（浙江专用）2020高考数学二轮复习专题六计数原理与古典概率第1讲计数原理、二项式定理教案.docx

第1讲计数原理、二项式定理两个计数原理核心提炼分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘典型例题 (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24B18C12D9(2)甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有()A10种 B15 C20种 D30种【解析】(1)由题意可知EF共有6种走法，FG共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318种走法，故选B.(2)首先分类计算假如甲赢，比分30是1种情况；比分31共有3种情况，分别是前3局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是32共有6种情况，就是说前4局22，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况甲一共有13610种情况获胜所以加上乙获胜情况，共有101020种情况【答案】(1)B(2)C应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理 (2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化对点训练1如图，某教师要从A地至B地参加高考教研活动：路线：A到B有三条路线；路线：A到C后再到B，其中A到C有1条路线，C到B有2条路线；路线：从A到D，D到C，C到B，其中A到D，D到C，C到B各有2条路线，则该教师的选择路线种数共有()A10B11C13 D24解析：选C.按路线，共有3种选择；按路线，分2步可以到达B，共有122种选择；按路线，分3步，共有2228种，故共有32813种选择2如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a30)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若A4B，则B_解析：Tr1(1)rC(ax)6r()r(1)ra6rCx6r.令6r3得r2，则 Aa4C15a4；令6r0得r4，则B(1)4a2C15a2，又由A4B得15a4415a2，则a2，B60.答案：60专题强化训练基础达标1(2019金华十校期末调研)在(x24)5的展开式中，含x6的项的系数为()A20B40C80D160解析：选D.Tr1C(x2)5r(4)r(4)rCx102r，令102r6，解得r2，所以含x6的项的系数为(4)2C160.2(2019广州综合测试(一)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的一枚硬币，所有人同时抛出自己的硬币若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为()A. B. C. D.解析：选B.抛四枚硬币，总的结果有16种，“没有相邻的两个人站进来”记为事件A，可分为三类：一是没有人站起来，只有1种结果；二是1人站起来，有4种结果；三是有2人站起来，可以是AC或BD，有2种结果所以满足题意的结果共有1427种，P(A).故选B.3(2019杭州市第二次质量预测)将数字“124 467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A72 B120C192 D240解析：选D.将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以有60种情况；(2)若末位数字为6，同理有60种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有54321120种情况综上，共有6060120240种情况4(2019衢州市高三期末考试)若(x)(2x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是()A40 B20C40 D20解析：选C.令x1，(1a)(21)52，解得a1.所以(2x)5的通项公式Tr1C(2x)5r()r(1)r25rCx52r，令52r1，52r1.解得r3或2.所以该展开式中常数项(1)322C(1)223C40.5某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同报名方法有()A12种 B24种C36种 D72种解析：选C.由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A6(种)情况，所以共有6636(种)不同的报名方法6(2019金华市调研考试)若()n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项是()A270 B270C90 D90解析：选C.()n的展开式中所有项系数的绝对值之和等于()n的展开式中所有项系数之和令x1，得4n1 024，所以n5.()5的通项公式Tr1C()5r()rC35r(1)rx，令0，解得r3，所以展开式中的常数项为T4C32(1)390，故选C.7(2019合肥市第一次教学质量检测)已知(axb)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与18，则(axb)6的展开式中所有项系数之和为()A1 B1C32 D64解析：选D.由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2，x5项的系数为Ca5b，则由题意可得，解得ab2，故(axb)6的展开式中所有项的系数之和为(ab)664，选D.8(2019浙江新高考冲刺卷)(x2)3展开式中的常数项为()A8 B12C20 D20解析：选C.(x2)3展开式中的通项公式Tr1C(2)3r(x)r.(x)r的通项公式：Tk1Cxrk()kCxr2k，令r2k0，可得：k0r，k1，r2.所以常数项(2)3CC(2)20.9已知(ax)5(bx)5的展开式中含x2与x3的项的系数绝对值之比为16，则a2b2的最小值为()A6 B9C12 D18解析：选C.(ax)5(bx)5的展开式中含x2项的系数为C()3a2C()3b2，含x3项的系数为C()2a3C()2b310(ab)，则由题意，得，即|ab|6，则a2b2|a|2|b|22|ab|12，当且仅当|a|b|时取等号10某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有()A35种 B24种C18种 D9种解析：选C.若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包，剩下2个红包，被剩下3名成员中的2名抢走，有AA12(种)；若甲、乙抢的是两个2元或两个3元的红包，剩下两个红包，被剩下的3名成员中的2名抢走，有AC6(种)根据分类加法计数原理可得，甲、乙两人都抢到红包的情况共有12618(种)11(2019诸暨调研)现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加学校的“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么有男生_人、女生_人解析：设男、女同学的人数分别为m和n，则有即由于m，nN*，则m3，n5.答案：3512(2019成都市第二次诊断性检测)在二项式(ax2)5的展开式中，若常数项为10，则a_解析：(ax2)5的展开式的通项Tr1C(ax2)5r()rCa5rx10，令100，得r4，所以Ca5410，解得a2.答案：213(2019温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2，5相邻，则这样的五位数的个数是_(用数字作答)解析：先把2，5捆挷有2种方法，再把它与4排列有2种排法，此时共有3个空供数字1、3插入有A6种方法，故这样的五位数的个数是22624个答案：2414已知集合A4，B1，2，C1，3，5，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为_解析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCCA36，但集合B，C中有相同元素1，由4，1，1三个数确定的不同点只有3个，故所求的个数为36333.答案：3315(2019浙江东阳中学高三检测)已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，则a0_；(a0a2a4a6)2(a1a3a5a7)2_解析：由(12x)7a0a1xa2x2a7x7，观察：可令x0得：(120)7a0a10a701，a01.(a0a2a4a6)2(a1a3a5a7)2(a0a1a7)a0a2a4a6(a1a3a5a7)，则可令x1得：(121)7a0a1a2a71，再可令x1得：(121)7a0a1a2a3a7372 187，可得：(a0a2a4a6)2(a1a3a5a7)212 1872 187.答案：12 18716(2019张掖市第一次诊断考试)设f(x)是(x2)6展开式中的中间项，若f(x)mx在区间，上恒成立，则实数m的取值范围是_解析：(x2)6的展开式中的中间项为第四项，即f(x)C(x2)3()3x3，因为f(x)mx在区间，上恒成立，所以mx2在，上恒成立，所以m(x2)max5，所以实数m的取值范围是5，)答案：5，)17(2019绍兴质量检测)将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为_解析：四个篮球中两个分到一组有C种分法，三个篮球进行全排列有A种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CAA36630种分法答案：30能力提升1(2019台州高三期末考试)已知在()n的展开式中，第6项为常数项，则n()A9 B8 C7 D6解析：选D.因为第6项为常数项，由C()n5()5()n5Cxn6，可得n60，解得n6.故选D.2用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72解析：选D.第一步，先排个位，有C种选择；第二步，排前4位，有A种选择由分步乘法计数原理，知有CA72(个)3(2019惠州市第三次调研考试)(x2y)5的展开式中x2y3的系数是()A20 B5 C5 D20解析：选A.(x2y)5展开式的通项为Tr1C(x)5r(2y)rC()5r(2)rx5ryr，令r3，得x2y3的系数为C()2(2)320.选A.4某班利用班会时间进行个人才艺表演，共有5名同学参加，其中3名女生，2名男生如果2名男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个出场，那么不同的出场顺序的排法种数为()A24 B36 C48 D60解析：选D.先排3名女生，有A种排法，再从4个空位中选出2个空位排2名男生，有A种排法，所以共有AA72(种)排法；若女生甲排在第一个出场，从3个空位中选2个空位排男生，有AA12(种)排法所以满足条件的出场顺序的排法有721260(种)故选D.5(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60解析：选C.法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.法二：(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.6在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()A45 B60 C120 D210解析：选C.因为f(m，n)CC，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)CCCCCCCC120.7(2019金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个，5个红包中有2个8元，1个18元，1个28元，1个0元，(红包中金额相同视为相同红包)，则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有()A18种 B24种 C36种 D48种解析：选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD，ABCE，ABDE，在每类情况中，获奖的情况有：CA12种，所以由分步乘法原理得：A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有：31236种8用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个解析：选B.分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0，2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0，2，4.当万位数字为4时，个位数字从0，2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0，2，4中任选一个，共有CA个偶数故符合条件的偶数共有2ACA120(个)9若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a5a11)等于()A27 B28 C7 D8解析：选C.取x1得(1)4(13)8a0a1a2a11a12，取x3得(3)4(33)8a0a1a2a11a12，与两式左、右两边分别相减得282(a1a3a5a11)，所以a1a3a5a1127，所以log2(a1a3a5a11)7.10从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有()A240种 B360种 C480种 D600种解析：选D.分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C10种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C15种不同选法，所以不同的选法有101525(种)第二步，4名网络歌手同时去4个地区演出，有A24种方案由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有2524600(种)11已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a_解析：(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx5x，T3Cx210x2，所以x2的系数为105a5，所以a1.答案：112(2019宁波四校联考(二)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有_种坐法解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A20种坐法答案：2013(2019杭州市高考二模)若(2x)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n_；展开式中的常数项是_解析：因为(2x)n的展开式中所有二项式系数和为2n64，则n6；根据(2x)n(2x)6的展开式的通项公式为Tr1C(1)r(2x)6rx2rC(1)r26rx63r，令63r0，求得r2，可得展开式中的常数项是C24240.答案：624014(2019浙江东阳中学高三期中检测)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则组成的偶数的个数是_；恰有一个偶数数字夹在两个