数学人教版八年级上册13.4.课题学习《最短路径》教学设计.4.课题学习《最短路径》教学设计（黄建忠）.doc

13.4.课题学习最短路径教学设计福建省南平市水东学校 黄建忠指导老师：蔡木金 邱琴一、教材分析1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。2、目标和目标解析：（1）知识与技能：理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 （2）过程与方法：能利用轴对称、平移解决实际问题中路径最短的问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想。渗透数学建模的思想.（3）情感、态度价值观：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。体验数学学习的实用性，体会人人都学有用的数学.（4）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、学情分析：（1）认知基础.在七年级已经研究过“两点之间,线段最短”、“垂线段最短”等最短路径问题以及有关平移的基本知识,在本章的前面学生也初步掌握了作点关于某直线的对称点,所有这些内容构成了本节课的认知基础.（2）活动经验.通过初中学段一年多的学习,学生已经有了图形变换以及模型构建的意识,获得了初步的数学化之思维转化这一数学活动的经验,具备了一定的主动参与、合作交流的意识和初步的观察、分析、归纳、猜想和解决问题的能力.4、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图一、展示学习目标 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题 二、创设情景 复习引入1、 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学最短路径的问题 2、如下图：作线段AB关于直线 l 的轴对称图形学生与老师一起朗读目标。学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识.“展示学习目标”有利于学生明白本节课学习内容、学习目标明确。从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.三、自主探究 合作交流 建构新知（1）活动1：“将军饮马”问题师：唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后 . 再到B点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？ 师：相传，早在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题: l河流军营B军营A将军每天从军营A出发，先到笔直的河边L 河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 问1：观察思考，抽象为数学问题？问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线 进一步转化为：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充，如果学生有困难，教师可作如下提示：作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求 如图所示：问3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？课件展示证明过程证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知： BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC，AC +BCAC+BC即AC +BC 最短强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.活动2：尝试解决数学问题练习:如图，ABC中，A、B为两定点，C是直线l上的一动点，当C点运动到何处时，ABC的周长最短。 三、自主探究 合作交流 建构新知（2）活动4 造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）思维分析：1、如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维点拨：改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决：如图，平移A到A，使AA等于河宽，连接A交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+NB最短.师：（作图过程和理由由课件演示说明）方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”观察口答动手画直线动手连线观察口答独立思考、合作交流、汇报交流成果，口述理由.思考感悟“将军饮马”问题，把刚学过的方法经验迁移过来与老师一起看证明过程。学生独立完成，集体订正观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决各抒己见、合作与交流、流解题思路。独立完成，交流经验交流体会为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.同时对学生进行了爱国感化经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.达到轴对称知识的学以致用，注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结.培养正确的解题格式，严谨的学习态度。学以致用，及时巩固和反馈。注意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决提炼思想方法：轴对称，线段和最短经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.体会转化思想，体验轴对称知识的应用。动手体验动手作图活动4：尝试解决数学问题如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在直线a上平行移动。问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短。学生独立思考解决问题独立思考，合作交流.巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.提炼方法，为课本例题奠定基础.四、反思小结 布置作业（1）小结反思 （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些收获？ （2）作业布置、课后延伸1、如图1，等腰直角三角形ABC的边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一个动点，试在AC上确定一点P，使PB+PE的最小值。 2.如图2，E是边长为4正方形ABCD边CD上的一点，且DE等于1，试在AC上确定一点P，使PD+PE的和最小。3.如图3，四边形ABCD中，BAD=120，B=D=90,在BC，CD上分别找一点M、N，使得AMN周长最小.自由发言,相互借鉴.自我评价.学生独立思考解决问题总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.巩固所学知识，并关注学生的个体差异. 13.4 最短路径问题两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”板书设计：13.4课题学习最短路径问题导学案（学生用）一、复习1、两点的所有连线中， 最短，2、如下图：作线段AB关于直线 L 的轴对称图形二、探索新知（1）问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地到河边什么地方（用C点表示）饮马可使他所走的路线全程最短？三、运用新知（1）练习:如图，ABC中，A、B为两定点，C是直线l上的一动点，当C点运动到何处时，ABC的周长最短。四、探索新知（2）问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）五、运用新知（2） 如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在直线a上平行移动。问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短。六、巩固新知1、如图，等腰直角三角形ABC的边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一个动点，试在AC上确定一点P，使PB+PE的最小值。 2.如图，E是边长为4正方形ABCD边CD上的一点，且DE等于1，试在AC上确定一点P，使PD+PE的和最小。3.如图2，四边形ABCD中，BAD=120，B=D=90,在BC，CD上分别找一点M、N，使得AMN周长最小.点评：本课堂主要研究的是最短路径问题中的两点一线和两点两线问题。内容首先从生活中的实际问题引入，将生活中的问题抽象为数学问题，从而引出解决本节课内容的重要依据是“轴对称的性质”及“两点之间，线段最短”。教学中教师通过探究1中将“将军饮马”这一古代问题抽象成数学中研究“两点一线”中的两点同侧问题，从而使问题简化，再通过分析、引导，利用轴对称知识找到所要的点，运用“两点之间，线段最短”及通过比较“任意一点”的情形，师生共同解决本节课的教学重点。探究2中教师