北京大学出版社_4.2 向量组的线性相关性.ppt_第1页
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文档简介

定义3 等价可以不同维 定理2 向量组B 能由向量组A 线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵 A B 的秩 推论 向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是 证明 因此 向量组B能由向量组A线性表示 可表示为AK B的形式 矩阵等价和向量组等价的区别和联系 1 矩阵等价是同维的 2 向量组等价是可相互线性表示 但可以不同维 即 两向量组等价 其对应的矩阵未必等价 自学 证明见下页PPT 但A与B行等价 A的行向量组与B的行向量组一定等价 A与B列等价 A的列向量组与B的列向量组一定等价 若A经初等行变换又经初等列变换变成B 则A与B等价 即当非行等价也非列等价 则A与B的行向量组和列向量组都不等价 A C矩阵行等价 则A C行向量组一定等价 附录 例2 证明向量组与向量组等价 定理3 设向量组B 能由向量组A 线性表示 则 例3设n维向量组A a1 a2 am 构成n m矩阵A n阶单位矩阵E e1 e2 en 的列向量组叫做n维单位坐标向量 证明 n维单位坐标向量组能由向量组A线性表示的充分必要条件是R A n 几何语言 不同语言描述例3 对矩阵A存在矩阵K使AK E的充分必要条件是R A n 或矩阵方程AX E有解的充分必要条件是R A n 矩阵语言 方程语言 第四章向量组的线性相关性 2向量组的线性相关性 定义 线性相关性的概念 则称向量组是线性相关的 否则称它线性无关 对线性相关的几点说明 其几何意义是两向量共线 3个向量线性相关的几何意义是三向量共面 注 只含一个向量 定理向量组 当时 线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示 证明 充分性 设中有一个向量 比如 能由其余向量线性表示 线性相关和线性表示的关系 故 因这个数不全为0 故线性相关 必要性 设线性相关 则有不全为0的数使 因中至少有一个不为0 不妨设则有 即能由其余向量线性表示 定理4 线性相关性的判定步骤 解 例 解 例 法二 用定义求解 例3 解 法一 按定义求解 法二 常用方法 P88法二 定理5 向量线性相关性的性质 例 设向量组线性相关 向量组线性无关 证明 1 能由线性表示 2 不能由线性表示 小结 建议都回到秩的关系进行判定 c 相关性与行列式 d 相关性与唯一组合的关系
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