《平面的法向量》进阶练习（二）.doc

平面的法向量进阶练习一、选择题1.已知直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2），平面的一个法向量为=（2，-2，-4），则（）A.lB.lC.lD.直线l与平面相交但不垂直2.已知点O为坐标原点，点A（1，0，0）、点B（1，1，0），则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是（）A.（1，1，1）B.（1，0，1）C.（0，1，1）D.（0，0，1）3.已知平面的法向量为=（2，-2，4），=（-3，1，2），点A不在内，则直线AB与平面的位置关系为（）A.ABB.ABC.AB与相交不垂直D.AB二、填空题4.若直线 的方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则直线 与平面 所成角的正弦值等于 三、解答题 5.如图，在多面体 中，四边形 是正方形，AC=AB=1， . （I）求证： ； （II）求二面角 的余弦值的大小.参考答案1.C2.D3.D4.5.（）证明：取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，B1C1BC，B1C1=BC，B1C1EC，且B1C1=EC，四边形CEB1C1是平行四边形，B1EC1C，B1E=C1C，C1C面A1C1C，B1E不包含于平面A1C1C，B1E面A1C1C，又ABB1A1是正方形，A1AC1E，且A1A=C1E，AEC1A1是平行四边形，AEA1C1A1C1面A1C1C，AE面A1C1C，AE面A1C1C，AEB1E=E，面B1AE面A1C1C，AB1面B1AE，AB1面A1C1C（）四边形ABB1A1为正方形，A1A=AB=AC=1，A1AAB，A1B，A1C=A1B，A1C，由勾股定理可得：A1AC=90，A1AAC，ABAC=A，A1A面ABC，A1C=A1B=BC，BC，由勾股定理，得BAC=90，ABAC，故以A为原点，以AC为x轴建立坐标系如图，C（1，0，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），设面A1C1C的法向量为，由，令z=1，则，设面A1C1B的法向量为，则，则，令k=1，则，所以，设二面角C-A1C1-B的平面角为，所以coscos().1.解：直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2）， 平面的一个法向量为=（2，-2，-4）， 又=2， l 故选：C 由题意易得，由法向量的定义可得答案 本题考查平面的法向量和空间向量的平行关系，属基础题 2.解：设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z） 则， 解得x=y=0 只有D中的向量（0，0，1）满足条件 故选：D 设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）可得，解出即可 本题考查了平面的法向量、线面垂直的性质、数量积运算性质，考查了技能数列，属于基础题 3.解：=-6-2+8=0，点A不在内， AB 故选：D 由于=-6-2+8=0，点A不在内，即可得出 本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4.5.本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用（）取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，由已知得四边形CEB1C1是平行四边形，AEC1A1是平行四边形，由此能证明AB1面A1C1C（）由已知得A1A=AB=AC