中考备考中的二次函数问题（李柏生）2.doc

中考备考中的二次函数问题线段垂直、相等在函数综合题中的应用归纳对于二次函数的几何综合题一直是教师在指导复习备考中的重点内容，也是学生感到困难的问题，而许多二次函数综合题的条件中都出现了共顶点的线段垂直或相等的条件，对于这些条件在解答二次函数综合题如果应用得好，往往可以起到事半功倍，峰回路转的作用。笔者在教学过程中对共顶点的线段、垂直、相等的处理上作了详细的归纳，下面笔者将自己的总结和归纳作如下的介绍。一、共顶点的线段又垂直又相等的问题。这类问题如果连结另外的两点即可构造出等腰直角三角形，因此这类问题又称为等腰直角三角形的应用问题。而出现45，利用45的角构造出一个等腰直角三角形也属于同一类问题。它的用法主要是利用等腰直角三角形的腰相等和腰垂直可以构造出全等。构造方法或者辅助线的作法是在直角顶点已经有（或者设有就作）一条直线，过两锐角顶点作这一条直线的垂直，立即可以构造出全等来。全等之后就可以利用对应边相等，从而可以在二次函数综合题中作为重要条件应用了。ACECBF ACFCBE只要是过直角顶点有一条直线就可以构造出全等来。类型一：共顶点的线段又相等又垂直型例1：如图，已知二次函数与轴交于A，B两点，A在B的左侧，点P在抛物线上，且在对称轴右侧，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标。分析：设对称轴与轴交于点E。由于BMP为等腰直角三角形，而过直角顶点M已经有一条直线，所以可以考虑，过B、P作的垂线，构造全等，而BEM90已经形成，所以只需要过P作PF对称轴即可构造出全等。简解：过P作PF对称轴，垂足为F易证BEMMFP，BEMF，MEPF，又A（1，0），B（3，0），E（1，0）设EPm，MEm，又MFBE2，将其代入解析式中，即可求出例2：如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点M在线段BC上，将线段OM绕O点逆时针旋转90，使点M的对应点M恰好落在第一象限的抛物线上，求N点的坐标。分析：OM与ON又垂直又相等，而过直角顶点O有一条直线轴，所以可以考虑过M，N分别作轴的垂线，即可构造出全等。简解：分别过M，N分别作轴的垂线，垂足分别为E，F，易得MOEONF，OENF，MEOF设OFm，NFn，又BC的解析式为，而N在抛物线上。，求得N（1，2）类型二：利用45构种过等腰直角三角形型：例3：如图，二次函数与坐标轴交于A，B，C三点，C点关于对称轴的对称点为D点，点P在抛物线上，且PDB45，求P点坐标。分析：题中有PDB45，利用45构造出等腰直角三角形，再构造全等，有两种方法：（1）如图，过B作BQBD交DP的延长线于Q点，得等腰RtBQD，过直角顶点B有一条直线轴过Q、D分别作轴的垂线即可构造出全等；（2）如图过B作BQDP，垂足为Q，得等腰RtBQD，过直角顶点Q，作y轴的平行线交轴于E，再过D作DFQE，垂足为F，即可构造出全等。简解：方法一：过B作BQBD交DP的延长线于Q点，过Q、D分别作轴的垂线垂足分别为E，F，易得QEBBFD，QEBF，BEDF。D（4，3），A（1，0），B（3，0）DFBE3，BFEQ1Q（0，1）DQ的解析式，解得方法二：过B作BQDP，垂足为Q，过Q作y轴的平行线交轴于E，过D作DFQE，垂足为F，得DFQQEB，DFQE，FQBED（4，3），A（1，0），B（3，0），设BEFQ，OE，DQ的解析式为，解得二、共顶点的线段仅垂直不相等的问题这类问题如果连结另外两个锐角的顶点，即得到直角三角形，它的用法是利直角三角形的直角边的垂直来构造相似。构造方法（或者辅助线的作法）主要是在直角顶点已经有（或者没有就作）一条直线，过两锐角的顶点作这条直线的垂线，即可构造出相似来。有相似就可以有线段的比相等，可以作为二次函数综合题中的重要条件。构造方法如图：AECCFB ACFCBE只要过直角顶点有一条直线就可以构造出相似。例4：已知，抛物线与轴交于O，B两点，C为顶点。（1）如图，若OCOP交抛物线于P点，求P点坐标；（2）如图，若OCPC交抛物线于P点，求P点坐标。分析：问题（1）中，由OCOP，可利用COP90，构造相似。因为过直角顶点O有一条直线轴，过C、P分别作轴的垂线，垂足分别为E，F，即得到相似。问题（2）中，过C作抛物线的对称轴交轴于E点，则过直角顶点C有一条直线对称，再过P作对称轴的垂线，而OECE已成立即得到相似。于是问题迎刃而解。简解：（1）分别过C、P作轴的垂线，垂足分别为E，FOCEPOF，C（1，2），设，将其代入解析式中，得。（2）C为抛物线的噗，过作抛物线的对称轴交轴于点E，则CEO90，过P作PGCE，垂足为G，易得COEPCG，又C（1，2），设，将其代入解析式。例5：如图，已知抛物线的解析式为，与轴交于A，B两点，与轴交于点C，将一个30的三角板（RtEDF中EDF90，DFE30），放在如图所示的位置，点E与点B重合，点D在y轴上，DF所在的直线交抛物线于点G，若有GDEF，求点F的坐标。分析：本题中有直角FDB90，GDE90，用相似的方法来解答。而过直角顶点有一条直线y轴，BDO已经是Rt，只需过F作FSy轴，即有FSDDOB，只需过G作GHy轴，即有GHDDOB。简解：分别过F，G作y轴于的垂线，垂足分别为S、H。易得FSDDOB，GHDDOB，A（1，0），B（3，0）设，RtFDB中，DFB30，又BFDG，将代入解析式中，解得，。三、共顶点的两线段仅相等而不垂直如果连结另两个端点，即可得到等腰三角形，可以利用等腰三角形的性质。也可以利用全等。但更多的时候考虑将两线段放到各自所在的直角三角形中，借助勾股定理列等式来处理二次函数的综合问题。例6：如图，抛物线与交于A，B两点，与y轴交于点C，C点关于对称轴的对称点为D，点P在对称轴上，且PAPD，求P点坐标。分析中，题中有条件PAPD，但PA与PD不相等，可以考虑在PA，与PD所在的直角三角形分别用勾股定理，利用PAPD，列等式。简解：A（3，0），B（8，0），C（0，4），对称轴设对称轴与轴和CD分别交于H，Q，设PHm，RtAHP，RtPQD中，例7：如图，抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一点，直线CP交对称轴于M，且MAMC，求P点坐标。分析：题中有条件，利用MA，MC，在各自的直角三角形中，用勾股定理列等式，所以过M作MEy轴，垂足为E，MA已在RtMAD中。简解：A（1，0），B（4，0），C（0，2）对称轴，设MDm在RtAMD中，在RtMCE中，MAMC，m=2, 又C（0，2），MC/轴，P，C关于对称轴对称，P（5，2）以上通过实例介绍共顶点线段的相等，垂直作为条件时在二次函数与几何的综合题中的技巧和方法，并作