初三数学定值问题专题复习.doc

苏州市2015-2016学年初三数学定值问题专题复习课前演练：一、选择题1(2015潍坊)如图，直线l是一条河，A，B两地相距5 km，A，B两地到l的距离分别为3 km，6 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是() 2.(2015甘肃)如图，A，B两个电话机离电话线l的距离分别是3米，5米，CD6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为( )A11米 B10米 C9米 D8米 （第2题图)（第3题图)3如图，ACBC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC6，BC8，AB10，则点C到点D的最短距离是()A6 B8 C. D.（第4题图) ,第5题图),第6题图)4(2015贵阳模拟)如图RtABC中，ABBC4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则BDE周长的最小值为()A2 B2 C22 D22二、填空题5如图，从直线外一点A到这条直线的所有线段中，线段_ _最短6如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由是_ _ _7如图，在等腰三角形ABC中，ABC120，P是底边AC上的一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PMPN的最小值是2，则ABC的周长是_ _,第7题图),第8题图)8如图，在菱形ABCD中，BAD60，点M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PMPB的最小值是9，则AB的长是_ _9如果P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点且PEDB，PFCA，垂足分别为E，F，则PEPF _ _,第9题图),第10题图)10如图，ABC45，BC4，BD平分ABC交AC于点D，M，N分别是BD和BC上的动点(M与B，D两点不重合，N与B，C两点不重合)，则CMMN的最小值是_ _典型例题：例1小虎家新建一间房子，要在屋外的A处安装水表，从大路边到A处怎样接水管最近？把最短的线段画出来，并简要说明道理例2等边ABC的边长是8，ADBC，E是BD的中点，M，N分别是AB，AD上的动点，求MNEN的最小值例3如图，AOB45，P是AOB内一定点，PO10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求PQR周长的最小值(要求画出示意图，写出解题过程)例4如图，在菱形ABCD中，AB4，A135，点P，M，N分别为对角线BD及边BC，CD上的动点，求PMPN的最小值例5如图，正方形ABCD的边长为4，DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，求DQPQ的最小值巩固练习：一、填空题1在半O中，点C是半圆弧AB的中点，D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点，点P是直径AB上的动点，若AB10，则PCPD的最小值是_ _.（第1题图)（第2题图) （第3题图）2(2015株洲)如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB30，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与O交于G，H两点，若O的半径为7，则GEFH的最大值为_ _3(2015莆田)如图，在反比例函数y上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直线yx上有一动点P，当P点的坐标为_ _时，PAPB有最小值二、解答题4已知点M(3，2)，N(1，1)，点P在y轴上，求使得PMN的周长最小的点P的坐标5(2015宁德)如图，AB是O的直径，AB8，点M在O上，MAB20，N是弧MB的中点，P是直径AB 上的一动点若MN1，则PMN周长的最小值为多少6(2015永州模拟)如图，已知抛物线yax2bxc经过A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H. (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，求PBC周长的最小值7小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使得APBP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B关于直线m的对称点B，(b)连接AB与直线m交于点P，则点P为所求请你参考小明的做法解决下列问题：(1)如图2，在等边ABC中，AB2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得BPPE的值最小，并求出最小值；(2)如图3，在矩形ABCD中，AB4，BC6，G为边AD上的中点，若E，F为AB边上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图3中确定点E，F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF的周长的最小值8(2015大庆)如图，抛物线yx24x5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点PCM是以CM为底的等腰三角形(1)求点P的坐标；(2)当a为多少时，四边形PMEF周长最小. 拓展提高：1（2012年苏州）如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2x4）（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PDCD的值最大？最大值是多少？2（2012年苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0x2.5（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；（2）记DGP的面积为S1，CDG的面积为S2试说明S1S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长中午作业：（分类练习）一、定值问题解1、如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？（第1题图）2、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值（2题图）（3题图）二、由运动产生的线段和差问题（最值问题）3、如图所示，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【 】A. B. C. D. 4、如图，抛物线l交x轴于点A（3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，3）将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；5、如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值回家作业：（压轴题训练）1、如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值3. （2015常州10分）如图，一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得OQB与APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由（3）若点M在直线l上，且POM=90，记OAP外接圆和OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值参考答案：课前演练：1. B；2. B；3.D；4. C；5. AD；6. 垂线段最短；7. 42；8. 6；9. ；10. 4；2. 典型例题：例1.解：如图所示：沿AB线段接水管最近，因为直线外一点与直线的所有连接线段中，垂直线段最短（例1答图）（例2答图）（例3答图）例2. 解：作点E关于AD的对称点H，过点H作HGAB于G，则MNEN的最小值是HG，RtHBG中，sin60，解得，GH3 。例3. 解：分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时PQR周长的最小值等于MN.由轴对称性质可得，OMONOP10，MOAPOA，NOBPOB，MON2AOB24590，在RtMON中，MN10，即PQR周长的最小值等于10。例4. 解：过点M作关于BD的对称点M1, 连接M1N交BD于点P，连接PM, 则PMPN的最小值就是M1N，过点C作CHAB于点H, 则M1NCH，A135，HBC45，四边形ABCD是菱形，ABBC4，由三角函数的定义有，sin45，解得，CH2，即PMPN的最小值为2 。（例4答图）（例5答图）例5.解：作D关于AE的对称点D，再过D作DPAD于P，DDAE，AFDAFD，AFAF，DAECAE，DAFDAF，D是D关于AE的对称点，ADAD4，DP即为DQPQ的最小值，四边形ABCD是正方形，DAD45，APPD，在RtAPD中，PD2AP2AD2，AD216，APPD，2PD2AD2，即2PD216，PD2，即DQPQ的最小值为2巩固练习：1. _5；2. _；3. (，)_点拨：设A点关于直线yx的对称点为A，连接AB，交直线yx为P点，此时PAPB有最小值，A点关于直线yx的对称点为A，A(3，2)，A(2，3)，设直线AB的直线解析式为ykxb，解得k，b2，直线AB解析式为yx2，联立解得x，y，即P点坐标(，)，故答案为(，)。4. 解：作出M关于y轴的对称点M，连接NM，与y轴相交于点P，则P点即为所求，设过NM两点的直线解析式为ykxb(k0)，则解得k，b，故此一次函数的解析式为yx，因为b，所以P点坐标为(0，)。5. 解：作N关于AB的对称点N，连接MN，NN， ON，OM，ON，N关于AB的对称点N， MN与AB的交点P即为PMN 周长最小时的点，N是弧MB的中点， ANOBMON20，MON60， MON为等边三角形，MNOM4, PMN周长的最小值为415（5题答图）（6题答图）（7题答图）6. 解：(1)把A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点坐标代入yax2bxc中，解得即抛物线的解析式是yx22x3 (2)如图，PBC的周长PBPCBC，BC是定值，当PBPC最小时，PBC的周长最小A，B两点关于对称轴对称，连接AC，交对称轴于点P，点P即为所求，APBP，PBC的最小周长PBPCBCACBC，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AC3，BC，PBC的最小周长3。7. 解：(1)如图2，作点E 关于AD的对称点F，交AC于点 F，连接BF，交AD 于点P，连接PE, 点P即为所求. 在等边ABC中， AB2，点E是AB 的中点，AD是高，F是AC的中点，BFAC于点F,BPPE的最小值BF(2)如图3，作点G关于AB的对称点M，在CD上截取CH1，连接MH，交AB于点E，在BE上截取EF1，连接CF，则E，F为所求，AB4，BC6, G为边AD上的中点，DGGAAM3，AEDH，MAEMDH，AE1，在RtGAE，RtCBF，RtCDG中，分别由勾股定理解得，GE，CF2，CG5, 四边形GEFC的周长的最小值GEEFFCCG125 638. 解：(1)yx24x5与y轴交于点C，点C的坐标为(0，5)又M(0，1)，PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为3，令yx24x53，解得x2，点P在第一象限，P(2，3)(2)四边形PMEF的四条边中，PM，EF长度固定，因此只要MEPF最小，则PMEF的周长将取得最小值， 将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，1)，连接PM2，与x轴交于F点，此时MEPFPM2最小，设直线PM2的解析式为ymxn，将P(2，3)，M2(1，1)代入得：，解得：，yx，当y0时，解得x.F(，0)，F(a1，0)，a，a时，四边形PMEF周长最小（8题答图）（拓展1答图）（拓展2答图）拓展提高：1. 解：（1）O与直线l相切于点A，且AB为O的直径，ABl，又PCl，ABPC，CPA=PAB，AB是O的直径，APB=90，又PCl，PCA=APB=90，PCAAPB，=，即PA2=PCAB，PC=，AB=4，PA=，RtAPB中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB=；（2）过O作OEPD，垂足为E，PD是O的弦，OEPD，PE=ED，又CEO=ECA=OAC=90，四边形OACE为矩形，CE=OA=2，又PC=x，PE=ED=PCCE=x2，CD=PCPD=x2（x2）=4x，PDCD=2（x2）（4x）=2x2+12x16=2（x3）2+2，2x4，当x=3时，PDCD的值最大，最大值是22. 解：（1）CGAP，GCDAPG，=，GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x，=，即y=，y关于x的函数关系式为y=，当y=3时，=3，解得x=2.5，经检验的x=2.5是分式方程的根故x的值为2.5；（2）S1=GPGD=（3x）=，S2=GDCD=（3x）1=，S1S2=即为常数；（3）延长PD交AC于点Q正方形ABCD中，AC为对角线，CAD=45，PQAC，ADQ=45，GDP=ADQ=45DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，3x=，化简得：x25x+5=0解得：x=，0x2.5，x=，在RtDGP中，PD=（3x）=中午作业：1.【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）。t的取值范围为：0t4。（2）结论：AEF的面积S不变化。AOCD是矩形，ADOE，AQDEQC。，即，解得CE=。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4t，则CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE= 4（8t）8+（8t）4（8）。化简得：S=32为定值。所以AEF的面积S不变化，S=32。（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQAF。由PQAF可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即82t：8= t：4t，化简得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合题意，舍去。当t=秒时，四边形APQF是梯形。2. 【答案】解：（1）证明：如图，连接AC。四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。3.【答案】D。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】把A，B分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ，A（ ，2），B（2， ）。在ABP中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB，延长AB交x轴于P，当P在P点时，PAPB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大。设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得： ，解得：。直线AB的解析式是。当y=0时，x= ，即P（ ，0）。故选D。4.【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点AB的对应点分别为A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（1，0），C点坐标不变，抛物线l1经过A1（3，0），B1（1，0），C（0，3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得。抛物线l1的解析式为：y=x22x3。（2）抛物线l1的对称轴为：x=，如图2，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求。此时，|PA1PC|=|PB1PC|=B1C。设P为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：|PAPC|=|PB1PC|B1C（三角形两边之差小于第三边），|PAPC|PA1PC|，即|PA1PC|最大。设直线B1C的解析式为y=kx+b，则，解得k=b=3。直线B1C的解析式为：y=3x3。令x=1，得y=6。P（1，6）。5. 【答案】解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得，解得。抛物线的函数关系式为。设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（1，0）及C（2，3）得：，解得。直线AC的函数关系式为y=x+1。（2）作N点关于直线x=3的对称点N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6，3）由得：D（1，4）。设直线DN的函数关系式为y=sx+t，则：，解得。故直线DN的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。 当BD为平行四边形边时，点E在直线AC上，设E（x，x+1），则F（x，）。又BD=2，若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、。（4）如图，过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G， 设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）。 。，当时，APC的面积取得最大值，最大值为。回家作业：（压轴题训练）1. 【答案】解：（1）抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MAMB=MAMC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MAMB的值最小。设直线AC的解析式为y=kxb，A（4，0），C（0，3）， ，解得。直线AC的解析式为：y=x3。令x=1，得y= 。M点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若BCAP1，此时梯形为ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四边形ABCP1为梯形。若ABCP2，此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N，BCx轴，ABCP2，四边形ABCN为平行四边形。AN=BC=2。N（2，0）。设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线CN的解析式为：y=x+3。点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，x+3=，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为6。P2（6，6）。ABCN，AB=CN，而CP2CN，CP2AB。四边形ABCP2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（2，0）或（6，6）。2. 【答案】解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD