第十二章 12.3椭圆(学).docx

12.3椭圆的标准方程一、情境设置、新课引入我们已经知道：在平面内到一个定点的距离为定值的点的轨迹是圆，到两个定点的距离的平方和为定值的点的轨迹也是圆。那么，在平面内到两个定点的距离的和为定值的点的轨迹是什么？取一条长为的绳子，把它的两端都固定在图板上的两点、（），用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动一周，笔尖点画出来的图形就是一个椭圆。二、概念讲解定义：我们把平面内到两个定点、的距离和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点、叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距。说明：（1）与圆的定义类似，在椭圆定义中仍应强调“平面内”；（2）在定义中强调了这个条件，若无此条件，则所得图形不一定为椭圆。当，则动点的轨迹为线段；若，则所求轨迹不存在。因此定义中“”这一条件不能省略。三、椭圆的标准方程：椭圆标准方程的推导：设定点、之间的距离为（显然），取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则、的坐标分别为、。设是椭圆上的任意一点，点到、的距离和等于（），且，即将上式两边平方，得可化为：，两边再平方，得：，整理的：，设（），得：，即：（）-由上述推导过程可以知：椭圆上的任意一点的坐标都是方程的解；反之，可以证明以方程的解为坐标的点都在这个椭圆上。证明过程为：设点满足方程，即，则， （）同理 ，即以方程的解为坐标的点都在这个椭圆上。所以方程是这个椭圆的方程，它所表示的椭圆的焦点在轴上，坐标为，这里的、满足关系式。如果所建立的直角坐标系使焦点、在轴，设、的坐标分别为，、的意义同上，那么所得椭圆方程为：（）-这里方程和都叫做椭圆的标准方程。说明：1、两种标准方程均有条件，因此对于方程，只要满足，即为椭圆方程； 2、两种形式的标准方程的不同是椭圆的位置不同，焦点坐标也不相同；由于，所以可以根据分母大小来判定椭圆的焦点在哪个坐标轴上，分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上。四、应用举例例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 焦点在轴上，焦距为8，椭圆上一点到两个焦点的距离的和为10；（2）两个焦点坐标为和，且过点；（3）焦点在坐标轴上，且关于原点对称，焦距为，且经过点。解：（1）椭圆标准方程为；（2）椭圆标准方程为；（3）椭圆标准方程为和；例2、已知、为两个定点，且，且的周长为16，求顶点的轨迹方程。解：的轨迹方程为（）。变式一：已知，、成等差数列，求点的轨迹方程；变式二：在中，求顶点的轨迹方程。12.3椭圆的标准方程（2）一、概念复习问题一：椭圆的定义是什么？问题二、椭圆的标准方程是怎样的？答：焦点在轴上的椭圆的标准方程为：（）；焦点在轴上的椭圆的标准方程为：（）。二、例题深入例1、求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程。解：设所求椭圆方程为（），经过和两点，解此方程组可得：解得，故所求方程为点评：当焦点不确定时，为避免分类讨论，为避免计算复杂，可设椭圆方程为（），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出、即可。例2、的两个顶点坐标分别为和，另两边、的斜率的乘积为，求顶点的轨迹方程。解：的轨迹方程为：（）此题推广为：的两个顶点坐标分别为和（），另两边、的斜率的乘积为（），求顶点的轨迹方程。依题意可得：化简可得：即：（）例3、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹。解：设轨迹上任意一点的坐标为，则，由在圆上，可得：，即点的轨迹方程为：。点评：（1）在求点的轨迹方程时，可先用、来表示已知轨迹上的点，再用代入法求出所求轨迹方程；（2） 由本题结论可以看出，将圆按某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。例4、一动圆与已知圆外切，与圆内切，试求这动圆圆心的轨迹方程。解：动圆圆心的轨迹方程为：点评：当动点的轨迹满足椭圆定义时，可直接用定义写出方程，而不必要去重复繁琐的化简。三、补充练习1、已知椭圆的一个焦点为，求的值。解：。2、已知椭圆中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程。解：或。3、的底边，和两边上中线之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹。解：所求方程为（） 点的轨迹为以为焦点椭圆（除轴上两点外）。的轨迹方程为：（），点的轨迹为以为焦点椭圆（除轴上两点外）。4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。解：所求椭圆方程为：或12.4椭圆的性质（1）一、复习引入问题一：椭圆的标准方程是怎样的？问题二：在直角坐标系内，关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？ 问题三：在直角坐标系内，如何判断某方程所表示的图形关于轴、轴、原点对称？ 二、新课研究椭圆几何性质的研究，从椭圆标准方程-来研究。1、 对称性：椭圆既是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。2、 顶点：两坐标轴的交点坐标分别是。这四个点叫做椭圆的顶点。若线段叫做椭圆的长轴，它的长等于；线段叫做椭圆的短轴，它的长等于，是长半轴的长，是短半轴的长。很明显，椭圆的两个焦点都在它的长轴上。说明：在椭圆中，是椭圆上离中心最远的点；而是椭圆上距离中心最近的点。（证明略）3、范围：由方程可知：椭圆上每一点的坐标都适合不等式，即：，这说明椭圆位于直线和所围成的矩形内。对于椭圆的性质，可用如下表来表示方程（）（）图形范围对称性关于轴、轴、坐标原点对称关于轴、轴、坐标原点对称顶点三、应用举例例1、（1）求椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标；（2） 写出与椭圆有相同焦点，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程。解：（1）长轴长为10，短轴长为8，焦点坐标为，顶点坐标为： 。（2）与椭圆即有相同焦点，且长轴长是短轴长的2倍，椭圆方程为：，解得，所求椭圆方程为。复习椭圆性质并研究下列性质：为椭圆上的任意一点，焦点，1） 求的范围；2） 求的范围；3） 椭圆的光学性质；解：1）焦半径；2）3）从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点；例2、1970年4月24日我国发射了第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，卫星在近地点与地球表面的距离为439千米，在远地点与地球表面距离为2384千米，地球中心与、在同一直线上，已知地球的半径为6371千米，建立适当的坐标系，求卫星轨迹的方程（精确到0.1千米）解：以卫星轨道的中心为原点，以千米为单位，建立平面直角坐标系，地球中心在， 设所求卫星轨道的方程为：（） 、是与地球表面的两个交点，又得：，因此所求卫星轨迹的方程为：例3、已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值。解：的最大值为6。例4、已知椭圆方程（），长轴端点为，焦点，是椭圆上一点，且。求的面积（结果用来表示）解：椭圆：椭圆定义 在平面内到两个定点、的距离的和为定值（）的点的轨迹焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形焦点坐标关系（）对称性关于轴、轴、坐标原点对称关于轴、轴、坐标原点对称范围顶点性质若椭圆，1）焦半径；2）3）从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点；（可确定椭圆中心）4）椭圆与平行弦的相交的交点中点的轨迹是过椭圆中心的线段；5）；6）为中点，则为定值；7）椭圆上任意一点，为椭圆的长轴顶点，则8）参数方程：（）；12.4椭圆的性质（2）一、复习引入问题一：直线与圆的位置关系有几种？直线与椭圆的位置关系有几种？ 问题二：如何判断直线与圆的位置关系？又怎样判定直线与椭圆的位置关系呢？直线与圆的位置关系有两种判定方法：一是根据圆心到直线的距离与圆的半径比较，当时相交，当时相切，当时相离；另一种方法是直线与圆（椭圆）方程联立，转化为一元二次方程根的判别式来解决，当时，直线与圆（椭圆）相交，当时，直线与圆（椭圆）相切，当时，直线与圆（椭圆）相离。二、应用举例例1、已知直线和椭圆的方程如下，求它们的交点坐标并说明位置关系。（1）；（2）。解：（1）直线与椭圆相切，切点坐标为（2）直线与椭圆相交，交点坐标为和例2、中心在原点，一个焦点坐标为的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程。解：所求椭圆方程为。例3、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线方程。解法一：设所求直线方程为，即代入椭圆方程 可得： 设直线与椭圆交点坐标为，则 解得，故所求直线方程为：解法二：设直线与椭圆交点坐标为，为的中点， ，又、两点在椭圆上， 两式相减可得： 即 即，故所求直线方程为。说明：在求与中点有关的弦的问题时，通常可用点差法来解。解法三、设所求直线与椭圆的一个交点坐标为，由于中点为，则另一个交点为，、都在椭圆上，-又上述两式相减得：即为所求直线方程。例4、椭圆与直线相交于、两点，是的中点，若，斜率为（为原点），试确定椭圆的方程。解法一：由方程组可得：，设，则， 则- 又 -解、可得：，椭圆方程为解法二：由可得：的方程为由解得：，又由可得： ，即- 又可得- 由、可得：，椭圆方程为。解法三：由解得：，直线的倾斜角为又知是的中点，且，可得：，将、坐标代入中，得：，解得：， 所求椭圆方程为。点评：椭圆的两种形式的标准方程可统一写成（），可以避免对焦点位置的讨论，且使运算过程简化，而弦中点问题常使用韦达定理来解决。例5、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程。分析：此题各小题均与弦的中点有关，因此可用点差法解题。解：设弦的两个端点分别为，则两式相减，可得：-（*）（1）由题意知：，代入可得：， 所求直线方程为即为所求直线方程；（2）设所求中点轨迹上任意一点坐标为，由 可求轨迹方程为：（在椭圆内的部分）（3） 设所求中点轨迹上任意一点坐标为，由 且代入（*）可得：（椭圆内部分）（4）将与式相加，可得： 即： 由，且代入上式可得： 所求轨迹方程为：。三、小结1、直线与椭圆的位置关系，一般是通过方程组转化为一元二次方程，运用一元二次方程的知识（如求根、判别式、根与系数关系）求得；2、在解决与中点弦有关的问题时，可用点差法解决，减少运算量。 椭圆：上两点中点 则，两式相减得 当时， 即：为定值；练习：1、已知椭圆，直线， （1）求的位置关系； （2）求被截得的最长弦所在的直线方程，并求出弦长的最大值； 解：（1）直线与椭圆联立得， 时相交； 时相切； 时相离； （2）由弦长公式得弦长为 当时，弦长取到最大值，此时；2、 已知椭圆，问：在上是否存在关于定点对称的两点？若存在求出对称点坐标，若不存在，说明理由； 解：解法一：假设存在满足条件的两点 由点不在轴上，故，代入椭圆得： 则 即存在解法二：点差法。求得；3、 已知点是椭圆上的动点，点是定点，求之间距离的最小值；解：若； 若； 若；4、 在椭圆上求一点，使它到直线的距离最小，并求最小值； 解：设与已知直线平行的直线与椭圆相切，求出切点为：；12.4椭圆的参数方程一、概念讲解如图，以原点为圆心，分别以、（）为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，当半径绕点旋转时，设点的坐标为，设以为始边，为终边的最小非负角为，