信号检测与估计理论.ppt

复习讨论了离散和连续维纳滤波的因果解和非因果解及其离散维纳滤波的时域解 这节课我们学习卡尔曼滤波 该方法在众多领域获得广泛应用 比如 高精度组合导航 导弹制导控制 航天领域 复习维纳滤波方法我们采用在频域 功率谱分解 设计维纳滤波器的方法 通过解维纳 霍夫方程的解的方法 重点讨论了连续和离散维纳滤波的因果解和非因果解 维纳 霍夫方程的解 维纳滤波器的缺点必须知道信号和噪声的二阶统计量 必须知道系统函数H或者脉冲响应h 并通过积分求出输出 只能适应于平稳随机过程 不适应非平稳随机过程 系统输入条件变化时 要求重新计算H或者h等 造成维纳滤波器设计困难的根本原因是什么 采用频域设计方法是造成维纳滤波器设计困难的根本原因 因此人们转向在时域内直接设计最优滤波器的新方法 这节课我们学习卡尔曼滤波 该方法在众多领域获得广泛应用 比如 高精度组合导航 通信 遥感 地震测量 石油勘探 经济学和社会学等诸多信息融合研究中 机器人导航 控制传感器数据融合雷达系统以及导弹追踪计算机图像处理头脸识别图像分割图像边缘检测 RudolfEmilKalman 1930 匈牙利数学家BS MSatMIT 1953 1954 PhDatColumbia 1957 1960年发表的论文 ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems 线性滤波与预测问题的新方法 Kalman滤波理论的提出 11959年 NASA开始研究载人太空飞船登月方案 阿波罗计划 当时提出了两个主要问题 A飞船中途导航和制导 即飞船的测轨定姿问题 B液体燃料助推器大挠度条件下的自动驾驶问题 Kalman滤波理论的提出 2主要问题是解决对飞船运动状态的估计 当时 测量主要来自三个子系统 飞船的惯性测量装置天文观测仪地面测轨系统 测轨数据经数据链传送至飞船 那么导航制导问题的关键就是三个子系统的信息融合与估计问题 当时 曾试图采用递推加权最小二乘和维纳滤波的方法 均因为满足不了要求和过于复杂的计算而被迫放弃 Kalman滤波理论的提出 31960年秋 Kalman访问了NASA 同年提出卡尔曼滤波算法 立即引起重视并投入研究 尔后 由MIT负责研制成功阿波罗计划中的导航系统 这也是Kalman理论早期最著名的应用之一 在以后的几十年里 该理论又被发展 应用领域也被广泛拓广 我们在后面的章节将会简单介绍Kalman滤理论的发展 Kalman滤波基本思想一名游客对九寨沟风情的认识为例该游客到九寨沟前从其他渠道获得了对该景点的初步认识 身临其境 当前 的观赏 结合过去的估计值和当前的观察 获得当前时刻对九寨沟的整体认识 k 1时刻一个估计 k时刻真实观测 k时刻的认识 卡尔曼滤波和维纳滤波的异同 相同点 二者都是在最小均方误差准则下的最佳线性滤波 不同点 1 维纳滤波只适应于平稳随机过程 而卡尔曼滤波可适应于非平稳随机过程 2 维纳滤波根据全部过去和当前的观测数据来估计信号的波形 其解的形式为H或者h 而卡尔曼方法则是根据前一个估计值和当前的观测值来估计当前信号的波形 用的是状态方程和递推的方法 其解是估计的形式 3 信号模型得到的方法不同 维纳滤波是从信号和噪声的自相关函数中得到的 卡尔曼滤波是从信号的状态方程和观测方程中得到的 Kalman滤波的特点 1 kalman滤波算法是递推的 且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法 因而适用于多维随机过程的估计 离散kalman算法适用于计算机的处理 2 用递推法计算 不需要知道全部过去的值 用状态方程描述状态变量的动态变化规律 因此 信号可以是平稳的 也可以是非平稳的 维纳滤波器 根据全部过去的和当前的观测数据x n x n 1 来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H z 或单位冲激响应h n 卡尔曼滤波 不需要全部过去的观察数据 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统 即由状态方程和量测方程组成 解是以估计值 是状态变量的估计值 的形式给出的 只根据前一个估计值和最近一个观察数据 其算法是递推 且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法 因而适用于多维随机过程的估计 离散卡尔曼算法适用计算机处理 从信号模型的建立来看 维纳滤波的信号模型是从信号与噪声的相关函数得到 卡尔曼滤波的信号模型则是从状态方程和量测方程得到 本节主要内容1离散卡尔曼滤波的信号模型 状态方程和观测方程 2离散卡尔曼滤波的递推公式等 在讨论维纳滤波时 提出一个基本概念 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看作是白色噪声通过一个线性网络所形成 由此得到维纳滤波器的信号模型 6 5离散卡尔曼滤波的信号模型 离散状态方程和观测方程研究离散卡尔曼滤波 需要知道信号的模型 离散状态方程和观测方程及其统计特性假设 状态矢量 离散时间系统在k时刻的状态是由M个状态变量构成的M维状态矢量来描述的 6 5离散卡尔曼滤波的信号模型 离散状态方程和观测方程1 状态方程式中 是时刻的维状态矢量 是时刻的维激励信号 通常是白噪声 和是由系统特性 结构决定的系统矩阵 A表示状态变量之间的增益矩阵 输入信号到状态变量的支路的增益矩阵 设系统初始状态为 则可用递推方法得状态方程的解 等式右端第一项只与系统的初始状态和系统结构及特性有关 与激励信号无关 称为零输入响应 等式右端第二项与系统的初始状态无关 与系统结构及特性 激励信号有关 称为零状态响应 状态方程是多维一阶的差分方程 当已知初始状态s 0 可用递推的方法得到它的解 令则若用表示的起始时刻 则 6 5 3 式从开始递推 从而有 其中 表示系统从时刻状态转移到时刻状态的规律 称为状态转移矩阵 状态转移矩阵具有三个基本性质 分步转移性可逆性同时刻状态不变性如果 则有其中 统称为扰动噪声矢量 为反映系统所受影响 记为更具一般性 并称为系统控制矩阵 这 样 系统的状态方程为 一步递推状态方程 式中 为时刻维状态矢量 为系统一步状态转移矩阵 为时刻维扰动噪声矢量 为系统控制矩阵 总结 2 观测方程 需要观测数据才能对系统的状态进行估计 假设观测系统是线性的 式中 为时刻维观测信号矢量 为时刻观测矩阵为时刻维观测噪声矢量 离散卡尔曼滤波的信号模型如图6 8所示 状态模型观测模型 例6 5 1设目标以匀加速度a从原点开始作直线运动 加速度a受到时变扰动 现在以等时间间隔T对目标的距离r进行直接测量 试建立运动目标的离散状态方程和观测方程 解 1 状态方程这是一个离散信号模型 根据目标的运动规律 并考虑到加速度a受到时变扰动 可以分别写出关于目标距离r 速度v和加速度a的方程分别如下 6 5 2离散信号模型的统计特性为了导出离散卡尔曼滤波的公式 我们需要对信号模型作统计特性描述 1 扰动噪声矢量是零均值的白噪声随机序列 2 观测噪声矢量是零均值的白噪声随机序列 3 扰动噪声矢量与观测噪声矢量是互不相关的 即 4 系统初始状态 的状态矢量的均值矢量和协方差矩阵分别为 它们是已知的 并认为与 与互不相关 即由于信号模型中 和都是时变的 所以信号模型适用于多维非平稳随机过程 信号模型的上述统计特性下 可以推得基本的离散卡尔曼滤波公式 如果把信号模型的统计特性约束放宽 可以研究扩展的离散卡尔曼滤波问题 我们将主要讨论基本的离散卡尔曼滤波问题 离散Kalman滤波方程的推导滤波方程的直观推导滤波方程的正交投影法推导 6 6离散卡尔曼滤波6 6 1离散状态估计与离散卡尔曼滤波1 离散信号模型次观测的观测矢量2 离散状态估计根据观测矢量 求得系统在第时刻状态矢量的估计 称为系统的离散状态估计 结果记为 估计的误差矢量记为 称估计的均方误差阵记为 按照和的关系 离散状态估计分为 估计矢量 称为状态滤波 估计矢量 称为状态预测 外推 特别地 估计矢量 称为状态一步预测 估计矢量 称为状态平滑 内插 3 离散卡尔曼滤波结合离散信号模型 采用线性最小均方误差准则的离散状态估计 就是离散卡尔曼滤波 讨论离散卡尔曼滤波的状态滤波和状态一步预测 6 6 2离散卡尔曼滤波的递推公式1 由正交投影的概念和引理1 知而于是 由正交投影引理III 有式中 图6 7正交投影引理 的几何解释 我们只要求出 6 6 7 式中的各项计算公式 就得到了状态滤波的计算公式 2 项的计算 6 6 7式第一项 该项含义 基于的之线性最小均方误差估计 是状态一步预测值 由状态方程6 6 1和引理II得 该项计算 由正交投影引理I 得到6 6 9式第二项的正交投影等于0 具体分析如下 由信号模型 中只含有 根据对离散信号的统计假设 所以 6 6 9 式中的这样 有它是状态矢量的一步预测值 和的计算 6 6 7第二项 由状态方程和正交投影引理II得 由观测方程6 6 2式和正交投影引理II得 由第一项计算中得知 中只含有 根据对离散信号模型的统计假设 4 项的计算 在步骤3的基础上 计算第二项 称为状态一步预测均方误差阵 它反映了状态一步预测的精度 5 的计算 状态一步预测均方误差阵 式中称为状态滤波均方误差阵 它反映了状态滤波的精度 6 项的计算 7 状态滤波值的计算我们已经分别计算出了6 6 7式中的每一项 将 6 6 12 6 6 16 6 6 18 和 6 6 22 式代入 6 6 7 式 得 将 6 6 12 6 6 16 6 6 18 和 6 6 22 式代入 6 6 7 式 得 式中称为滤波增益矩阵 8 的计算 状态滤波均方误差阵 因此得状态滤波均方误差阵 因此得状态滤波均方误差阵因为 由正交投影的定义知道正交投影是无偏的 所以 状态滤波的均方误差阵和状态一步预测的均方误差阵分别是它们的方差阵所得 6 6 20 式 6 6 24 式 6 6 27 式 6 6 23 式和 6 6 12 式构成了离散卡尔曼滤波和状态一步预测的一组递推公式 表6 6 1离散卡尔曼滤波递推公式表状态方程观测方程统计特性一步预测均方误差阵增益滤波矩阵滤波均方误差阵状态滤波状态一步预测 滤波初始状态 6 6 3离散卡尔曼滤波的递推算法1 初始状态和的确定初始状态滤波值的确定应使均方误差最小 为此 令解得 初始状态滤波的均方误差阵为2 离散卡尔曼滤波递推公式现将离散卡尔曼滤波递推公式 信号模型 状态方程 观测方程及其统计特性 状态滤波和状态一步预测 滤波初始状态 归纳为表6 6 1 表6 6 1离散卡尔曼滤波递推公式表状态方程观测方程统计特性一步预测均方误差阵滤波增益矩阵滤波均方误差阵状态滤波状态一步预测 滤波初始状态 3 离散卡尔曼滤波递推公式的说明递推公式分两部分 1 2 3 是的递推公式 4 5 是状态滤波 状态一步预测的递推公式 状态滤波由两部分构成 状态一步预测值 新息前乘滤波增益矩阵 4 离散卡尔曼滤波递推过程离散卡尔曼滤波递推过程见图6 9 5 离散卡尔曼状态滤波和一步预测框图离散卡尔曼状态滤波和状态一步预测框图见图6 10 6 6 4离散卡尔曼滤波的特点和性质1 主要特点 1 用于矢量非平稳随机过程的状态估计 2 递推算法 避免了高阶矩阵求逆 3 增益矩阵有可能离线算出 提高了实时处理能力 4 递推得 的同时 得反映状态滤波 状态一步预测精度的 6 6 4离散卡尔曼滤波的特点和性质2 主要性质 1 是的线性最小均方误差估计 它是无偏估计量 所以状态滤波的均方误差阵 就是线性估计中的最小方差阵 2 正交性 即 3 状态滤波增益矩阵与 的关系首先可推得较小 较小 初始状态估计精度高 较小 对预测值较小修正 这是合理的 较小 较小 系统受到的外界扰动较小 对预测值较小修正 这是合理的 大 小 观测噪声大 观测数据精度低 新息的修正作用应小 这是合理的 4 的上限为 这由递推公式 3 可看出来 此时 例6 6 1 教材415页 设模型的状态方程和观测方程为式中 和均为零均值白噪声序列 与系统初始状态无关 且有 已知求状态滤波的增益矩阵Kk 解取利用离散卡尔曼滤波递推公式 1 2 3 可以算得的值 结果如图6 11所示 由图6 11可见 奇数 大 因为小 偶数 小 因为大 例6 6 2 教材417 若飞机相对于雷达作径向匀加速直线运动 现通过飞机的距离测量来估计飞机在各离散时刻的距离 速度和加速度 例6 6 3 课堂分小组讨论 边扫描边跟踪的雷达系统运动目标的问题 教材419页 6 7状态为标量时的离散卡尔曼滤波当系统状态为标量时 我们可以由状态矢量下离散卡尔曼滤波的有关公式和结论 直接得出结果 大作业就给出了这样一个简单问题 6 7 1状态方程和观测方程 当系统状态为标量时 离散状态方程和观测方程分别为 离散状态方程和观测方程中各分量的统计特性为 6 7 2状态为标量时离散卡尔曼滤波递推公式 6 7 3有关参数的特点 6 8离散卡尔曼滤波的扩展主要内容6 8 1白噪声情况下一般信号模型的滤波6 8 2扰动噪声与观测噪声相关情况下的滤波6 8 3扰动噪声是有色噪声情况下的滤波6 8 4观测噪声是有色情况下情况下的滤波6 8 5扰动噪声和观测噪声都是有色情况下的滤波 6 8 1白噪声情况下一般信号模型的滤波离散状态方程离散观测方程其中 是在时刻系统外加的控制量 是在时刻观测系统的误差矢量 利用正交投影及其引理 可以导出其离散卡尔曼滤波的递推公式 分别计算6 8 3式中的各项 分别计算6 8 3式中的各项 其他递推公式为 递推的初始状态选择为 6 8 2扰动噪声与观测噪声相关情况下的滤波离散信号模型中 本身各自是零均值白噪声序列 但互协方差矩阵为即与是相关的 采用去相关的方法后 再利用基本的离散卡尔曼滤波递推公式的推导方法 最终得出该情况下的离散卡尔曼滤波递推公式 6 8 3扰动噪声是有色噪声情况下的滤波扰动噪声为其中 是零均值白噪声序列 采用扩维的方法 令使扩维后的离散状态方程和观测方程具有与白随机序列类似的形式 从而获得离散卡尔曼滤波的一组递推公式 6 8 4观测噪声是有色噪声情况下的滤波观测噪声式中 是零均值白噪声序列 采用相邻两次观测噪声的相关部分减去的去相关方法 推导出离散卡尔曼滤波的递推公式 6 8 5扰动和观测噪声都是有色噪声情况下的滤波扰动噪声式中 是零均值白噪声序列 观测噪声式中 是零均值白噪声序列 离散滤波方法之一 扩维法令获得扩维后的离散状态方程和观测方程 它们类似于扰动噪声和观测噪声都是白噪声序列的情况 从而可导出离散卡尔曼滤波递推公式 离散滤波方法之二 扩维与去相关相结合法 扩维法增加了估计的维数 这是其缺点 扩维与去相关相结合法 将扰动噪声矢量扩展到状态矢量中 而将观测噪声矢量用前后相减去相关的方法 这样处理后的信号模型类似于扰动噪声和观测噪声都是白序列的情况 从而可导出离散卡尔曼滤波的递推公式 6 9卡尔曼滤波的发散现象1 发散现象按照卡尔曼滤波理论 随着观测次数的增加 滤波的均方误差阵应减小 但有时会发生这样的现象 滤波的均方误差阵会随着观测次数k的增加而增大 这称为卡尔曼滤波的发散现象 2 发散原因信号模型不准确或者不够精确扰动噪声矢量和观测噪声矢量统计特性描述不准确 计算中的有限字长效应 各种误差影响等 3 克服办法建立尽可能精确的信号模型 如匀速直线运动模型 匀加速直线运动模型 机动目标当前统计模型等 信号模型的统计特性描述合理 自适应滤波法 渐消记忆滤波法和限定记忆滤波法 限定滤波增益法 限定误差协方差法等 6 10非线性离散状态估计前面讨论的离散卡尔曼滤波 其动态系统 状态方程 和观测系统 观测方程 都是线性的 实际上 例如导航系统 雷达目标跟踪等 如果采用球面坐标系 则状态方程 观测方程都是非线性的 在离散状态估计中 若系统的离散状态方程和观测方程 只要出现一个是非线性的 我们就把这种估计称为非线性离散状态估计 6 10 1随机非线性离散系统的数学描述随机非线性离散系统 一般用差分方程 和来描述 它们描述了相当广泛的一类随机非线性系统 但估计的求解一般相当困难 为使非线性离散估计得到可行的解 对上述信号模型加以适当约束 得和其中 和对是可微的 扰动噪声矢量和观测噪声矢量假定是零均值白噪声随机序列 且二者互不相关 目前 非线性滤波一般采用线性化的近似处理方法来实现 6 10 2线性化离散卡尔曼滤波基本方法首先假定和为零 则信号模型的理想轨迹记为和 若信号模型与理想轨迹的偏差和很小时 可将在附近展开成泰勒级数 并取其一次 项 将得到和于是 利用基本的离散卡尔曼滤波递推公式 可得 进而得滤波的初始状态为 6 10 3推广的离散卡尔曼滤波前面介绍的线性化离散卡尔曼滤波 需要预先算出状态矢量的理想轨迹 实际应用中可能会遇到困难 为此 介绍一种所谓的推广的离散卡尔曼滤波方法 设已知 将信号模型的 6 10 3 式和 6 10 4 式在附近展开成泰勒级数 并取其一次项 将得到类似白噪声下的一般信号模型的状态方程和观测方程 从而导出离散卡尔曼滤波的递推公式 例6 10 1见439页 6 11维纳滤波与卡尔曼滤波的比较维纳滤波卡尔曼滤波准则准则准则线性最佳滤波线性最佳滤波非线性系统线性化滤波适用一维平稳随机过程矢量非平稳随机过程先验状态方程 观测方程知识信号模型的统计特性解的维纳滤波器的状态估计的一组递推公式形式 滤波初始状态优缺点一维平稳随机过程矢量非平稳随机过程设计维纳滤波器递推算法信号模型要求准确 否则可能发散 第6章主要内容和结论6 2连续过程的维纳滤波1 最优线性滤波使均方误差最小 是实现最优线性滤波的时变滤波器的脉冲响应 2 维纳 霍夫方程设是零均值平稳随机过程 则信号的最优线性滤波为 并满足均方误差最小 利用线性最小均方误差估计的正交性 得维纳 霍夫方程求解维纳 霍夫方程 得获得波形估计的线性最优滤波器 即维纳滤波