输运中的量子干涉效应和Landauer-Büttiker公式.doc

第三章 输运中的量子干涉效应和Landauer-Bttiker公式3.1 电导和透射率 与通常的宏观系统不同，介观系统的输运表现出很多新奇的特性，如串联系统的电阻和并联系统的电导是不可加的，电阻表现出非局域性，每个系统所特有的（sample-specific）非周期振荡的磁阻和普适电导涨落等。介观系统的所有这些特性都是由电子的量子相干所产生的。在固体理论中，通常利用Kubo线性响应理论研究系统的输运性质。如前所述，原则上它只适用于终态具有连续能谱的系统。对于实际的介观系统，由于环境的影响而使它的分立能级展宽成一个具有有效连续能谱的系统，Kubo线性响应理论还是成立的，但处理介观系统显得不是很方便，特别是一些弹道输运的介观系统。基于散射矩阵来表示系统的电导的Landauer-Bttiker公式，不但特别适合研究两端或多端介观系统的电导，更重要的是给出一个直观的物理图像。1957年，Landauer首先建立了一维导线的电导与在费米能级的透射和反射几率（transmission and reflection probabilities）的关系 (3.1)这里因子2来源于电子的自旋自由度，h=2，T是电子的透射几率，R=1-T是反射几率。这个表示式称为Landauer公式。对于电子的弹道输运T=1，系统的电导是无穷大，即电阻为零。很显然，Landauer公式给出的是金属导线的电导。另外一种电导与透射几率的关系式 (3.2)通常称为Bttiker公式。这两个表达式合称为Landauer-Bttiker公式。很显然，这两个公式表示不同的物理含义，后者包含了导线与电极（或电子库）的接触电导。接触电导起源于具有大量通道的电子库向单通道或较少通道边界的几何过渡，如电子库的大量通道向理想导线的单通道的过渡，它完全由连接的几何形状来决定，而与所测量的导线的电导无关。接触电阻是普适的，对于每一个通道其接触电阻都相同，等于。对于弹道输运，Bttiker公式给出的电导不为零，而是接触电导，因此Bttiker公式所给出的电导是电子库两端的电导，实验上所测量的电导一般是Bttiker公式所给出的电导。根据介观系统的电导与透射率的这个简单的关系，只要计算出电子在费米能级附近的透射率就可以得到系统的电导，这比用Kubo公式要简单的多。现在我们给出Landauer-Bttiker公式的简单推导，由此建立它的一个直观的物理图像。 考虑一个两端通过理想导线连接到化学势分别为和的理想电子库（电极）的导线（导线用一个势垒来表示），如图3.1所示。理想电子库满足如下条件：（1） 所有进入电子库的电子不管其能量和位相如何都被完全吸收。即电子从理想导线到电子库的透射几率是1，但是电子从电子库到理想导线的透射率要小于1。这反映接触电阻的存在。（2） 它持续地提供能量低于化学势的电子，并且这些电子的能量和位相均与所吸收的电子的能量和位相无关。假定导线是单通道的，并用T(E) 和R(E) 分别表示电子在导线中的透射和反射几率，电子数守恒表示等式R(E)+T(E)=1成立。用v表示在电子库中的电子的速度，而用n(E)表示电子的态密度，在绝对零度，电子通过导线的电流为 (3.3)这里我们取电子从导线的左边到右边和从右边到左边的透射率是相同的，因为在平衡态，通过导线的净电流为零。根据上式，通过导线的净电流为 (3.4)这里我们假定电子的透射率在费米能级附近是常数，对于自由电子n(E)=1/v。外电压加在两端的电子库，因此两个电子库之间的化学势之差与电压的关系为，带入上式得到Bttiker公式（3.2）。这清楚地表明Bttiker公式所给出的电导是电子库（电极）间的电导。 现在我们求导线的电导。为简单起见，我们把导线看成一个势垒，如上图所示。由于电子从电子库到理想导线的透射率小于1，因此虽然处在平衡态的理想导线和电子库的化学势是相同的，但在施加一个恒定电压后，理想导线的有效化学势与相连的电子库的化学势不再相等，其左右两边的化学势分别记为和。在稳定态，化学势和之上的电子所占据的态（电子数）与它之下的未被占据态数（空穴数）应该相等，以此我们来确定化学势和与和的关系。首先我们考虑势垒右边。之上所占据的电子数为，而之下的空穴数为，这里因子2来源于电子可以左右运动，T项来自于左边电子的透射。对于势垒左边，在之上所占据的电子数为，而在之下的空穴数为，由此得到下面的关系式 (3.5)由上式我们得到理想导线的化学势与电子库的化学势之间的关系式 (3.6)如果电子在导线中作弹道输运R=1-T=0，则导线两端的化学势是相等的；如果电子在导线中的输运完全阻塞R=1，则在导线两端的电子库处于平衡状态，理想导线与相应的电子库具有相同的化学势。这两种情况和上式是完全一致的，从另一个侧面也说明当有电流通过导线时导线两端的化学势与电极的化学势不同，而表达式（3.6）是合理的。导线两端的化学势之差等于对它所施加的有效电压，由此得到Landauer电导公式（3.1）。 在有限温度，通过导线的电流可以表达为 (3.7)这里f(E)是费米分布函数，下标表示左（L）右（R）电子库（电极）。这个公式在文献中经常遇到，用它来计算系统的I-V曲线。3.2 S矩阵 在这一节，我们简单的介绍一下电子的透射和反射函数与S矩阵的关系，这对我们把Landauer-Bttiker公式应用到多端多通道的系统非常有帮助。对于一个具有量子相干性的金属导体，处在同一能量的在不同电极的电子的出射波函数振幅（wave amplitudes）通过S矩阵可以用入射波幅表示。S矩阵是一个NN的矩阵，N是总的通道数。考虑一个两端单通道的情况，如图3.2所示。出射和入射波幅可表达成 (3.8)通常简写为 (3.9)一般通过求解系统的薛定谔方程来计算相应的矩阵元，现在我们主要是了解S矩阵的性质及与透射几率的关系。 透射几率与S矩阵的矩阵元的关系是 (3.10)表示j通道的电子散射到i通道的几率。电子在i通道的反射几率是，即S矩阵的对角元的绝对值平方表示电子的反射几率，而非对角元的绝对值平方表示电子的透射几率。根据电流守恒，S矩阵必须是幺正的 (3.11)这里I是单位矩阵。由S矩阵的幺正性可以得到矩阵元间的关系 (3.12)这个公式对我们以后的计算非常重要。如果施加外磁场B，则矩阵元有下面的关系 (3.13)这个等式很容易通过薛定谔方程证明。 假定在施加外磁场后，电子所满足的薛定谔方程为 这里A是矢量势，与磁场的关系为，U(x) 是静态势。对上式取复共轭并同时用-A代替A（即反转外磁场的方向B -B） 上面两个方程的算符完全相同，因此我们有下面的等式 因为电子的出射和入射波函数满足同一个薛定谔方程，所以下面的等式依然成立 最后一步用到了S矩阵的幺正性。根据，则有下面的等式 中间一步用了S矩阵的幺正性， 表示转置矩阵。3.3 多通道Landauer-Bttiker公式 考虑一个两端通过横截面为A的理想导线与电极相连的金属导体，如图3.3所示。由于电子的运动在横向受到限制，导致电子在横向上的能级是分立的，而在纵向（沿着理想导线的方向）电子的能级是连续的，我们用波矢量来表示，这样我们有一系列的用i来标记的子能带。在费米能，我们有N条通道，对应于每个通道，电子的费米波矢量用表示，则有下面的关系式 (3.14)对于这样一个多通道系统，S矩阵是一个2N2N的矩阵，为方便起见它的矩阵元可以写成下面的形式 (3.15)这里m, n=1,2,N, 标记左边电极的通道，而m, n=1,2,N, 标记右边电极的通道。定义电子的透射和反射几率 (3.16)这里T和R分别表示在左边电极的电子的透射和反射几率，而T和R分别表示在右边电极的电子的透射和反射几率。利用S矩阵元间的关系式（3.12），我们得到下面的表达式 (3.17) 由于电子只能在一个方向上传播，因此对于每一个通道，可看成是一个一维问题，电子的态密度可表示为（包括自旋自由度）。在系统的右边的电流表达式为 (3.18)在绝对零度，如果电子的透射几率在费米能量附近是常数，我们得到两端多通道的Landauer-Bttiker公式 (3.19)注意这里所给出的电导是电极两端的电导，它包括接触电导。为了得到金属导体本身的电导，我们要首先求出系统两端的理想导线的化学势之差。对于左边和右边的理想导线，电子的密度可以分别表示成 (3.20)第一项表示左边（右边）的电子的入射和反射部分，而第二项是右边（左边）电子的透射部分。如果左右边的电子分别处于平衡态，则电子的密度可以用化学势和及费米函数和分别表达成 (3.21)我们定义化学势和使得，这样可以确定和及它们的差（在绝对零度） (3.22)由此我们得到表示系统本身的电导 (3.23)对于单通道情况，上式回到（3.1）的形式。上式表明即使是每个通道都相互独立，则平行通道的电导也不能直接相加。本质上，电导G是系统的4端测量的电导。3.4 多端Landauer-Bttiker公式和Onsager-Casimir对称性 为了研究一个和多个电极连接的系统的电导，我们首先定义电子在不同电极的透射和反射几率。假定系统与M个电极相连，每个电极引线（电极与系统相连接的理想导线）有个通道数，则在电极j的电子透射到电极i的总几率及电子在电极i的总反射几率分别为 (3.24)当施加一外磁场B时，根据S矩阵元所具有的性质（3.13），我们得到总透射和反射几率所满足的关系 (3.25)对于多电极的情况，我们可以引入一个参考化学势，它等于或小于所有端电极的化学势中的最小值。在绝对零度，化学势以下的电子对净电流没有贡献，只有在能量范围内的电子对净电流有贡献。利用（3.24）式中的总投射和反射几率的定义，第i个电极的电流可表达为 (3.26)第二个等式用到（3.12）式，在化学势处各电极的净电流为零。 如果对系统施加外磁场B，根据关系式（3.25），两端点电导（two-terminal conductance）（3.19）满足Onsager-Casimir对称性 (3.27)而四端点电导G（3.23）不满足Onsager-Casimir对称性 (3.28)这表明介观系统的电导的非定域性。所谓Onsager-Casimir对称性是指在外场反向前后系统的输运系数之间的关系。下面通过用四端点（四引线）（four-terminal）方法对系统的磁阻的计算，给出这类系统中的磁阻间的Onsager-Casimir对称关系。 人们通常用四端点方法测量系统的电阻，以避免接触电阻的影响。然而由于电子在位相相干长度内保持量子相干，使得系统的电阻具有非局域性，不再象在经典情况那样定义系统中某一点的电导率或电阻率，只能在大于位相相干长度的区域定义。 我们考虑一个四端点金属导体，如图3.4所示。一个无序的介观金属导体通过四根引线连接到具有不同化学势，和的电极上，它的中空区域通过Aharonov-Bohm磁通量。因此当电子在金属导体中传播的时候，它的波函数受到这个磁通量的影响，因此电子的透射和反射几率依赖磁通量。当磁场反向，则磁通量改变符号。 假定电流I从端点（电极）1流入而从端点3流出，电流I从端点2流入而从端点4流出，并取和，根据公式（3.26），我们有下面的关系式 (3.29)这里系数与透射几率T和反射几率R的关系为 (3.30) 在上式中假定每个端点具有相同的通道数N。根据（3.25）式，系数具有Onsager-Casimir对称性 (3.31)求（3.29）式的逆，可得到 (3.32)对于四端电阻测量，我们可以取1，3为电流端点，2，4为电压端点，I=0，由上式得到磁阻 (3.33)它所满足的Onsager-Casimir对称关系为 (3.34)很显然，这就是为什么电导G（3.23）不具有Onsager-Casimir对称性。这种非对称性起源于在（3.29）或（3.32）中的非零的非对角元。3.7 普适电导涨落 对于介观系统，由于存在较强的电子的量子干涉，它的物理性质不同于经典的宏观系统。在80年代中期，实验上发现一些介观尺度的金属样品的电导随外场，如磁场、偏压等，作无规振荡。对不同的样品其振荡的图形不同，但对于同一样品在外界条件相同的情况下，这种无规振荡的图形完全可以重复，说明这些图形是样品本身所特有的。另一个重要的特征是，虽然不同的样品具有不同的无规振荡图形，电导也可能相差一到几个数量级，但其涨落的方差是一个量级为的普适常数，与样品材料、大小、无序程度及电导平均值的大小无关，只与样品的形状和有效维数有微弱的关系。因此这种涨落称为普适电导涨落（universal conductance fluctuations）。介观系统的这种鲜明个性中的共性，起源于电子的量子干涉。其个性起源于，对于即使具有完全相同的杂质密度的介观系统，由于杂质分布的位形不同，而表现出不同的行为，因为电子的量子干涉依赖于杂质的具体分布形式。其共性是电子的量子干涉。如图3.10所示，我们给出Si MOSFET的磁阻分别随磁场和门电压的非周期振荡。在图（b）中，缓变的背景电导已被扣除。 对于介观尺度的金属样品（），电子在传播过程中基本上保持相干性。根据Landauer-Bttiker公式，系统的电导由电子从一端到另一端的透射几率决定，而电子沿着不同的Feynman路经传播，对于一个有限横截面A的系统，通道的数量N正比于，而每个通道具有大量的Feynman路径。假定电子从系统左端的通道沿着Feynman路经m传播到右端的通道的波函数的振幅为，则电子从通道到通道的透射几率为 (3.50)这里，是穿过路经n和m所围面积的磁通量，是由于杂质散射产生的电子在这两个路径上的位相差，它正比于通过这两个路径所围面积的磁通量。当时，电子的干涉较强。如果，则电子的量子相干性基本消失。从上面的表达式可以定性地看出，由于在大量的Feynman路径间及通道间的电子的量子干涉，系统的电导将随外磁场作无规则的振荡。但电子传播的路径与杂质的位形分布有关，对于不同的位形分布，其位相差也会不同，而对于一个具体的系统其杂质的位形分布是确定的，因此电导的这种随磁场的无规则振荡是系统所特有的，也是可以重复的。 普适电导涨落明显地不满足经典自平均（self-averaging）。经典自平均是指，一个物理量的相对涨落随着系统尺度的增加而趋于零。由普适电导涨落，和Ohm定律，则有关系式 (3.51)当d=2时，电导的相对涨落与系统的尺度无关；而当d=1时，相对涨落甚至随L增大而增加（，在金属区）。由此可见，普适电导涨落远远大于经典热力学量的涨落，后者满足经典自平均。下面给出普适电导涨落的一个简单推导，以此建立比较直观的物理图像。 根据（3.50），可得到电子的透射几率的平均值 (3.52)在忽略了弱局域化效应后，（3.50）式的最后一项的系综平均为零。弱局域化的电子的相干背散射所导致的磁阻振荡是周期振荡，并且随磁场的增加而迅速消失。但电导的这种非周期振荡在磁场变化的很大范围内是基本上不变的，因此电子的相干背散射的效应很小，可以忽略不计。透射几率的平方的系综平均为 (3.53)利用公式，这里假定了位相的分布函数在远大于2的区间内是缓变的，则上式简化为 (3.54)这里假定电子间的关联较弱，通常的平均场理论有效。根据Landauer-Bttiker公式，系统的电导为 利用（3.52）可以很容易得到电导的系综平均，但由于不同通道间的电子的量子干涉较强，一般。而对于电子的反射几率，由于绝大部分电子经历很少几次散射而被反射回来，不像电子的透射要经历很多次的散射从系统的一端传播到另一端，因此不同通道间的电子的反射几率间的关联很弱，因此可以近似的取。为了计算普适电导涨落，我们定义一个新的量 (3.55)这里是电子从通道到通道的反射几率。利用S矩阵元间的关系式（3.12），我们得到R与电导G间的关系 (3.56)两者相差一个常数，因此应该有下面的恒等式 (3.57)假定电子的反射通道间的关联很弱可以忽略，R的方差可以表达为 (3.58)根据Ohm定律，电导的系综平均为，这里，a是一个与维数有关的常数。由Landauer-Bttiker公式，得到电子的透射几率的系综平均 (3.59)利用关系式（3.12），可以得到电子的反射几率的系综平均 (3.60)根据（3.57）和（3.58），我们证明了普适电导涨落为一个普适常数 (3.61)上面的证明不是太严格，而且用了电子在不同通道间的反射没有关联的假定，但其数量级是正确的。通过这个证明清楚的显示了电子的普适电导涨落起源于电子的量子干涉。如果系统的尺度远大于电子的位相相干长度，这种效应将消失。 表示系统本身特征的电导随外场的非周期性振荡，及普适电导涨落说明电子的量子干涉对杂质的位形分布非常敏感。这可以通过移动一个杂质的位置（，移动的距离大于电子的费米波长）对系统的电导的影响来说明。假定系统是一个边长为L的超立方体，在金属区电子做扩散运动，根据Einstein关系，D是扩散系数，t=N是电子通过系统的平均时间，为平均散射时间，于是得到，这里用到了及平均自由程。N表示电子在一条Feynman路经中从系统的一端传播到另一端所经历的散射次数，而每一次散射电子传播的距离为。电子传播的Feynman路径可看成是横截面积近似为的经典路径，因此一条Feynman路径的体积为，它与系统的总体积之比为 (3.62)如果在上式的分子和分母同乘杂质浓度，则f也表示一条典型的Feynman路径所经过的杂质数占总杂质数的百分比，它同样也代表通过一个特定的杂质的Feynman路径数占总的Feynman路径数的百分比。因此，移动一个杂质相当于改变了所有Feynman路径中百分比为f的Feynman路径。如果假定这些Feynman路径是相互独立的，显然有与普适电导涨落相同的形式 (3.63)上面的计算是不严格的，微扰论和数值计算给出的结果是 (3.64)对一维和二维系统，移动一个杂质的效果和移动全体杂质的效果相当。如图3.11所示，是用Anderson模型所做的模拟计算，显示电导所受杂质位形的影响。应该指出，普适电导涨落是介观系统在金属区的特征，这与在弹道区和强局域化区涨落是不同的。另外普适电导涨落不满足经典自平均，说明介观系统涨落的分布函数偏离高斯分布，即不满足中心极限定理（central limit theorem），因为遵从经典自平均行为的变量满足高斯分布。理论研究证明，在介观金属区，系统的分布函数的主体接近高斯分布，但有一个对数正态分布的尾巴。 L /(h/ce) (a) (b)图（a）W/V=4，只交换两个格点的能量值，所得电导的涨落值，而完全改变杂质位形的电导涨落值。图（b）电导随磁场的非周期振荡。实线和虚线分别对应于两种位形仅相差交换一对格点的能量4.1 电子的弹道输运 对于一个金属细导线，如果其横截面的直径远小于电子弹性散射的平均自由程，则电子的传播在细导线的横向受到限制而能量分立，形成一系列的子能带，每一个子能带表示电子纵向