《数学建模简明教程》PPT课件.ppt

数学建模简明教程 国家精品课程 第一章规划理论及模型 一 引言 二 线性规划模型 三 整数线性规划模型 四 0 1整数规划模型 五 非线性规划模型 六 多目标规划模型 七 动态规划模型 一 引言 我们从2005年 高教社杯 全国大学生数模竞 赛的B题 DVD在线租赁 问题的第二问和第三问 谈起 其中第二个问题是一个如何来分配有限资源 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型 它 在运筹学中处于中心的地位 这类问题一般可以 归结为 数学规划模型 规划模型的应用极其广泛 其作用已为越来 来越急速地渗透于工农业生产 商业活动 军事 行为核科学研究的各个方面 为社会节省的财富 创造的价值无法估量 特别是在数模竞赛过程中 规划模型是最常 见的一类数学模型 从92 06年全国大学生数模竞 越多的人所重视 随着计算机的逐渐普及 它越 赛试题的解题方法统计结果来看 规划模型共出 现了15次 占到了50 也就是说每两道竞赛题 中就有一道涉及到利用规划理论来分析 求解 二 线性规划模型 线性规划模型是所有规划模型中最基本 最 例1 食谱问题 设有n种食物 各含m种营养 素 第j种食物中第i中营养素的含量为aij n种 食物价格分别为c1 c2 cn 请确定食谱中n种食 物的数量x1 x2 xn 要求在食谱中m种营养素 简单的一种 2 1线性规划模型的标准形式 的含量分别不低于b1 b2 bm的情况下 使得总 的费用最低 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 其次食谱中第i种营养素的含量为 因此上述问题可表述为 解 上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题 寻求以线性函数的最大 小 值为目标的数学模型 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下 线性规划模型的三种形式 系数矩阵 目标函数价值向量价值系数决策变量 右端向量 一般形式 规范形式 标准形式 三种形式的LP问题全都是等价的 即一种形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP 且它们有相同的解 以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准形式 目标函数的转化 约束条件和变量的转化 为了把一般形式的LP问题变换为规范形式 可用下述两个不等式约束去替代 我们必须消除等式约束和符号无限制变量 在一 般形式的LP中 一个等式约束 这样就把一般形式的LP变换为规范形式 变量和 并设 对于一个无符号限制变量 引进两个非负 对于一个不等式约束 代替上述的不等式约束 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行 可引入一个剩余变量 必须消除其不等式约束和符号无限制变量 为了把一般形式的LP问题变换为标准形式 对于不等式约束 代替上述的不等式约束 这样就把一般形式的LP变换为标准形式 针对标准形式的线性规划问题 其解的理论 分析已经很完备 在此基础上也提出了很好的算 单纯形方法是线性规划问题的最为基础 也 法 单纯形方法及其相应的变化形式 两阶段 2 2线性规划模型的求解 法 对偶单纯形法等 是最核心的算法 它是一个迭代算法 先从一个 特殊的可行解 极点 出发 通过判别条件去判 断该可行解是否为最优解 或问题无界 若不 是最优解 则根据相应规则 迭代到下一个更好 的软件包有LINGO和LINDO 的可行解 极点 直到最优解 或问题无界 关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求 解过程可参见文献 1 然后在实际应用中 特别是数学建模过程中 遇到线性规划问题的求解 我们一般都是利用现 有的软件进行求解 此时通常并不要求线性规划 问题是标准形式 比较常用的求解线性规划模型 运输问题 例2设要从甲地调出物资2000吨 从乙地调出物 资1100吨 分别供给A地1700吨 B地1100吨 C 假定运费与运量成正比 在这种情况下 采用不 地200吨 D地100吨 已知每吨运费如表1 1所示 同的调拨计划 运费就可能不一样 现在问 怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划 解 一般的运输问题可以表述如下 在满足供需要求的条件下 使总运输费用最省 数学模型 类似与将一般的线性规划问题转化为其标准 否则 称为不平衡的运输问题 包括 总产量 总销量和总产量 总销量 形式 我们总可以通过引入假想的销地或产地 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题 从 而 我们的重点就是解决平衡运输问题的求解 若其中各产地的总产量等于各销地的总销量 该方法将单纯形法与平衡的运输问题的特殊性质 运输问题及其解法的进一步介绍参加文献 2 显然 运输问题是一个标准的线性规划问题 因而当然可以运用单纯形方法求解 但由于平衡 的运输问题的特殊性质 它还可以用其它的一些 特殊方法求解 其中最常用的就是表上作业法 结合起来 很方便地实行了运输问题的求解 关于 对于线性规划问题 如果要求其决策变量取 整数值 则称该问题为整数线性规划问题 平面法和分支定界法是两种常用的求解整数线性 对于整数线性规划问题的求解 其难度和运 三 整数线性规划模型 算量远大于同规模的线性规划问题 Gomory割 规划问题的方法 见文献 1 此外 同线性规 划模型一样 我们也可以运用LINGO和LINDO软 件包来求解整数线性规划模型 如何求解整数线性规划模型 以1988年美国大学生数学建模竞赛B题为例 说明整数线性规划模型的建立及用LINGO软件包 例3有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车 上去 包装箱的宽和高是一样的 但厚度 t 以 cm计 及重量 w 以kg计 是不同的 表1给出 了每种包装箱的厚度 重量以及数量 每节平板 车有10 2m长的地方可用来装包装箱 像面包片 那样 载重为40t 由于当地货运的限制 对于 C5 C6 C7类包装箱的总数有一个特别的限制 这 类箱子所占的空间 厚度 不能超过302 7cm 试 把包装箱装到平板车上 使得浪费的空间最小 下面我们建立该问题的整数线性规划模型 1 约束条件 两节车的装箱数不能超过需要装的件数 即 每节车可装的长度不能超过车能提供的长度 每节车可装的重量不超过车能够承受的重量 对于C5 C6 C7类包装箱的总数的特别限制 2 目标函数 浪费的空间最小 即包装箱的总厚度最大 3 整数线性规划模型 4 模型求解 运用LINGO软件求解得到 5 最优解的分析说明 优的装车方案 此时装箱的总长度为1019 7cm 两节车共装箱的总长度为2039 4cm 但是 上述求解结果只是其中一种最优的装 车方案 即此答案并不唯一 0 1整数规划是整数规划的特殊情形 它要求 线性规划模型中的决策变量xij只能取值为0或1 单隐枚举法 该方法是一种基于判断条件 过滤 0 1整数规划模型的求解目前并没有非常好的 四 0 1整数规划模型 算法 对于变量比较少的情形 我们可以采取简 条件 的穷举法 我们也可以利用LINGO和LINDO软件包来求 解0 1整数规划模型 例4有n个物品 编号为1 2 n 第i件物品 重ai千克 价值为ci元 现有一个载重量不超过 大 应如何装载这些物品 a千克的背包 为了使装入背包的物品总价值最 用变量xi表示物品i是否装包 i 1 2 n 并令 解 可得到背包问题的规划模型为 例5有n项任务 由n个人来完成 每个人只能 做一件 第i个人完成第j项任务要cij小时 如 何合理安排时间才能使总用时最小 引入状态变量xij 并令 解 则总用时表达式为 可得到指派问题的规划模型为 上面介绍的指派问题称为指派问题的标准形 式 还有许多其它的诸如人数与任务数不等 及 但一般可以通过一些转化 将其变为标准形式 某人可以完成多个任务 某人不可以完成任务 某任务必须由某人完成等特殊要求的指派问题 对于标准形式的指派问题 我们可以利用匈 牙利算法实现求解 它将指派问题中的系数构成 一个矩阵 利用矩阵上简单的行和列变换 结合 解的判定条件 实现求解 见文献 2 DVD在线租赁第二个问题的求解 问题二的分析 尽量小 会员满意度最大 经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互 制约的重要因素 在忽略邮寄成本的前提下 经营 成本主要体现为DVD的数量 我们主要考虑在会员 向网站提供需求信息 且满足一定要求的前提下 对给定数量DVD进行分配决策 使得DVD的数量 DVD 否则不进行租赁 没有预定的DVD对其满意度的贡献为0 假设按照公历月份进行的租赁业务 即会员 无论两次租赁还是一次租赁 必须在当月内完成 DVD的租与还 同时假设网站对其会员进行一次 租赁业务时 只能向其提供3张该会员已经预定的 经观察 可以认为在线订单中每个会员的预定 DVD的表示偏好程度的数字反映了会员对所预定 不同DVD的满意程度 且当会员租到其预定排序 为1 2 3的三张DVD时 满意度达到100 会员 利用层次分析法 对此满意指数的合理性进 行了简单分析 进行求解 该问题要求根据现有的100种DVD的数量和 当前需要处理的1000位会员的在线订单 制定分 配策略 使得会员达到最大的满意度 因而我们 认为只需对这些DVD进行一次性分配 使得会员 的总体满意度达到最大 为此考虑建立优化模型 问题二的模型及求解 又根据假设 网站只向会员提供其预定的DVD 进行分配 故引入约束 进一步 对每个会员每次租赁只能获得3张其 预定的DVD或不能得到 有 在上述约束的前提下 我们追求会员的总体 会员的最大满意指数为10 9 8 27 1000个 为了更好地表示满意度 我们将目标转化为 满意指数和达到最大 显然每个 会员最大的满意指数和为 用百分数表示的满意度为 由此 可得问题二的0 1整数线性规划模型如下 配方案 见表3 会员全都得到了3张预定的DVD 根据所得的0 1整数线性规划模型 利用 LINGO软件进行求解 我们得到了一组最优分 该组最优解其目标函数会员总体最大满意 度为91 56 只有6人未成功租赁 如 前30 名会员中C0008被分配到DVD 其余994个 五 非线性规划模型 即非线性规划问题 前面介绍了线性规划问题 即目标函数和约束条 件都是线性函数的规划问题 但在实际工作中 还 常常会遇到另一类更一般的规划问题 即目标函数 和约束条件中至少有一个是非线性函数的规划问题 事实上 客观世界中的问题许多是非线性 的 给予线性大多是近似的 是在作了科学 的假设和简化后得到的 为了利用线性的 知识 许多非线性问题常进行线性化处理 但在实际问题中 有一些是不能进行线性化 处理的 否则将严重影响模型对实际问题 近似的可依赖型 由于非线性规划问题在计算上常是困难的 理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁 的结果形式和全面透彻的结论 这点又限制了非 线性规划的应用 所以 在数学建模时 要进 行认真的分析 对实际问题进行合理的假设 简化 首先考虑用线性规划模型 若线性近似 误差较大时 则考虑用非线性规划 非线性规划问题的标准形式为 其中 为维欧式空间中的向量 中至少有一个是非线性函数 非线性规划模型按约束条件可分为以下三类 等式约束非线性规划模型 无约束非线性规划模型 不等式约束非线性规划模型 针对上述三类非线性规划模型 其常用求解的基 本思路可归纳如下 下降迭代法 寻找 该方法的基本步骤如下 所以往往根据目标函数的特征采用搜索的方法 1 无约束的非线性规划问题 止迭代 用来近似问题的最优解 否则转至 从出发 沿方向 按某种方法确定步长 令 然后置 返回 使得 检验是否满足停止迭代的条件 如是 则停 线性规划可以用一维搜索方法求得最优解 一维搜 最常用的搜索方法就是最速下降法 在下降迭代算法中 搜索方向起着关键的作 用 而当搜索方向确定后 步长又是决定算法好坏 的重要因素 非线性规划只含一个变量 即一维非 索方法主要有进退法和黄金分割法 二维的非线性 规划也可以像解线性规划那样用图形求解 对于二 维非线性规划 使用搜索方法是要用到梯度的概念 约束问题求解 近的方法将非线性规划问题化为线性规划问题 2 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消 元法 拉格朗日乘子法或反函数法 将其化为无 3 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很 复杂 求解这一类问题 通常将不等式化为等式 约束 再将约束问题化为无约束问题 用线性逼 规划问题可用拉格朗日方法求解 下面介绍一个简单的非线性规划问题的例 子 其中的一些约束条件是等式 这类非线性 客户的速度 例7 石油最优储存方法 有一石油运输公 司 为了减少开支 希望作了节省石油的存储 空间 但要求存储的石油能满足客户的要求 为 简化问题 假设只经营两种油 各种符号表示 的意义如表4所示 其中供给率指石油公司供给 表4各种符号表示意义表 由历史数据得到的经验公式为 且提供数据如表5所示 表5数据表 已知总存储空间 代入数据后得到的模型为 拉格朗日函数的形式为 模型求解 即 对求各个变量的偏导数 并令它们 等于零 得 解这个线性方程组得 从而可得最小值是12 71 间由24变为25时 最优值会由12 71变为 表示当约束条件右边的值增大一个单位后 相 应目标函数值的增加值 比如说 如总存储空 六 多目标规划模型 许多实际问题中 衡量一个方案的好坏标准 往往不止一个 例如设计一个导弹 既要射程 最远 又要燃料最省 还要精度最高 这一类 问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问 题 我们先来看一个生产计划的例子 能耗不得超过160t标准煤其它数据如下表 问每周应生产三种布料各多少m 才能使该厂 的利润最高 而能源消耗最少 该厂两班生产 每周生产时间为80h 例8 生产计划问题 某厂生产三种布料 解设该厂每周生产布料的小时数为 总利润为 元 总能耗为 t标准煤 其中 则上述问题的数学模型为 其中 有 显然这是一个多目标线性规划问题 一般的多目 标规划问题都可写成如下的形式 从而得到满意解的方法 主要区别在于 目标函数不止一个 而是p个 问题的可行集或容许集 称为可行解或容 称为多目标规划 许解 多目标规划问题与前面讲的规划问题的 多目标规划问题的解法大致可分为两类 直 接解法和间接解法 到目前为止 常用的多为 间接解法 即根据问题的实际背景和特征 设 法将多目标优化问题转化为单目标优化问题 一个目标为主要目标 例如 而把其余目 主要目标法 线性规划问题 多目标优化问题中 若能从p个目标中 确定 标作为次要目标 并根据实际情况 确定适当的 界限值 这样就可以把次要目标作为约束来处理 而将多目标优化问题转化为求解如下的线性或非 其中界限值取为 则 目标优化问题的弱有效解或有效解 令 此非线性规划问题得最优解必为原问题的弱 有效解 因此 用主要目标法求得的解必是多 排一个次序 假设最重要 次之 再次之 最后一个目标 先求出以第一个目标为目标函数 而原 2 分层序列法 把多目标规划问题中的p个目标按其重要程度 问题中的约束条件不变的问题 的最优解及最优值 再求问题 的最优解及最优值 即 的可行域 再求解问题 得最优解及最优值 如此继续下去 直到求出第p个问题 原多目标规划问题在分层序列意义下得最优解 为其最优值 得最优解及最优值 则就是 P 其最优解是唯一的 则问题的最优解 也是唯一的 且 因此常将分层 序列法修改如下 选取一组适当的小正数 成为宽容值 把上述的问题修改如下 再按上述方法依次求解各问题 容易看出 在使用分层序列法时 若对某个问题 3 线性加权求和法 程度给以适当的权系数 且 然后用作为新的目标 得最优解 取作为多目标规划 函数 成为评价 目标 函数 再求解问题 对多目标规划问题中的p个目标按期重要 问题的解 优解必是原多目标规划问题的有效解或弱有效解 例9求解引言中DVD在线租赁的第三个问题 性规划模型以及利用主要目标法求解该模型 在一定条件下 用线性加权求和法求得的最 下面以引言中2005年全国大学生数模竞赛 DVD在线租赁 问题第三问为例 介绍多目标线 得会员的满意度最大 问题三的分析 此问是在现有的在线订单基础上 满足一个 月内95 的会员得到他预订的DVD 我们进行 购买量预算和分配决策 使得会员的满意度最 大 预算购买量的目的是在尽可能地减少DVD 购买量的前提下 满足要求 进行合理分配使 在一个月内进行分配 因而存在部分DVD的两次 员的第二次租赁 我们假设会员得到他想看的DVD就是指 会员 租赁到了他预定的DVD中的三张 且假设会员每 次租赁前都需要提交新的在线订单 此问中要求 被租赁 但因为是处理同一份订单 因而存在会 了张DVD的作用 基于这个假设 为了最小化购买量 我们在 允许当前某些会员无法被满足租赁要求 让其 等待 利用部分会员还回的DVD对其进行租赁 根据问题一 我们认为 一个月中每张DVD 有0 6的概率被租赁两次 0 4的概率被租赁一次 即在二次租赁的情况下 每张DVD相当于发挥 由此 在问题二建立的0 1整数规划模型的 求 考虑DVD可能的两次分配 进一步追求DVD 基础上 满足95 的会员得到他想看DVD的要 进行求解 总的购买数量最小 建立双目标整数规划模型 设表示第j种DVD需要的购买量 对每种DVD 问题三的模型 要求分配的总量不超过相应的现有数量的1 6倍 即 为了让95 的会员可以得到他想看的3张DVD 即 我们希望购买DVD的总数量最小 即 由此 可以得到问题三的双目标整数线性规划 模型如下 总体满意度水平 即最小的满意度 将其满意度的目标转换为约束 如下 问题三的求解与检验 对于该双目标整数线性规划模型 我们引入 利用Lingo软件 调整总体满意度水平进行 求解 实际计算中 如果要求为整 约束进行计算 求得解后 对其 进行取整 当时 我们解得DVD总的最小 购买量 其中第j种DVD需要的购买 量如下表 数 无法求得可行解 因而我们取消了其整数 表6当时最小购买量的值 续上表 我们利用规划模型求得每种DVD的购买量后 需要对其进行可行性校验 测试此结果是否可以 且具有尽可能大的总体满意度 满足一个月内比例为95 的会员得到他想看DVD 校验方法 一 根据订单和求得的DVD购买数量 利用问题 二的规划模型进行第一次分配 对分配情况 租 赁的会员 DVD的分配情况 剩余的各种DVD 数量作记录 同时将已租赁的会员在满意指数 矩阵的指数全变为0 即不考虑对其进行第二次 分配 第一次未分配到DVD的会员进行第二次分配 二 随机从第一次得到DVD的会员中抽取60 将这部分人所还回的DVD与第一次分配余下的 DVD合在一起 作为第二次分配时各种DVD的 现有量 然后 利用问题二的0 1线性规划模型对 三 统计出经过两次分配后 得到DVD的会员 使得到DVD的会员大于95 则认为模型三是合 种算法进行多次随机模拟 若大多数情况下可以 的比例 若大于95 则此次分配成功 利用这 理的 校验结果 因为每次检验需时约1小时 我们只对问题三 表77次模拟结果每次的观看比例列表 观看比例大于95 下面给出7次模拟得到的观 求得的结果进行了7次模拟 其中6次符合要求 看比例 表7 七 动态规划模型 过程中的最优控制问题 动态规划所研究的对象是多阶段对策问题 是在20世纪50年代初期由美国数学家R Bellman等 人提出的一类规划模型 动态规划是现代管理领域 的一种重要的决策方法 其主要应用有最优路径 问题 资源分配问题 投资决策问题 生产计划 与库存问题 排序问题 货物装载问题以及生产 理多阶段决策问题的最优化原理 效益的总和达到最优 多阶段决策问题是指一类活动过程 它可分 为若干个相互联系的阶段 在每个阶段都需要做 出决策 这个决策不仅决定这一阶段的效益 而 定以后 就得到一个决策序列 称为策略 多阶 段决策问题就是求一个策略 使各阶段的效益的 下面我们通过讲解一个最短路问题来引出处 且决定下一阶段的初始状态 每个阶段的决策确 例10有一辆汽车要把货物从A城运到E城 而 可供选择 选取怎样的路线才能使路程最短 从A城到E城必须经过一些城市 整段路程可以 分为若干个阶段 而每个阶段又有若干个城市 假定从A城到E城的所有路线如下图所示 图1从A城到E城的路线 途中的数字表示两城之间的距离 以10千米为 其中B1 B2 C1 C2 D1 D2是可供选择的城市 单位 很明显 前面各阶段的决策如何选择 直接影响着 段选择一个决策 使由它们决定的总路程最短 显然 这是一个多阶段决策问题 从A到E可以分为 4个阶段 从A点出发到B1或B2为第一阶段 这时有 两个选择 走到B1或者走到B2 若我们选择走到B1 的决策 则B1就是下一个阶段的起点 在下一阶段 我们从B1出发 有一个可供选择的决策集合 C1 C2 其余各阶段的行进路线 我们的目的就是在各个阶 动态规划的基本概念 阶段的终点又是第k 1阶段的起点 记为Sk 下面我们来求此问题的最短路线 并以此来 说明处理多阶段决策问题的最优化原理 先引入 令k表示由某点至终点之间的阶段数 例如从A 到E可以分为4个阶段 从B1到E是5个阶段 第k 个阶段时所选择的一个决策 在各个阶段上选择 令xk sk 为决策变量 它表示当处于状态时还有 态全体可用状态集合来描