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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数学归纳法与二项式定理1、（常州市2013届高三期末）空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个部分. （1）求 ；（2）写出关于的表达式并用数学归纳法证明.解：（1）；（2）.证明如下： 当时显然成立， 设时结论成立，即，则当时，再添上第个平面，因为它和前个平面都相交，所以可得 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了个， ，即当时，结论也成立.综上，对，.2、（南京市、盐城市2013届高三期末）已知, 其中(1)若展开式中含项的系数为14, 求的值；(2)当时, 求证：必可表示成的形式.解: (1)因为,所以，故项的系数为，解得5分(2)由二项式定理可知,设，而若有，则,7分， 令，则必有9分必可表示成的形式，其中 10分注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数3、（南通市2013届高三期末）已知数列an满足：（1）若，求数列an的通项公式；（2）若，试证明：对，an是4的倍数解：(1)当时，令，则因为奇数，也是奇数且只能为，所以，即 3分 (2)当时， 4分下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数当时，命题成立；设当时，命题成立，则存在N*，使得，其中，当时，命题成立由数学归纳法原理知命题对成立 10分4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知数列满足且（1） 计算的值，由此猜想数列的通项公式，并给出证明；（2） 求证：当时，证明：，猜想：2分当时，结论成立； 假设当时，结论成立，即，则当时，即当时，结论也成立，由得，数列的通项公式为5分原不等式等价于证明：显然，当时，等号成立；当时，综上所述，当时，10分5、（无锡市2013届高三期末） 已知函数f（x）= x2+1nx （）求函数f（x）在区间1，e上的最大值、最小值； （）设g（x）=f（x），求证： 6、（扬州市2013届高三期末）已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.（）求展开式的中间项；（）当时，试比较与的大小.解：（）依题意，由可得（舍去），或 2分所以展开式的中间项是第五项为：；4分（）由（）知，,当时，当时，猜测：当时， 6分以下用数学归纳法加以证明：时，结论成立，设当时，则时，由可知，即综合可得，当时， 10分7、（镇江市2013届高三期末）已知函数在区间上是增函数.（1）求实数的取值范围；（2）若数列满足，* ，证明解：（1）函数在区间上是增函数.在区间上恒成立,2分,又在区间上是增函数即实数的取值范围为.3分 （2）先用数学归纳法证明. 当时，成立, 4分假设
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