 ( )ABnCD13下图是根据山东统计年整2007中的资料做成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 ( )A304.6B303.6C302.6D301.64甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 ( )As3s1s2Bs2s1s3Cs1s2s3Ds2s3s1二、填空题5要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，800，利用随机数表抽取样本，从第7行第1个数开始，依次向右，再到下一行，继续从左到右请问选出的第七袋牛奶的标号是_(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行)16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 286为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量产品数量的分组区间为45，55)，55，65)，65，75)，75，85)，85，95)，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在55，75)的人数是_7将一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数、频率分别为30、0.25，则n的值为_8随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，an则如图所示的程序框图输出的s_，s表示的样本的数字特征是_三、解答题9甲、乙两个车间分别制作一种零件，在自动包装传送带上每隔10分钟抽取一件产品，测其质量，分别记录抽查的数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99；乙：105，102，97，92，96，101，107(1)这种抽样方法是什么抽样？(2)估计甲、乙两车间产品质量的平均值和方差，并分析哪个车间的产品较稳定；(3)如果产品质量在区间(95，105)内为合格，那么这个工厂生产的产品合格率为多少？10下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程bxa；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32.5435464.566.5)练习102一、选择题1D 2D 3B 4B二、填空题5744 613 7120 8，n个数的平均数三、解答题9解：(1)这种抽样为系统抽样；(2)甲的平均值为100，方差为3.4；乙的平均值为100，方差为24；由此判断，甲车间的产品质量较稳定；(3)在区间(95，105)(不含95，105)的产品有11个，估计产品合格率为78.610(1)(2)0.7x0.35(3)19.65习题10一、选择题1从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 ( )ABCD2ABCD是长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到0的距离大于1的概率为 ( )ABCD 3为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如下图所示根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为 ( )A300B360C420D4504将一组数据中的每一个数据都减去10得到一组新的数据，如果这组新数据的平均数和方差分别为1.2和0.4，那么原来这组数据的平均数和方差分别为 ( )A1.2，0.4B2.2，1.4C0.2，0.4D2.2，0.45某地区调查了29岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)和年龄x(岁)的回归模型为8.25x60.13，下列叙述正确的是 ( )A该地区一个10岁儿童的身高为142.63cmB该地区29岁的儿童每年身高增长约8.25cmC该地区9岁儿童的平均身高为134.38cmD利用这个模型可以准确预算出该地区每个29岁儿童的身高二、填空题6在平面直角坐标系中，从六个点：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_(结果用分数表示)7已知(k，1)，(2，4)，若k为满足|5的一个随机整数，则ABC是一个直角三角形的概率为_8在某地的奥运火炬