2017届高三数学复习圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题课时训练理.docx

第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题2范围问题1,3,6证明问题4,5,71.已知抛物线:x2=2py和点M(2,2),若抛物线上存在不同两点A,B满足+=0.(1)求实数p的取值范围;(2)当p=2时,抛物线上是否存在异于A,B的点C,使得经过A,B,C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)不妨设A(x1, ),B(x2, ),且x1(x1x2),即8p8,所以p1,即p的取值范围为(1,+).(2)当p=2时,由(1)求得A,B的坐标分别为(0,0),(4,4).假设抛物线上存在点C(t, ) (t0且t4),使得经过A,B,C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线.设经过A,B,C三点的圆N的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则整理得t3+4(E+4)t-16(E+8)=0.因为函数y=的导数为y=,所以抛物线在点C(t, )处的切线的斜率为,所以经过A,B,C三点的圆N在点C(t, )处的切线斜率为,且该切线与直线NC垂直.因为t0,所以直线NC的斜率存在.因为圆心N的坐标为(-,-),所以=-,即t3+2(E+4)t-4(E+8)=0.因为t0,由消去E,得t3-6t2+32=0,即(t-4)2(t+2)=0,因为t4,所以t=-2.故满足题设的点C存在,其坐标为(-2,1).2.(2015高考浙江卷)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称. (1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解:(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得(+)x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以=-2b2+2+0,将线段AB中点M(,)代入直线方程y=mx+,解得b=-.由得m.(2)令t=(-,0)(0, ),则|AB|=,且O到直线AB的距离为d=.设AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|d=.当且仅当t2=时,等号成立.故AOB面积的最大值为.3.已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线(不与x轴重合)交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.解:(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为e=,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2)当MNx轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k0).由消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1+x2=,所以x3=,y3=k(x3-1)=,线段MN的垂直平分线的方程为y+=-(x-).在上述方程中,令x=0,得y0=.当k0时,+4k4,当且仅当=4k,k=时等号成立.所以-y00或0b0)交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求证:+为定值;(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于,求椭圆长轴长的取值范围.(1)解:设C(x,y),由=+,可得(x,y)=(1,0)+(0,-2),所以即有代入-2=1,有x+y=1,即点C的轨迹方程为x+y=1.(2)证明:由可得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,因为以MN为直径的圆过原点O,则=0,即有x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1-+2=0,可得a2+b2-2a2b2=0,即有+=2为定值.(3)解:+=2,可得b2=.由ab0,即1,由e,则e2=,即1-,即2a2-14,又a1,所以1a,即2b0)的焦距为2,且过点1,右焦点为F2.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点. (1)求椭圆C的方程;(2)求的取值范围.解:(1)因为焦距为2,所以a2-b2=1.因为椭圆C过点(1, ),所以+=1.故a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知,当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),又F2(1,0),得=-1.当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k0),M(-,m)(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1,y1+y2=2m.由得(x1+x2)+2(y1+y2)=0,则-1+4mk=0,故k=.此时,直线PQ斜率为k1=-4m,PQ的直线方程为y-m=-4m(x+).即y=-4mx-m.联立方程组整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.设P(x3,y3),Q(x4,y4),所以x3+x4=-,x3x4=.于是=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m)=(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1=+m2+1=.由于M(-,m)在椭圆的内部,故0m2.令t=32m2+1,1t29,则=-.又1t29,所以-1b0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.(1)求椭圆C的方程;(2)过点S(0,- )的直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由消去y得x2+(2b-4)x+b2=0.因为直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,所以=(2b-4)2-4b2=0,所以b=1,因为椭圆C:+=1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,所以a=b=,故所求椭圆C的方程为+y2=1.(2)存在.理由:当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+(y+)2=()2,当l与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.由解得即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1).下面证明点T(0,1)就是所求的点.当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1);若直线l不垂直于x轴,可设直线l:y=kx-.由消去y得(18k2+9)x2-12kx-16=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则又因为=(x1,