（试题 试卷 真题）2011初中数学竞赛题试卷汇编(A卷)

2011初中数学竞赛题汇编(A卷)目录 页码四川初二竞赛题及答案 2 全国初中竞赛四川赛区赛题 5 全国初中数学竞赛试题及答案 7 全国初中竞赛江西赛区初赛题及答案 21全国初中数学竞赛模拟试题及答案 26城市杯七年级竞赛试题A卷 33城市杯七年级竞赛试题B卷 35城市杯八年级竞赛试题A卷 36城市杯八年级竞赛试题B卷 372011年四川初中数学联赛(初二组)初赛解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式中的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。（A）2倍 （B）4倍 （C） 6倍 （D） 8倍答：选B。2、有甲、乙两班，甲班有m个人，乙班有n个人。在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）（A） （B） （C） （D）答：选D。3、若实数a满足，则一定等于（ ）（A）2a （B）0 （C） -2a （D）-a答：因为，所以，故，选C。4、中，AD是的平分线，且。若，则的大小为（ ）（A） （B） （C） （D）答：作C关于AD的对称点C。因为AD是角平分线，则C一定落在AB上。由，得，故，所以，又，故，选A。5、在梯形ABCD中，平行BC，若的面积是2，则梯形ABCD的面积是（ ）。（A）7 （B）8 （C）9 （D）10答：设。由，故，同理，故，所以梯形面积是9，选C。6、有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ）。重量（千克）11.522.533.5长度（厘米）4.555.566.57A 10厘米 B 13.5厘米 C 14厘米 D 14.5厘米答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y）与称重（x）的关系是，故弹簧最长为13.5厘米，选B。二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知，则的值为.答：由题设有：，则。2、已知在中，AD是的平分线交BC于点D，则的度数是 。答：因为AD是角平分线，所以，故。、在中，I是的角平分线的交点，则的度数为 答：由题知。、设函数与的图像相交于A、C，过A作x轴的垂线相交于B，则的面积是 。答：由题得B的坐标为，所以，又显然O为AC的中点，故。三、（本大题满分20分）设是关于的方程。当方程的解分别：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0时，求的取值范围。解：方程整理为当时，方程的解为： 5分（1）当时，则，此时，或；10分（2）当时，则，此时，； 15分（3）当时，则，此时，。 20分四、(本大题满分25分)在平面直角坐标系中，A（2,0），B（3,0），P是直线上的点，当最小时，试求P点的坐标。解：如图，作A关于直线的对称点A，则，故。 5分由图知，只有当A、P、B共线时，最小。 10分又由A与A关于对称知，A（0,2）。 15分由、两点坐标得AB直线方程：。 20分联立解得，故当最小时，P的坐标为。25分五、（本大题满分25分）求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。设BD、CE是的两条中线（如图），证明。5分证明1 作中线AF，则三条中线交于重心G。 10分因为，所以； 15分所以，即。 20分又AF是中线，故。 25分证明2：如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，则四边形EDFC是平行四边形，所以. 10分又D、E分别AC、AB的中点，所以DE平行BC，所以B、C、F共线。 所以 15分又 BD=CE，BC=CB所以 20分所以，故AB=AC。 25分2011年全国初中数学联合竞赛四川地区试题一、选择题（每小题4分，共七道题）1、一个凸多边形的每一个内角都等于150，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ）A、42条 B、54条 C、66条 D、78条2、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分BAD交BC于E， 若CAE=15则BOE=（ ）A、30 B、45 C、60 D、753、设方程的两根是、，则方程的根是（ ）A、， B、， C、， D、，4、若不等式有解，则实数最小值是（ ）A、1 B、2 C、4 D、65、若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ）A、18 B、24 C、30 D、366、不定方程的正整数解的组数是（ ）A、0组 B、2组 C、4组 D、无穷多组二、填空题（每小题7分，共四道题）1、二次函数的图像关于对称，则的最小值是 .2、已知ABC中，AB=；BC=6；CA=.点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是 .3、一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是 .三、解答题（第1题20分，其余两道各25分）1、已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立，求其实数的可能值。（20分）2、抛物线的图像于x轴交于点M，N，且经过点A（0，1），其中，过点A的直线交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足CAN是等腰直角三角形，切，求解析式.（25分）3、如图.AD、AH分别是ABC（其中ABAC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，MDH的外接圆交CM于E，求证AEB=90。（25分）2011年全国初中数学竞赛试题 (含答案)考试时间2011年3月20日9301130满分150答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设，则代数式的值为（C）A0B1C1D22、对于任意实数，定义有序实数对与之间的运算“”为：。如果对于任意实数，都有，那么为（B）。ABCD3、已知是两个锐角，且满足，则实数所有可能值的和为（C）ABC1DABCEDF4、如图，点分别在ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设，则与的大小关系为（C）ABCD不能确定5、设，则4S的整数部分等于（A）A4B5C6 D7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为。(31) 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是。()yxCABEFO 8、如图，双曲线与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F且AFBF，连接EF，则OEF的面积为；()9、的三个不同的内接正三角形将分成的区域的个数为。(28)10、设四位数满足，则这样的四位数的个数为。(5)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值。 解：设方程的两个根为、，其中、为整数，且则方程的两个整数根为1、1，由根与系数关系得：a，(1)(1)a两式相加得：2210即(2)(2)3或 解得：或又a()，b，c(1)(1)a0，b1，c2或a8，b15，c6故3或29ABCHPDQ12、如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的和BCH的外接圆相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。证明：如图，延长AP交于点Q连结AH，BD，QC，QHAB为直径 ADBBDQ900BQ为的直径于是CQBC，BHHQ点H为ABC的垂心 AHBC，BHACAHCQ，ACHQ，四边形ACHQ为平行四边形则点P为CH的中点。13、若从1，2，3，中任取5个两两互素的不同的整数，其中总有一个整数是素数，求的最大值。 解：若n49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，n48，在1，2，3，48中任取5个两两互素的不同的整数，若，都不是素数，则，中至少有四个数是合数，不妨假设，为合数，设，的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4由于，两两互素，p1，p2，p3，p4两两不同设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p7因为，为合数，所以，中一定存在一个ajp27249，与n49矛盾，于是，中一定有一个是素数综上所述，正整数n的最大值为48。14、如图，ABC中，BAC60，AB2AC。点P在ABC内，且PA，PB5，PC2，求ABC的面积。解：如图，作ABQ，使得：QABPAC，ABQACP，ACPBQM则ABQ ACP，由于AB2AC，相似比为2于是，AQ2 AP2，BQ2CP4QAPQABBAPPACBAPBAC60由AQ：AP2：1知，APQ900于是，PQAP3BP225BQ 2PQ 2 从而BQP900作AMBQ于M，由BQA1200，知AQM600，QM，AM3，于是，AB2BM 2AM 2 (4) 232288故SABCABACsin600AB 22011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知，则的值为【 】A1. B. C. D.【答】B.由可得，即，即，即，所以2已知的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为【 】A5. B6. C7. D8.【答】B.设的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为显然，于是由三边关系，得 解得所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3方程的解的个数为【 】A1个 B2个 C3个 D4个【答】C.当时，方程为，即，解得，均满足当时，方程为，即，解得，满足综上，原方程有3个解4今有长度分别为1，2，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有【 】A5组. B7组. C9组. D11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等又因为，所以正方形的边长不大于由于； ； ； ； 所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为14595如图，菱形ABCD中，则【 】A. B. C. D.【答】 D.过F作AB的垂线，垂足为H，又，从而FHE是等腰直角三角形，所以HEFH， 6已知，则的值为【 】A1. B. C2. D.【答】C.由已知等式得，所以于是，所以 ，即。代入，得，解得所以 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1在ABC中，已知，则 【答】 。延长AB到D，使BDBC，连线段CD，则，所以CACD。作于点E，则E为AD的中点，故，.在RtBCE中，所以，故 2二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若ABD和OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 【答】 2由已知，得，过D作于点E，则，即，得，所以或又，所以又，即，得3能使是完全平方数的正整数n的值为 【答】 11.当时，若它是完全平方数，则n必为偶数若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数当时，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。设（k为自然数），则由于和一奇一偶，所以，于是，故4如图，已知AB是O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，D为EF的中点，则AB 【答】 24. 设，则连AD，BC因为AB为O的直径，AF为O的切线，所以又因为D为RtAEF的斜边EF的中点， ， ， ， 在RtAEF中，由勾股定理得 ，即 设，由相交弦定理得 ，即， 又 ， 又， ，从而在RtACB中，由勾股定理得 ，即， 联立，解得所以第二试 （A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根求的值解 依次将题设中所给的四个方程编号为，设是方程和方程的一个相同的实根，则 两式相减，可解得5分设是方程和方程的一个相同的实根，则两式相减，可解得。所以 10分又方程的两根之积等于1，于是也是方程的根，则。又 ，两式相减，得 15分若，则方程无实根，所以，故于是 又，解得 20分二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且，为的中点求证：（1）；（2）证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心 5分作于点，知为的中点，所以，从而 10分（2）作于点，则又， 15分 RtRt， ，又，所以，故，所以25分三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式解 （1）因为，所以，即由，得5分又，从而有，即10分（2）由，知是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 15分当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知：20分设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得所以，图象经过三点的二次函数的解析式为25分第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且求证：证明 由已知得 ，从而四点共圆，为直径设为AC的中点，则为四边形ABCD的外接圆的圆心5分作于点，则M为BD的中点,所以，从而 10分作于点，则又， 15分 RtRt，又，所以，所以，所以25分三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且）求图象经过三点的二次函数的解析式解 因为，所以 ，即由，得5分又，从而有，即 10分又，故是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 15分当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知：20分设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得所以，图象经过三点的二次函数的解析式为25分第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）如图，已知为锐角内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点如果，求证：是的平分线证明 如图1，作于点，于点，于点，于点设， ， 5分若，如图2，作，分别交于点，则， ，若，则若，同理可证15分， ， ，20分又， 又因为是的平分线，所以， 显然，即， ，是的平分线25分三（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.2011年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答第一试 一. 选择题（每小题分，共分）、设为质数，并且和也都是质数，若记，则在以下情况中，必定成立的是（ ）、都是质数； 、都是合数； 、一个是质数，一个是合数； 、对不同的，以上各情况皆可能出现答案：解：当时，与皆为质数，而，都是质数； 当质数异于时，则被除余，设，于是，它们都不是质数，与条件矛盾！、化简的结果是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：；，因此，原式、的末位数字是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：的末位数字按的顺序循环，而的末位数字按的顺序循环，因为是形状的数，所以的末位数字是，而的末位数字是，所以的末位数字是、方程的解的情况是( ).、无解； 、恰有一解； 、恰有两个解； 、有无穷多个解答案：.解：将方程变形为 ，分三种情况考虑，若 ，则成为 ，即，得；若 ，则成为 ，即，得；若 ，即时，则成为 ，即，这是一个恒等式，满足的任何都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足 的一切实数，即有无穷多个解、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：分类计算：设正六边形的边长为，那么，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，共计个、设为整数，并且一元二次方程有等根，而一元二次方程有等根；那么，以为根的整系数一元二次方程是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：由两个方程的判别式皆为，有，以及，即：以及，消去得，其整根为，于是；因此两个方程分别是：及，前一方程的等根为，后一方程的等根为，易得，以为根的整系数一元二次方程是二、 填空题（每小题分，共分）、直角三角形的三条边长分别为，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于 答案：解：的面积为，又设其内切圆的半径为，则由，所以，因此内切圆面积为，故剩下部分的面积为、若，则（ ）答案：（）解：，由，解得，；因此、如图，正方形的边长为，是边外的一点，满足：，则 答案：解: ，设，则，由，得，即有，所以，则，再由，即，所以、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是的倍数，用表示圆周上所有十二个数的和，那么数所有可能的取值情况有 种答案：种解：对于圆周上相邻的三个数，可以是，或，或，例如，当三数和为时，可以取或或；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为，由于和都是的倍数，那么必有，于是与或者相等，或者相差；又在圆周上，与可互换，与可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是，或，或，因此四段的总和可以取到中的任一个值，总共九种情况 （其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：，其和为，然后每次将一个改成，或者将一个改成，每一次操作都使得总和增加，而这样的操作可以进行八次）第 二 试一、（分）试确定，对于怎样的正整数，方程有正整数解？并求出方程的所有正整数解解：将方程改写为 ， 5由于表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式： 10所以， ，或 ，或 15由得（当或）；由得（当或）；由得 （当 或）； 或 （当或）；由得（当）；或 （当或） 20二、（分）锐角三角形的外心为，外接圆半径为，延长，分别与对边交于；证明：证： 延长交于，由于共点， 5则 10而，15同理有,， 20代入得， 所以 25三、（分）设为正整数，证明：1、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积；2、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积证明：1、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，5则为两个连续正整数的乘积； 102、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，则 15于是，是的倍数，且是奇数；设，由得， 20因此，即，它是两个连续正整数的乘积25学校 姓名 考号 学号 装订线线亲订2011全国初中数学竞赛模拟试题（适合阶段：初中三年级）时间：100分钟 满分：120分题号一二三总分得分一、填空（每空2分，共20分）1、已知 ，那么 = .2、如图1以AB为直径画一个大半圆，BC2AC，分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于 . 3、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图2），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于 米.4、图3中有 个正方形，有个 三角形.图3图1图2 5、在平面直角坐标系中，点P（m为实数）不可能在第 象限.6、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位。则该校去参加春游的人数为 ；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金 元.7、如图4，P是平行四边形ABCD内一点，且SPAB5，SPAD2，则阴影部分的面积为 .8、如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162， 图4c（a+b）=170，那么abc的值是（ ）.（A）672 （B）688 （C）720 （D）750 二、简答下列各题（第9、10题各8分，第11题9分，第12、13、14题各10分，共55分，要求写出简略过程）9、已知a，b，c都是整数，当代数式 的值能被13整除时，那么代数式 的值是否一定能被13整除，为什么？10、如图5所示，在四边形ABCD中，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为，和，求 =？（提示：连接AE、EN、NC和AC） 图511、已知是正整数，且与都是完全平方数. 是否存在，使得是质数？如果存在，请求出所有的值；如果不存在，请说明理由.12、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33倍。问这家原来的电话号码是多少？13、图6是一个99的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数. 请写出这个9位数，简单说明理由. 图6 14、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）三、详答下列各题（每题15分，共45分，要求写出详细过程）15、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”. 已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁. 请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？16、请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由.17、甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了. 已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？图5a2011初中数学竞赛参考答案一、填空题号12345678答案97795，155二270，14003C二、简答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、解：设x，y，z，t是整数，并且假设 比较上式a，b，c的系数，应当有 取，可以得到 ，则有 既然和都能被13整除，就能被13整除.【说明】 表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取，则有 ，则有；实际上，是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到 ，这里k是任意整数，将代入其余方程，解得，这里k是任意整数，则可以有.10、解：如图5a，连接AE、EN和NC，易知 由 ，两个式子相加得 并且四边形AECN的面积=. 连接AC(如图5b)由三角形面积公式，易知，两个式子相加得 S四边形AECN = 将式和相加，得到，既然，因此，.图5b11、解：不存在正整数，使得是质数。理由如下： 设，其中，都是正整数，则.若，则不是质数；若，则于是，矛盾.综上所述，不存在正整数，使得是质数.12、解：设原电话号码为，则升位后为，令，即，化简得，的整数），故，.于是.故所求的电话号码为859375.13、解答：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格.第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图6左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图6右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在图6a（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图6中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）； 3自然就填在（9，9）了，填法见图6a. 九位数是 495186273.14、解答： （1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法. 因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形. 但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有321=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造 个不同的三角形. （2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形.（3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母. 这里不同的英文大写字母仅有6个. 因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A. 根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同. 但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母. 所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边. 又显然，和这4个三角形两两没有公共边. 所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边.三、解答题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）15、解：设刘芳的年龄为x岁. 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳. 注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳.壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为( 路路岁，他的妈妈应当是 岁，和为 菲菲岁，她的妈妈应当是 岁，和为 由于6个人共105岁，所以，. 解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁.答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁.16、解： （1）由于，故有 . 所以，能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）.（2）不妨设，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足由，则有，从而,所以 . 又有，所以 ，故或16.若，则有 ，由于，并且 ，所以，.故 ，100或121. 将 、100和121分别代入 ，没有一个是完全平方数，说明当 时，无解.若 ，则 . 类似地，可得： ，即 ，此时，不是整数. 综上所述，不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和.17、解：让我们画两个示意图(上图)，并设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a。再设跑道长是L，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为L。甲跑完第一圈，乙跑了L，乙再跑余下的L，甲已折返，且以(1)的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了，这时，乙折返并以(1十)的速度跑着。从这时起，甲、乙速度之比是，即53。所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的的，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点。可见两次相遇点间的距离是L190(米)，即L190(米)，L400(米)答：跑道长为400米 2011年“城市杯”初中数学应用能力竞赛 七年级 2011/5/15 9:0011:00 A说明：1.考试时间120分钟；2.满分150分；3.把A卷的选择题和填空题的答案填写在B卷的答题卡上，交卷时只交B卷一、选择题（每小题5分，共50分）四个选项中，只有一个正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内1如果有理数a、b、c满足关系ab0c，那么代数式的值（ ）（A）必为正数（B）必为负数（C）可正可负（D）可能为02（A）（B）（C）（D）3350，440，530的大小关系为（ ）（A）350440530（B）530350440 （C）530440350（D）4405303504对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）与(c, d)之间的运算“”为：（a, b）（c, d）（ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v）（x, y）（u, v）,那么（x, y）为（ ）（A）（0, 1） (B)（1, 0） (C)（1， 0） (D)（0, 1）5今有长度分别为1，2，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）(A)5组. (B)7组. （C)9组. （D）11组.6若一个整数为两位数，它等于其数字和的8倍，如果互换原两位数个位数字与十位数字的位置，那么所得的新两位数是其数字的（ ）（A）17倍（B）1倍（C）2倍（D）3倍7如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同个数为m，则等于（ ）（A） （B）（C）（D）8已知n是整数，现有两个代数式：（1）2n+3，（2），其中能表示“任意奇数”的（ ）（A）只有（1）（B）只有（2）（C）有（1）和（2）（D）一个也没有9正整数n小于100，并且满足等式，其中 x 表示不超过x的最大整数，这样的正整数n为（ ）个（A）2（B）3（C）12（D）1610设，则4S的整数部分等于（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7二、填空题（每小题5分，共50分）11计算：的结果是 12跳格游戏如图所示，人从格外只能进入第一格，在格中，