3.1.3空间向量的数量积运算

对平面向量数量积的几何意义的再认识镇海中学数学组 虞哲骏【适用对象】 重点中学学生【学习任务】 1.掌握平面向量数量积的两类几何意义；2.运用平面向量数量积的几何意义，解决一类数量积的取值范围或最值问题. 【过程实录】教学过程：一、复习引入（知识储备）1、两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量与，作，则叫与的夹角.OAB说明：(1) 当0时，与同向；(2) 当时，与反向；(3) 当时，与垂直，记；(4) 注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围：. 2、数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(inner product)(或内积)，记作，即，其中是与的夹角.规定：零向量与任意向量的数量积为0，即说明：(1) 是一个数，而不是向量； (2) 与的数量积，不能记成，也不能记成2、平面向量数量积的几何意义OABB1 作，过点作垂直于直线，垂足为，叫做向量在方向上的投影(projection). 同样地，我们也可以定义向量在方向上的投影.说明：在方向上的投影可正可负. 由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量等于的长度与在方向上的投影的乘积. 二、新课讲解（温故知新）平面向量的数量积涉及到向量及模、夹角，它是代数与几何及三角的有机结合体，是一个重要的知识交汇点，也是学生数学能力的一个生长点.极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示. 即： . 乍看之下，极化恒等式显得有些高大上，其实极化恒等式来源于教材又高于教材，我们在课本中可以发现以下两个重要的向量三角关系：在中，其中是的中点，而极化恒等式就是这两个公式的逆用. 如果把极化恒等式降至二维平面即可得：. 结合图形，即可得到二维极化恒等式的几何解释：，即从同一点出发的两个向量的数量积等于以此三点构成的三角形中对边中线长的平方减去对边一半的平方. 如此一来，我们就在向量数量积与三角形边长之间建立起了“沟通“的纽带，完美地实现了向量、几何和代数的转化与结合. 三、典例剖析【例1】已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为_. 解：如图所示，因为为外接圆的直径，所以为的中点，所以，又因为，所以，即的最大值为3. 评析：利用极化恒等式，可以化动为静，起到减少变量的作用，转化为我们所熟知的问题. 【例2】已知直线与抛物线交于，两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是（ ）A. B. ，中是抛物线过的切线C. D. 解：如图所示，为的中点，所以，又因为在直线给定的情况下为定值， 所以，所以，选. 评析：利用极化恒等式，可以化动为静，将平面向量的数量积问题转化为我们更能驾驭的线段长度问题，进一步体会平面向量的代数与几何形式，从而突破思维的局限性. 四、课堂小结(1) 平面向量数量积的几何意义(2) 平面向量数量积的几何意义的运用【进阶练习】【练习1】已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，则的最小值为( ).(A) (B) (C) (D) 解法1：如图，设, ，由圆的半径为1，得到：, ，所以有：（当且仅当时等号成立）. 解法2：当且仅当时取等号. 显然是圆外一点，所以，所以的最小值为. 解法3：如图，连接交于，则为的中点，所以（当且仅当时有最小值）.【练习2】如图，线段长度为2，点，分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，为坐标原点，则的范围是_ . 解法一：如图，令，因为，所以，则，故，同理可求得，所以.又因为，所以. 解法二：如图所示，分别取边和边的中点，则，又因为，所以，所以. 评析：利用极化恒等式，可以将某些数量积问题转化为单变量的长度范围问题，同时也要注意基本不等式的妙用，从而使问题得以简化. 【练习3】已知，是圆上的两