2019_2020学年高中数学第3章推理与证明11.1归纳推理学案北师大版选修.docx

1.1归纳推理学 习 目 标核 心 素 养1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理(重点)2了解归纳推理在数学发展中的作用(难点)1.通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养2通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？提示不一定正确因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性1下列关于归纳推理的说法错误的是()归纳推理是由一般到一般的推理过程；归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；归纳推理具有由具体到抽象的认识功能ABC DA归纳推理是由特殊到一般的推理，故不正确，易知均正确，故选A.2若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A至多等于3B至多等于4C等于5 D大于5Bn2时，可以；n3时，为正三角形，可以；n4时，为正四面体，可以；n5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能3由集合a1，a1，a2，a1，a2，a3，的子集个数归纳出集合a1，a2，a3，an的子集个数为_2n集合a1有两个子集和a1，集合a1，a2的子集有，a1，a2，a1，a2共4个子集，集合a1，a2，a3有8个子集，由此可归纳出集合a1，a2，a3，an的子集个数为2n个数式中的归纳推理【例1】(1)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123 D199(2)已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN)的表达式为_思路点拨：(1)记anbnf(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论(2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果(1)C(2)f3(x)fn(x)(1)记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.(2)f1(x)f(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x).已知等式或不等式进行归纳推理的方法1要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律2要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征3提炼出等式(或不等式)的综合特点4运用归纳推理得出一般结论1经计算发现下列不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.当ab20时，有2，a，bR从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为ab20时，2.数列中的归纳推理【例2】(1)在数列an中，a11，an1，则a2 019等于()A2BC2 D1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数思路点拨：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如11,312,6123；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数(1)Ca11，a2，a32，a41，数列an是周期为3的数列，2 0196733，a2 019a32.(2)解法一：由11，312，6123，101234，可归纳出第n个三角形数为123n.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数1234对应项分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积归纳：第n个三角形数的石子数应为.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前几项和公式2已知数列an满足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.解(1)当n1时，知a11，由an12an1，得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜想出an2n1(nN)几何图形中的归纳推理探究问题1某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值提示观察图形可知，f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20.2上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式提示由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；f(n)f(n1).将以上(n1)个式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n).【例3】有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31C32 D36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论B法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？解各个图形周围的边的条数如下表：图案123边条数182634由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为188(61)58条归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：3根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为_509分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想图形到中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1223,5233,13243,29253，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为2813509.1归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题2归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)1判断正误(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理()(2)由个别到一般的推理称为归纳推理()(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的()答案(1)(2)(3)2用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2 D8n2Ca18，a214，a320，猜想an6n2.3已知12123,1222235,122232347,12223442459，则1222n2_.(其中nN*)n(n1)(2n1)根据题意归纳出1222n2n(n1)(2n1)，下面给出证明：(k1)3k33k23k1，则2313312311,3323322321，(n1)3n33n23n1，累加得(n1)3133(1222n2)3(12n)n，整理得1222n2n(n1)(2n1)4有以下三个不等式：(1242)(9252)(1945)2，(6282