2011届高三数学数列求和.ppt

第四节数列求和 数列求和的常用方法 1 公式法 直接利用等差 等比数列的前n项和公式求和 一些常见的数列的前n项和a 1 2 3 4 n b 12 22 32 n2 c 2 4 6 2n n n 1 d 1 3 5 2n 1 n2 e 13 23 n3 2 倒序相加法如果一个数列 an 首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 如等差数列的前n项和即是用此法推导的 3 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 如等比数列的前n项和就是用此法推导的 4 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 5 分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成 则求和时可用分组求和法 分别求和而后相加减 6 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5 050 答案 B2 已知数列 an 的通项公式是an 其前n项和Sn 则项数n等于 A 13B 10C 9D 6 答案 D3 数列 1 n n 的前2010项的和S2010为 A 2010B 1005C 2010D 1005 解析 方法一 S2010 1 2 3 4 2007 2008 2009 2010 1 3 5 2009 2 4 6 2010 1005 方法二 S2010 1 2 3 4 5 6 2009 2010 1 2 3 4 5 6 2009 2010 1 1 1 1 1 1 1005 1005个1 答案 D4 已知等比数列 an 中 a1 a2 a3 4 a2 a3 a4 2 则a3 a4 a5 a6 a7 a8 解析 由已知得q 所以a3 a4 a5 a2 a3 a4 q 2 1 a6 a7 a8 a3 a4 a5 q3 1 3 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 答案 5 等差数列 an 的前n项和为Sn 且a1 2009 2 则S2009 答案 2009 已知数列 an 的前n项是3 2 1 6 22 1 9 23 1 12 24 1 写出数列 an 的通项并求其前n项和Sn 自主探究 由已知得 数列 an 的通项公式为an 3n 2n 1 3n 1 2n Sn a1 a2 an 2 5 3n 1 2 22 2n n 3n 1 2n 1 2 方法点评 1 数列求和应从通项入手 若无通项 则先求通项 然后通过对通项变形 转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之 2 常见类型及方法 1 an kn b 利用等差数列前n项和公式直接求解 2 an a qn 1 利用等比数列前n项和公式直接求解 3 an bn cn 数列 bn cn 是等比数列或等差数列 采用分组求和法求 an 的前n项和 特别提醒 应用等比数列前n项和公式时 要注意公比q的取值 1 已知数列 an 是等比数列 bn 是等差数列 且b1 0 数列 cn 满足cn an bn 它的前4项依次是1 a 2a 2 求数列 cn 的前n项和 解析 设数列 an 的首项是a1 公比是q 则an a1qn 1 设数列 bn 的公差是d 则bn n 1 d 由已知 得 解得a1 1 q 2 d 2 Sn a1 b1 a2 b2 an bn a1 a2 an b1 b2 bn 2n n2 n 1 已知数列 an 满足a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 是首项为1 公比为a的等比数列 1 求an 2 如果a 2 bn 2n 1 an 求数列 bn 的前n项和Sn 思路点拨 1 根据题意得到表达式 再用累加法求通项 2 利用错位相减法求和 自主探究 1 由a1 1 当n 2时 an an 1 an 1 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 a a2 an 1 当a 1时 an n 当a 1时 an an 2 a 2 an 2n 1 bn 2n 1 an 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2n 1 Sn b1 b2 bn 2 3 22 5 23 2n 1 2n 1 3 5 2n 1 令Tn 2 3 22 5 23 2n 1 2n 则2Tn 22 3 23 5 24 2n 3 2n 2n 1 2n 1 得 Tn 2 2 22 2 23 2 2n 2n 1 2n 1 2 2 22 23 2n 2n 1 2n 1 2 2 2n 1 2n 1 2 2n 2 8 2n 1 2n 1 6 3 2n 2n 1 Tn 2n 3 2n 1 6 Sn 2n 3 2n 1 6 2n 3 2n 1 n2 6 方法点评 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法 2 用乘公比错位相减法求和时 应注意 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 Sn qSn 的表达式 特别提醒 利用错位相减法求和时 转化为等比数列求和 若公比是个参数 字母 则应先对参数加以讨论 一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和 已知数列 an 的通项公式为an log2 n N 设其前n项和为Sn bn Sn Sn 1 2bn的前n项和为Tn 1 求Sn 2 求Tn 思路点拨 利用对数运算法则即可求Sn 通过变形运算利用裂项相消法可求Tn 自主探究 1 方法一 an log2 log2 n 1 log2 n 2 Sn log22 log23 log23 log24 log2 n 1 log2 n 2 1 log2 n 2 Sn 1 log2 n 2 log2 方法点评 1 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 再就是将通项公式裂项后 有时候需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 2 一般情况如下 若 an 是等差数列 则 此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和 3 常见的拆项公式有 3 在数列 an 中 an 又bn 求数列 bn 的前n项和Sn 1 2009年重庆高考 设 an 是公差不为0的等差数列 a1 2且a1 a3 a6成等比数列 则 an 的前n项和Sn 解析 由题意知设等差数列公差为d 则a1 2 a3 2 2d a6 2 5d 又 a1 a3 a6成等比数列 a32 a1a6 即 2 2d 2 2 2 5d 整理得2d2 d 0 d 0 d Sn na1 d 故选A 答案 A2 2009年江西高考 数列 an 的通项an n2 cos2 sin2 其前n项和为Sn 则S30为 A 470B 490C 495D 510 解析 注意到an n2cos 且函数y cos的最小正周期是3 因此当n是正整数时 an an 1 an 2 n2 n 1 2 n 2 2 3n 其中n 1 4 7 S30 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a28 a29 a30 3 1 3 4 3 28 3 10 470 选A 答案 A3 2009年山东高考 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知对任意的n N 点 n Sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2 当b 2时 记bn n N 求数列 bn 的前n项和Tn 解析 1 由题意 Sn bn r 当n 2时 Sn 1 bn 1 r 所以an Sn Sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以n 2时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 b 即 b 解得r 1 2 由 1 知 n N an b 1 bn 1 2n 1 所以bn 4 2009年全国 在数列 an 中 a1 1 an 1 1 设bn 求数列 bn 的通项公式 2 求数列 an 的前n项和Sn 解析 1 由已知得b1 a1 1 且 即bn 1 bn 从而b2 b1 b3 b2 bn bn 1 n 2 1 求数列 an 的前n项和Sn 通常要掌握以下方法 1 若数列可判定是等差数列或等比数列 可直接由公式求和 但要注意公比q 1和q 1的讨论 2 分组转化法 把数列的每一项分成两项 或把数列的项重新组合 或把整个数列分成两部分 使其转化成等差或等比数列 这一求和的方法称为分组转化法 3 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成 此时求和可采用错位相减法 4 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差 则数列的每一项都可按此法拆成两项之差 在求和时一些正负项相互抵消 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和 这一求和方法称为裂项相消法 5 倒序相加法 如