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第三节实对称矩阵的对角化 一 向量的内积 定义4 3 在中 设向量 实数称为向量的内积 记作 向量内积具有以下性质 当且仅当时 其中是中的任意向量 0为中的零向量 k是任意实数 定义4 4 设为中的任意向量 将非负实数定义为的长度 记为 即若 则有 向量的长度具有如下性质 1 当且仅当时 有 2 k为实数 长度为1的向量称为单位向量 对于非零向量 用其长度去除向量 就可以得到单位向量 这种方法称为向量的单位化 二 正交向量组和正交矩阵 定义4 5 例如 设 则即正交 其几何意义是 在坐标平面上 连结原点和点 2 1 1 2 的两个有向线段是相互垂直的 例2 零向量与任意向量的内积等于零 因此零向量与任一向量正交 例3 基本单位向量组是两两正交的 即 例4 设 求与都正交的单位向量 解 则 设与都正交 即 对此方程组的系数矩阵施以初等行变换 可得方程组得通解为 其中c为任意常数 取c 1 则 将单位化 则所求向量为 定义4 6 若向量两两正交 即 则称为正交向量组 定理4 10 若是n维正交向量组 则线性无关 定理4 11 设是中的一个线性无关的向量组 令 则是一个正交向量组 并且 例5 这一方法称为施密特正交化法 解 不难验证 向量组线性无关 利用施密特正交化方法 有 称为所求的正交向量组 并且与等价 定义4 7 若n阶实矩阵Q满足 4 7 则称Q为正交矩阵 正交矩阵具有下列性质 1若Q为正交矩阵 则Q的行列式之值为 1或 1 2若Q为正交矩阵 则Q可逆 且 3若P与Q都是n阶正交矩阵 则PQ也是n阶正交矩阵 定理4 12 设 其中为矩阵Q的列向量组 则Q为正交矩阵的充分必要条件是为单位正交向量组 三 实对称矩阵的相似对角化 定理3 13 实对称矩阵的特征值都是实数 并且其对应于k重特征值的线性无关的特征向量恰有k个 定理4 14 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的 定理4 15 设A为实对称矩阵 则存在正交矩阵Q 使为对角矩阵 例8 设矩阵 求正交矩阵Q 使为对角矩阵 解 矩阵A的特征多项式 所以A的特征值为 二重 一重 对于 解齐次方程组 得对应的线性无关的特征向量 利用施密特正交化方法 把向量组正交化 有 再将向量单位化 得 对于 解齐次方程组 得对应的特征向量 将单位化 得 令矩阵 则 例9 设三阶实对称矩阵A的特征值为对应于的特征向量为 求矩阵A 解 设A的属于特征值的特征向量为 则正交 即 解此齐次线性方程组 得基础解系 就是A的属于特征值1的特征向量 由于已
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