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第八章 微积分的进一步应用一 微元法曲边梯形的面积的求法dA=f(x)dx (矩形面积底高)A=整体量由局部围成，将实际问题抽象为定积分从整体着眼，从局部入手，小区间在极限过程中缩小为一点将区间上的整体量化成区间上一点的微分，亦称为微元，然后对区间上的各点无限累加连续作加一 平面区域的面积 直角坐标系平面区域：2. 参数方程曲线是参数方程x=(t) ,y=(t) ,(t) ,(t)及在a,b上连续，且(t)a, (t)=b. D由曲线x=(t) ,y=(t)及直线x=a与x=b围成，区域的面积 A=例椭圆x=a cost y=b sint A= =ab = =(x-sin2x) =ab例旋轮线：x=a(t-sint) y=a(1-cost) (a )一拱与x轴围成的区域的面积A= =33.极坐标A=()A=3 圆（0） A=4 双纽线（）围成区域A=5三叶玫瑰线 =三平面曲线的弧长定义：若当时L（T）=LMN可求长，其长为LTh1. f(x)在区间a,b上可导，且连续，则在a,b上的曲线可求长，且弧长L= （1）（1） 式是弧长公式。证明： = = L= 例9 f(x)=在0,a上的弧长解： = =例10 求曲线的全长 由公式（1） 曲线的全长 令= dx=2tdt 当x=0时t=0 节当x=1时t=1则= =1+2参数方程Th2.参数方程 （）在上连续，则例 11 求半径为r的圆的周长解：*例 12 星形线的全长 3极坐标 表示在上连续 B 求心脏线的全长 变 力 作 功例 1 空气活塞机的活塞面积是，在等温的压缩过程中，活塞由处（气体体积）压缩到,此时气体体积，求空气压缩机在这段压缩过程中消耗的功。解： 其中是比例常数。在上任意一点，气体体
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