反比例函数简介.doc

“反比例函数”简介本章包括反比例函数的概念、图象及其性质本章首先从现实世界中具有反比例关系的实例出发，从函数角度描述反比例关系，再次经历用函数研究变化规律的过程，认识反比例函数（k为常数，k0）中两个变量x，y之间的依赖关系：在变量y随变量x的变化而变化的过程中，它们的积xy始终保持不变（xy=k）；然后用“描点法”画出反比例函数的图象，观察图象并结合解析式，得出反比例函数的性质；最后运用反比例函数解决简单的实际问题本章教学时间约需8课时，具体安排如下（仅供参考）：26.1 反比例函数 3课时26.2 实际问题与反比例函数 4课时数学活动小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标1. 本章知识结构本章知识结构如下图所示：2. 教科书内容反比例函数是义务教育数学课程标准（2011年版）“数与代数”领域的内容其学习基础是函数的概念、函数的表示方法以及反比例关系；我们类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，展开反比函数的概念、图象、性质及其应用章引言通过生活中常见的路程、速度与时间的关系式s=vt，指出在路程s一定的前提下，平均速度v与运行时间t的成反比例关系当从函数角度进行研究时，平均速度v随着运动时间t的变化而变化的规律可以用解析式表示，引出本章学习内容反比例函数本章分两节“26. 1 反比例函数”的内容是反比例函数的概念、图象和性质本节首先给出“思考”栏目中现实世界和数学中具有反比例关系的三个问题：（1）距离一定时，平均速度v随着运动时间t的关系；（2）矩形面积s一定时，矩形长y与宽x的关系；（3）人均占有土地面积与总人口之间的关系，指出这三个问题中均有三个量，其中一个量不变，另外两个量中一个量随着另一量的变化而变化，而且对于一个量的每一个确定的值，另一个量都有唯一确定的值与它对应，因此上述问题中两个量之间具有函数关系，而且这个函数关系可以用形如的形式表示，从而给出反比例函数的概念：形如（k为常数，k0）的函数，并指出反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型为了巩固反比例函数的概念，教科书例1是由反比例函数的自变量和因变量的值，确定常数k的值，从而得到反比例函数的解析式；根据反比例函数的解析式，我们就可以得到与任意自变量对应的函数值显然，反比例函数的解析式由常数k唯一确定根据以往研究函数的经验，对于具体的函数，如一次函数、二次函数等，我们都是在其概念的基础上，由其解析式，通过描点画图，得出其图象，然后通过图象，并结合解析式研究其性质，反比例函数的研究也不例外对于反比例函数，我们先研究k0的情形，然后类比k0的情形，研究k0时的情形，归纳得到它的性质：图象是双曲线；图象分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y随的x增大而减小然后类比k0的情形，研究k0的情形，得出它们的性质 3. 加强与物理等学科之间的横向联系数学既是科学技术的语言，又是科学技术的工具反比例函数不仅在现实世界中具有众多原型，而且在现实世界中具有广泛的应用本章众多问题来源于物理学科，运用反比例函数知识加以解决，了解这些问题的物理背景是解决它们的前提本章从原八年级下册移至九年级下册，主要考虑是学生必须熟悉物理背景，而相关的物理背景学生在九年级物理课中才接触实际上，加强不同学科之间的联系，从其他学科引入数学问题，然后运用数学加以解决始终是数学学习的重要方面本章涉及的主要物理背景包括路程、速度与时间，电流、电阻与电压，电功率、电流和电阻，压力、面积与压强等之间的关系，这些具有反比例关系的物理问题是反比例函数研究的重要内容实际上，凡是能够抽象为a=bc型数量关系的物理问题，我们都可以从正比例函数和反比例函数的角度去认识它们4. 数形结合：数缺形时少直观，形少数时难入微函数图象是研究函数性质的直观载体，从图象上可以观察函数的变化规律，整体上把握函数的性质，但是难以深入局部和细节而解析式可以对函数的性质进行无限“解读”，但很抽象，不直观我们常常把函数图象和解析式结合起来，研究函数的性质，这体现了数形结合正像著名数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，一朝分家万事休”数形结合的优势正体现在此反比例函数的图象是双曲线，双曲线非常直观地反映了反比例函数的变化规律，而反比例函数的解析式可以对上述变化规律反映的数量关系进行代数解析三、对教学的几个建议1. 从变量角度进一步加深对函数的认识初中阶段从变量的角度研究函数，把函数定义为当一个量变化时，另一个量随这个量的变化而变化函数定义突出了变化与对应思想，其内涵是：两个变量联系紧密，一个变量变化时另一个变量也发生变化；函数值与自变量之间单值对应，自变量的值确定后，函数值唯一确定我们运用变量描述变化规律，认识函数是重要的数学模型函数的内涵非常丰富，与数、式、方程等联系非常紧密，我们从函数角度重新认识它们时，可以把它们看作“特殊”的函数，提升对它们的认识2. 关于反比例函数的增减性、渐近性和对称性等性质的教学要求需要注意的是反比例函数自变量的范围，与正比例函数、一次函数和二次函数相比，其特殊之处在于自变量不能取0，在0这点没有定义不像直线和抛物线那样在整个自变量的取值范围内，其图象是连续的反比例函数的图象在0这个点“断开”了，其图象在两个象限我们在描述其变化规律时，需要对每个象限的图象进行描述，不能在整个自变量范围描述其增减性另外，在每个象限研究变化规律时，我们只研究增减性增减性是基本要求，必须掌握为了拓展学生的知识面，我们设置了“信息技术应用 探索反比例函数的性质”的选学内容，借助信息技术软件快速计算、列表和画图方面的优势，研究了反比例函数