向量空间与线性变换.doc

向量空间典型例题： 1 设线性无关，问解：设即由是线性无关知，由，知当。 2 在，设，试求解：由，设为另一组基，则，所以取，则线性无关且满足题意。 3 证明：设证明：设是的一组基，令则，设又，所以，即故 又由维数公式知 维所以 故 。证毕！ 4 设的解空间，证明：。证明：显然，下证任意，则，记由知同理 故综上。对任意的，有，所以，故故。证毕！注意：本题的证法是证明直和最常用的方法，第一步证明号成立；第二步是证明直和成立。 本题的逆命题同样成立。证明：由，知维 从而 ，即 故。 5 设，证明： 。分析：（1） (2) 证明：（略）。证毕！ 6 设，证明：证明：（1）任意的，则 故（2）任意的 又 从而，所以证毕！ 7 设。证明：由条件，知 因此，令，则。 设，维在中任取非零向量，由于，所以又维，故，故是的一组基。由知。证毕！ 8 维。分析：利用同构思想。 9 设余证明：因为 所以 余证毕！注意：利用如下定理：设矩阵，则。 10 设解：注意到，从而矩阵的特征多项式所以，故。 11 设矩阵，求证：不能对角化。证明：若果能对角化，则存在可逆矩阵， 所以，故。 即，所以。这与已知条件矛盾！从而假设不成立故不能对角化。证毕！ 12 设证明： 设即，所以 由，知 当。 当。 故，从而 故，令，则，故可对角化。证毕！ 13 设的特征向量都是的特征向量证明：的特征向量，由于互不相同，所以线性无关。有所以故即 ，从而 ，令，则，故。 同上题证明方法。证毕！ 14 设，证明：（1）的每一个特征子空间都是的不变子空间。（2）在中有公共特征向量。证明：（1）设的属于特征值的一个特征子空间，对于任意的，因为，所以故。（2）若，则所以在，从而存在属于，即所以，故是的属于的特征向量，又注意到所以是的公共特征向量。 15 设，证明：可逆。证明：设， 因为，所以是的一组基。 由可逆，知是的一组基，从而= 又是的一组基；是 一组基故。 ，因为，所以是的一组基。又因为，所以是的一组基。故可逆。证毕！注意：在必要性证明中是的一组基是这样证明的。只要说明线性无关即可，设 ，记 所以，从而，故，故线性无关。另外要注意这种方法和维数公式的证明过程中所用的方法是一样的。 在充分性的证明中，最后可逆的证明方法是这样的。任意，则定义，显然是一个线性变换，而所以，故可逆。 16 设，证明：； 。证明：（1）任意的，则，所以，故又 任意的，则，所以，故，故。（2）任意的，有，显然，所以。又 显然，故。设任意的，则所以，所以，故故。证毕！ 17 设为同阶方阵，并且，证明：在复数域上，证明：因为，所以存在可逆矩阵，使得因为，所以，从而，记则，所以，故从而 =同样道理所以，故证毕！ 18 设阶矩阵，。证明：设秩，则存在可逆矩阵所以，从而秩 故。 19设。证明：设，在，扩充为，所以。又，因此，所以。下证：线性无关。设，即，故故又由的线性无关性知从而线性无关，故命题成立。证毕！ 20 ，证明：。证明：一方面：对任意的，则，从而，所以，故。 另一方面：对任意的，则。所以，从而，因此。故。证毕！ 21 设是的两个线性变换，如果秩，则有公共特征向量。证明：因为秩，及，所以，故，故。这样，存在，从而故有公共特征向量。证毕！ 22 设为阶方阵，且，则（1）（2）。（3）秩。证明：（1）设，由知，即。当此时不是的特征值。当是的特征向量。反之，因为，所以，从而，故，即同样道理，的特征向量也是的特征向量。（2）若相似于对角形，则存在可逆矩阵即，令，从而，即。由（1）知，设分别为的特征向量，即，从而，即故，故。同必要性证明方法（略）。 （3）由，知，所以秩 同样道理，故秩。证毕！ 23 设，证明：（1）（2）存在一组基。证明：（1）由维数公式知，故 （2）设，则不妨设，取设，两边作用注意到，得。由则，从而故线性无关，即存在的一组基，使得。证毕！ 24 令（1）写出的矩阵。（2）求的若当标准型。解：（1），则,其中，又其中，故的矩阵。（2）因为所以的行列式因子为，的不变因子。的初等因子为，故的若当标准型为。 25 设，证明：；，则。证明：（1）（2）问同16题。（3）任意，由（2）知 所以 因为 。故，所以，故又，知所以。反之，因为，所以。，由，知所以，所以任意的。综上：。证毕！26 设是有限维线性空间，证明：存在唯一的的子空间，使。证明：设，（反证）若，则，在扩充成，令则有 ，令，则有 仍为的基，故。但是，这与题意矛盾，所以假设不正确，从而命题成立。证毕！ 27 设，已知有3个线性无关的特征向量，是的二重特征根，试求可逆矩阵，使为对角形。解：因为有3个线性无关的特征向量，所以可以对角化。又 是的二重特征根，所以注意到 ，知故。 28 用是有理数域上的多项式，令，（1）求的所有特征值。（2）求的所有特征子空间。（3）是否可以对角化。若可以，求可逆矩阵，使得。解：（1）由 =知的特征值为。（2）当所以，故。当即，解方程组得。故特征向量为，所以的特征子空间为及。（3）易知线性无关，所以可对角化。取，易知是可逆矩阵，且满足。 29 设表示恒等变换，证明：（1），（2）。证明：（1）任取，则，所以，从而，故，所以，从而，同理，故。（2）因为，所以，从而=，故结论成立。证毕！注意：在有限维线性空间中，可逆，则为双射。但在无限维线性空间中结论不一定成立。另外，还有。 30 设， ，则。证明：设，由，显然有。对于任意，即，又，故由条件知，所以，故。，由由，由条件知，所以，故。证毕！ 31 设的特征多项式，如果。证明：因为，所以存在多项式，使得，从而注意到，知，所以任意的，所以=，故。同理。证毕！ 32 设是，则存在的线性变换。证明：设，将定义，显然这是一个线性变换，并且，事实上：（1）显然，任意的，由，两边作用，则，又，知，从而，故。（2）故。证毕！ 33 设 令，（1）求证：（2）分别求出的一组基。（3）证明：。证明：（1）只要证明非空，并且对加法，乘法封闭。（证明略）（2）取及，则是的一组基。显然（3）任意的,，则，所以，又显然成立，故。对任意的，则由，知；由，知，所以，即，综上。证毕！ 34 设，证明：。证明：任意的因为，所以，即从而，故，所以即，故。由的任意性知，。证毕！ 35 写出向量空间公式并证明。解：公式为：证明：（数学归纳法）1） 当，显然结论成立。2） 假设时结论成立，下证当时结论成立：维=由归纳原理知，结论成立。证毕！ 36 设求证：上的对称变换。证明：在中取一组标准正交基，设因为所以，即设，从而，所以，故上的对称变换。设上的对称变换，则，即，从而为正交矩阵，所以为正交变换。 37 设互异的特征值，。证明：设，令，因为，所以，又，所以。 38 设，（1）证明：（2）。（3）设矩阵，则证明：（1）证明略。（2）任意的=，则 ，即。对任意的，由，由，知，即。故。（3）1.任意的，则由，知所以，故是的不变子空间。2任意的，所以=，即，故是的不变子空间。证毕！ 39 设（1）不是的特征值。（2）若相似于对角形，则存在可逆矩阵为对角形。证明：（1）若是的特征值，则存在是的属于的特征向量，即。又因为，所以，即，故，这与相矛盾，从而假设不成立，故不是的特征值。（2）因为相似于对角形，所以存在可逆矩阵，又因为，所以即，从而因为，所以可逆，从而，故结论成立。证毕！ 40 设线性变换，并且维。证明：设，扩充成，则，任取定义，显然是线性变换。所以，则维，从而任意的，所以。证毕！41 设的特征值的实部小于零。证明：设，所以，从而则，所以故，所以。证毕！42 设，求的一组基及维数。证明：设，则是的一组基，事实上：首先证明线性无关，若线性相关，则存在一组不全为零的实数，使假设从右边数第一个不为零的实数为，令,则，但是，这与是最小多项式矛盾，从而假设不成立，故线性无关。再证明中任意元素都可由线性表出，对任意的，那么除有，其中 所以，即中任意元素都可由线性表出。综上：为的一组基，并且维数为。 43 设，求证：是一个线性空间并求其一组基。证明：（证明是一个线性空间略），下面求其一组基：取，则这就是的一组基，事实上：首先证明的线性无关性，设即，所以，故是线性无关的。再证明中任意元素都可由线性表出，对于任意的，设，因为，所以即，故中任意元素都可由线性表示。综上：是的一组基。 44 已知中线性变换，求的值域和核。解：设，则=，其中故所有的反对称矩阵充满的值域，所有的对称矩阵充满的核。 44 设，证明：有。证明：因为，且所以 ，因为；所以上面两式中至少有一个成立。（否则，有；，则，从而，矛盾。）所以或，即。证毕！ 45 设证明：。证明：任意的，任意的，则，所以由的任意性，知，所以。任意的，考察=，所以，从而，所以。综上：。 46 设，证明：实特征值。证明：设，记因为，取则，故。证毕！ 47 设，证明：可对角化。证明：设，对，解，因为，所以对，因为，所以注意到，知上述个特征向量也是线性无关的，故可对角化。证毕！ 注意：本体结论的应用。如是因为秩；是因为秩。 48 设证明：因为取转置，得取，有，令所以，令则从而。证毕！ 49 设，证明：（1）可对角化。（2）。（3）（4）求。证明：（1）利用47题结论。（2）（略）利用对角行，因为的特征值只有0和1。